從“基底”視角探求向量取值范圍問題

江西省蓮花中學(xué) (337100) 周秋良

1.課本習(xí)題再現(xiàn)

人民教育出版社《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊》(以下稱文[1])第23頁習(xí)題10如下：

當(dāng)然，本題也可以由數(shù)形結(jié)合法獲解，限于篇幅，不再展示，有興趣的讀者可以自己嘗試做一下.

接下來，我們對問題進(jìn)行變式，更進(jìn)一步對問題解決思路背后所隱藏的本質(zhì)進(jìn)行剖析，獲得通性通解.

2.變式問題訓(xùn)練

評析：在本變式中，雖然無法直接采用已知條件給定的向量作為基底，但是通過換元，引入新的向量，獲得新的基底，使問題回到原來最初的模樣，結(jié)果也就一目了然了.

有了變式1的解法，此處自然而然想到用換元的方法來尋找新的基底.

評析：在本變式中，一如既往地通過換元，引入新的向量，獲得新的基底，以新基底構(gòu)建新的向量大廈，使問題煥發(fā)出新的生機(jī)與活力.雖然問題形式上有所改變，但解題的思路本質(zhì)沒有變化，這也是解題過程中通性通法的魅力所在.

當(dāng)然，用換元的方法來尋找新的基底，依然可以解決此問題.

此處如果沿用變式3的解法1，將無法順暢地進(jìn)行下去，此方法失效.因此還是想辦法構(gòu)建新的基底，在新的基底下讓問題得以轉(zhuǎn)化，變成我們熟知的問題.

評析：在本變式的解法中，再次體現(xiàn)出構(gòu)造新的基底，構(gòu)建新的向量大廈，使問題的本質(zhì)依舊本色不改，具有新的生命力，給人一種萬變不離其“基”的強(qiáng)烈感受.

3.通性通法提煉

步驟1：保留已知條件中的一個(gè)模長確定的向量作為新基底的一個(gè)基向量；

步驟2：通過換元、配方、求模來確定新基底的另一個(gè)基向量；

步驟3：將所求目標(biāo)問題用新基底加以表示；

步驟4：利用已知向量不等式對問題進(jìn)行求解.

4.拓展問題提升

評析：本拓展看似給定的條件無法直接作為基底，但是對其一換元，立刻呈現(xiàn)出我們所期待的樣式.轉(zhuǎn)化與劃歸思想，是我們思考問題的根本出發(fā)點(diǎn)，也是我們解決問題屢試不爽的法寶.立足“基底”這一核心，沿著構(gòu)建新基底的基本思路走，是問題得以最終解決的基本方向.

5.小結(jié)反思升華

本文通過立足構(gòu)建平面向量“基底”，使平面向量取值范圍問題得以轉(zhuǎn)化，并最終應(yīng)用已知不等式讓問題得以解決.通篇下來，我們通過一題多變，構(gòu)造出多個(gè)看似不同的問題，實(shí)質(zhì)上具有很大相似性的問題，反反復(fù)復(fù)通過構(gòu)造新“基底”，讓不同的問題轉(zhuǎn)化為相似的問題，用相類似的方法解決問題，揭示了這些問題所蘊(yùn)涵的共性解決思路背后所隱藏的奧秘.實(shí)現(xiàn)了多題一解的目的，讓我們在解題教學(xué)過程中收獲了一次思維上的體操訓(xùn)練.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我們無法回避解題教學(xué)，如何解題？如何讓解題快速有效？如何讓問題的解決有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解與掌握？如何讓數(shù)學(xué)問題煥發(fā)出新的生機(jī)與活力？……這諸多問題，不僅是高中學(xué)生孜孜不倦想要獲得答案的問題，也是我們高中一線數(shù)學(xué)教師一直津津樂道的問題，更是數(shù)學(xué)研究工作者為之付出辛苦汗水兢兢業(yè)業(yè)想要解決的問題.