一道2022年高考模考題的解法探究

江蘇省啟東市第一中學(xué) (226200) 曹榮榮

二元條件最值問題可以很好的考查考生對高中數(shù)學(xué)不等式主干知識的掌握情況，及考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和推理論證能力，因此在各類考試中備受命題者的青睞.

題目(2021年學(xué)年第一學(xué)期高三“山水聯(lián)盟”開學(xué)聯(lián)考試題第8題)已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2-2xy-3y2=1，則x2+y2的最小值為( ).

這是一道二元條件最值問題，主要考查利用基本不等式、重要不等式、三角換元法求最值，考查了考生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，以下對這道試題進(jìn)行多解探究，以期起到引導(dǎo)作用.

評注：將已知條件式子分解因式，再進(jìn)行二元換元，分別表示出x和y，代入x2+y2，再運(yùn)用重要不等式a2+b2≥2ab和不等式基本性質(zhì)得出x2+y2的最小值.本解法比較基礎(chǔ)，運(yùn)用的是不等式中的主干知識，運(yùn)算量比較少，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想中蘊(yùn)含的復(fù)雜問題簡單化的原則，有利于引導(dǎo)學(xué)生在不等式計(jì)算中把握運(yùn)算規(guī)則.

評注：本解法運(yùn)用了判別式法，把待求式和已知式作商，再齊次化后換元，由判別式大于等于0，結(jié)合s>0，解不等式可得出s的最小值，從而得出x2+y2的最小值.本解法中蘊(yùn)含了方程思想，有一定的思維層次，遷移了方程有實(shí)根與判別式符號的關(guān)系的知識，具有一定的運(yùn)算量，有利于培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算求解能力和演繹推理能力.

評注：本解法由待求式聯(lián)想到三角函數(shù)平方關(guān)系式sin2α+cos2α=1，代入已知式子，進(jìn)行三角換元，分離變量，最后運(yùn)用輔助角公式得出分母的最大值，從而得出x2+y2的最小值.本解法通過三角換元，進(jìn)行的三角恒等變換，培養(yǎng)學(xué)生的三角運(yùn)算能力，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

教師在平時(shí)的習(xí)題教學(xué)中，可以試著引導(dǎo)學(xué)生習(xí)題進(jìn)行多解探究，通過比較多種解法優(yōu)劣做到優(yōu)化解題思路，使得解題活動(dòng)變得有趣，提升學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力，促進(jìn)學(xué)生提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).