“慢”下來，讓學(xué)生充分經(jīng)歷思維過程
——以《平面直角坐標(biāo)系中的軸對稱與平移變換》教學(xué)為例

浙江省杭州市余杭倉前中學(xué) (311121) 王利慶

近日，筆者聽了杭州市余杭區(qū)八年級兩位老師開設(shè)的二節(jié)同課異構(gòu)公開課，課題為浙教版八年級上《4.3坐標(biāo)平面內(nèi)圖形的軸對稱和平移(1)》.本文就兩位老師設(shè)計的三個片段談些想法及處理意見.

甲教師片段1：在歸納出直角平面坐標(biāo)系下任意一個點關(guān)于x軸及y軸的對稱點關(guān)系后，老師設(shè)計了以下一個游戲：先由一位同學(xué)任說一個點坐標(biāo)，再由老師規(guī)定關(guān)于哪條坐標(biāo)軸對稱，最后由知道答案的同學(xué)搶答，回答對的同學(xué)繼續(xù)上述步驟，大概持續(xù)了2分鐘.

老師設(shè)計這一環(huán)節(jié)意圖是提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，鞏固新知.

課后組織的老師評課中，多位老師對甲老師設(shè)計的上述環(huán)節(jié)表示肯定，認(rèn)為學(xué)生參與度高，課堂氣氛活躍，在活動中記住了點關(guān)于坐標(biāo)軸對稱關(guān)系，并能熟練運用.這樣設(shè)計合理嗎？教材為什么在這里安排直角坐標(biāo)平面下的平移及軸對稱變換？

教材中滲透了三個重要的數(shù)學(xué)思想方法，分別是特殊到一般數(shù)學(xué)思想、數(shù)形結(jié)合思想及建系解決問題方法.數(shù)形結(jié)合思想，是二維背景下有關(guān)數(shù)形結(jié)合思想方法的起始課.浙教版教材中七年級上第一章的《數(shù)軸》內(nèi)容，利用絕對值幾何意義解決了形如求x值，求形如多個絕對值之和最值等問題，且這些問題均可利用絕對值幾何意義刻畫解決，其形象、直觀、易懂，符合初一學(xué)生認(rèn)知水平及數(shù)學(xué)思維特征.

分析這位老師設(shè)計活動目標(biāo)：通過師生、生生互動，促使學(xué)生熟記對稱點與已知點坐標(biāo)之間關(guān)系，并能熟練輸出.學(xué)生在回答結(jié)果過程中，思維路徑是這樣的：

這是從代數(shù)形式結(jié)構(gòu)向代數(shù)形式結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化過程，結(jié)果的輸出是建立在熟記對稱的點間的橫縱坐標(biāo)變化規(guī)律基礎(chǔ)之上.但這個教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計，恰恰忽略了數(shù)形結(jié)合思想滲透的基本路徑.學(xué)生正確的思維過程應(yīng)該是這樣的：先判斷它的位置，再找出它的對稱點，然后讀出對應(yīng)的點坐標(biāo).也就是說，學(xué)生經(jīng)歷數(shù)形結(jié)合的路徑是：數(shù)(建直角坐標(biāo)系，找到它的位置)——形(對稱后的位置)——數(shù)(讀出對稱點的位置).經(jīng)歷這樣解決問題過程中，學(xué)生先把數(shù)與其對應(yīng)的形找到聯(lián)系，然后提煉數(shù)的特征，能降低“數(shù)”的抽象性，增強(qiáng)“數(shù)”的直觀性，減輕學(xué)生記憶負(fù)荷.并且筆者認(rèn)為，作為二維背景下蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合思想的起始課，老師有必要讓學(xué)生充分感受 “有形助數(shù)出結(jié)果”完整的思維軌跡，讓學(xué)生有充分的思考時間，不急于求成歸納、提煉，通過類似的教學(xué)活動促使學(xué)生記憶.這種慢下來經(jīng)歷數(shù)形結(jié)合思想的過程，是一種數(shù)學(xué)思想內(nèi)化為思考方法的路徑之一，同時也為初等函數(shù)性質(zhì)的研究奠定基礎(chǔ).

乙教師片段2：探究規(guī)律

探究1：如圖1，作點A關(guān)于x軸的對稱點A1，并寫出它們的坐標(biāo)，再任意找一組關(guān)于x軸的對稱點，分別比較兩組對稱點的坐標(biāo)，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

圖1

發(fā)現(xiàn)：________________.

探究2：如圖1，作點A關(guān)于y軸的對稱點A2，并寫出它們的坐標(biāo)，再任意找一組關(guān)于y軸的對稱點，分別比較兩組對稱點的坐標(biāo)，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

發(fā)現(xiàn)：________________.

坐標(biāo)系背景下，通過特殊點的位置對稱，歸納這些點的共性，并探究其內(nèi)在規(guī)律，這個過程體現(xiàn)“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想.這是一種化歸思想，為不完全歸納法.初中學(xué)習(xí)階段，由“特殊到一般”這種方法獲得的結(jié)論視為正確與可行的.但是教師在設(shè)計教學(xué)活動時，要盡可能體現(xiàn)“任意性”，使學(xué)生對得出結(jié)論的正確性增加“信度”，嘗試慢下來，讓學(xué)生充分經(jīng)歷和體會.

經(jīng)過研討，大家一致認(rèn)為可改進(jìn)設(shè)計如下：

問題1：在直角平面坐標(biāo)系中，任取三個點，寫出它的坐標(biāo).

問題2：分別作出它們關(guān)于x軸和y軸的對稱點，并寫出對稱點的坐標(biāo).

問題3：觀察你所取點與對稱點的坐標(biāo)，你發(fā)現(xiàn)了什么？小組同學(xué)相互交流，并嘗試歸納.

問題1是開放的，學(xué)生任意取點，在解決這個問題過程中，思維優(yōu)的孩子取的點會分布在不同象限；問題3小組內(nèi)交流，互學(xué)，學(xué)習(xí)對象結(jié)果樣本也具有任意的.學(xué)生通過解決這三個問題，先獨學(xué)深入思考，再互學(xué)相互比較、促進(jìn)，最后嘗試歸納特征.創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生慢下來，經(jīng)歷慢過程，學(xué)生可充分體現(xiàn)“任意性”.這個慢經(jīng)歷，讓學(xué)生有深入的思考，思維有充分暴露機(jī)會；這個慢經(jīng)歷，學(xué)生在在互學(xué)中進(jìn)一步優(yōu)化自己的思維.經(jīng)歷慢過程，讓學(xué)生對特殊情況得到的結(jié)論推廣到一般情況有充分的感悟和認(rèn)可；經(jīng)歷慢過程，使學(xué)生對得到的結(jié)論有深度的信任.

甲教師片段3：一個零件的橫截面如圖2，請完成以下任務(wù)：

1.按合適的比例，建立直角坐標(biāo)系.(圖3中一小格表示1cm).比例尺：________________.

2.寫出輪廓線各個轉(zhuǎn)折點的坐標(biāo).在求這些點的坐標(biāo)時，你運用了怎樣的坐標(biāo)變化規(guī)律？

圖2

圖3

3.與你的同伴比較，你們寫出的各轉(zhuǎn)折點的坐標(biāo)相同嗎？為什么？

這是教材“合作學(xué)習(xí)”的內(nèi)容，這個例題旨在讓學(xué)生體會圖形位置可以在直角坐標(biāo)系下定量研究，體會建立“坐標(biāo)系”解決問題的方法.這個例題還承載另外一個功能：讓學(xué)生比較不同的建系方法，描述圖形位置發(fā)生變化，在這個比較過程中，慢慢積累經(jīng)驗：怎樣建立直角坐標(biāo)系最美觀、描述點的位置最方便；建系的時候可以結(jié)合圖形自身的對稱性，通過對眾對象比較之后做出判斷，從而建立“建系優(yōu)化思想”.這個優(yōu)化提煉過程，也該慢下來，讓學(xué)生充分比較，對“優(yōu)化”有深刻體悟.只有這樣，才能內(nèi)化為解決問題的活動經(jīng)驗.同時，教師在教學(xué)設(shè)計過程中要把這節(jié)課承載的“解析思想”的起始課功能體現(xiàn)出來.

經(jīng)研討可改進(jìn)設(shè)計如下：

一個零件的橫截面如圖2，請完成以下任務(wù)：

問題1：按合適的比例，建立直角坐標(biāo)系.(圖3中一小格表示1cm)比例尺：.

問題2：寫出輪廓線各個轉(zhuǎn)折點的坐標(biāo).你是怎么思考的？

問題3：你還有其他的建立直角坐標(biāo)系的方法嗎？嘗試寫出點D，點A的坐標(biāo)(增加備用圖)

問題4：與同桌交流各轉(zhuǎn)折點的標(biāo)，分享建立直角坐標(biāo)系的經(jīng)驗.

改進(jìn)設(shè)計后，以“問題鏈”形式呈現(xiàn)，可引導(dǎo)學(xué)生層層深入思考，尤其是第3問的設(shè)計，讓學(xué)生感受到結(jié)論具有多樣性，通過這三個問題的解決，對建系過程中的“優(yōu)化”思考就更顯得水到渠成.事實上，問題與問題之間的跨度為學(xué)生的多樣思維與探索提供可能；同時為學(xué)生的數(shù)學(xué)思考提供隱形的脈絡(luò)，把學(xué)生的思考逐漸引向深入，從而獲得較高認(rèn)知的數(shù)學(xué)水平.