音樂中的數(shù)學學問

湖北省襄陽市第一中學 (441000) 趙靜芳 王 勇

音樂的要素——音高、音色、節(jié)拍、樂音、樂曲、樂器等都與數(shù)學密切相關(guān).在高考試卷和全國各地高考模擬試卷中，以音樂為背景的考題頻頻“閃亮登場”，它們構(gòu)思精巧、韻味十足、魅力四射，堪稱踐行“五育并舉”方針的范例，既可以讓學生更加理性地理解音樂、鑒賞音樂的美，又能提升學生的數(shù)學學科素養(yǎng)和關(guān)鍵能力.本文精選五類并配例加以剖析，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法.

一、音樂+數(shù)列

點評：本題以《律學新說》中的“十二平均律”為背景考查等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式，考查考生的運算求解能力.

圖1

A.d1B.f1C.e1D.#d1

點評：本題是以《律學新說》中的“十二平均律”為背景創(chuàng)設(shè)的等比數(shù)列問題，考查了等比數(shù)列的通項公式，考查了邏輯推理能力與運算求解能力，體現(xiàn)了等比數(shù)列在實際生活中的應(yīng)用.

圖2

A.814 B.900 C.914 D.1000

點評：本題閱讀量較大，在弄懂題意的基礎(chǔ)上考查數(shù)列中錯位相減法求和.

二、音樂+三角函數(shù)

圖4

點評：本題以《歡樂頌》在五線譜中的音符為背景考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查考生的數(shù)形結(jié)合思想和運算求解能力.

例6 (2021·濰坊市模擬題)音樂是用組織音構(gòu)成的聽覺意象，是用來表達人們的思想感情與社會現(xiàn)實生活的一種藝術(shù)形式.1807年法國數(shù)學家傅里葉發(fā)現(xiàn)代表任何周期性聲音的公式是形如y=Asinωx的簡單正弦型函數(shù)之和，而且這些正弦型函數(shù)的頻率都是其中最小頻率的整數(shù)倍.比如如圖5所示的某音叉的聲音函數(shù)是圖象分別為如圖6，圖7，圖8所示的三個函數(shù)的和，則該音叉的聲音函數(shù)可以為( ).

圖5

圖6

圖7

圖8

A.f(t)=0.06sin1000πt+0.02sin1500πt+0.01sin3000πt

B.f(t)=0.06sin500πt+0.02sin2000πt+0.01sin3000πt

C.f(t)=0.06sin1000πt+0.02sin2000πt+0.01sin3000πt

D.f(t)=0.06sin1000πt+0.02sin2500πt+0.01sin3000πt

點評：本題考查復(fù)合音模型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，緊扣數(shù)學家傅里葉的發(fā)現(xiàn)并結(jié)合排除法即可順利求解.

三、音樂+排列組合

例7 (2021·深圳市質(zhì)檢題)中國古代的五音，一般指五聲音階，依次為宮、商、角、徵、羽.如果把這五個音階全用上，排戰(zhàn)一個五個音階的音序，且要求宮、羽兩音階在角音階的同側(cè)，可排成這樣的不同音序的種數(shù)為( ).

A.120 B.90 C.80 D.60

點評：本題以音樂學科中的“音階”為載體考查排列組合應(yīng)用問題，破解此類題的關(guān)鍵：一是有限制條件的元素需優(yōu)先考慮，如本題，需對限制條件“宮、羽兩音階在角音階的同側(cè)”優(yōu)先考慮，分類的“度”就很明確，只需對“角音階”的位置進行分類；二是會利用排列組合的應(yīng)用情況進行求解，有序用排列，無序用組合.

四、音樂+概率

例8 (2021·襄陽市模擬題)琵琶、二胡、編鐘、簫、笛、瑟、琴、塤、笙和鼓這十種民族樂器被稱為“中國古代十大樂器”.為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校以這十種樂器為題材，在周末學生興趣活動中開展了“中國古代樂器”知識講座，共連續(xù)安排八節(jié)課，一節(jié)課只講一種樂器，一種樂器最多安排一節(jié)課，則琵琶、二胡、編種一定安排，且這三種樂器互不相鄰的概率為( ).

點評：本題以中國民族樂器為背景，考查計數(shù)原理和古典概型的概率求解公式，考查邏輯思維能力、運算求解能力，體現(xiàn)了理性思維、數(shù)學應(yīng)用、數(shù)學文化等學科素養(yǎng).

例9 (2021·鎮(zhèn)江市模擬題)中國古典樂器一般按“八音”分類.“八音”是我國最早按樂器的制造材料來對樂器進行分類的方法，最先見于《周禮·春宮》 ，分為“金、石、土、革、絲、木、匏(páo)、竹”八音.其中“金、石、木、革”為打擊樂器，“土、匏、竹”為吹奏樂器，“絲”為彈撥樂器.現(xiàn)從“八音”中任取不同的“兩音”，則含有打擊樂器的概率為( ).

點評：本題以中國古典樂器按“八音”分類為背景考查古典概型概率的計算方法，其中解法2用到了“正難則反”的思想方法求解.

點評：本題以“三分損益法”為背景考查獨立重復(fù)試驗概率的求解方法.

五、音樂+推理

點評：本題以音樂學科的“音的律制”為載體考查等比數(shù)列與類比推理等基礎(chǔ)知識.破解此類題的關(guān)鍵：一是讀懂題目的文化背景，如本題，需讀懂“等程律”；二是利用等比數(shù)列的通項公式進行等價變形求解.若會利用特值法，如解法2，即可把一般性的繁雜的推導(dǎo)，轉(zhuǎn)化為數(shù)列前4項之間的關(guān)系式的推導(dǎo)，從而達到窺斑知豹之功效.

圖9

例12 (2020·全國Ⅱ卷高考題)如圖9，將鋼琴上的12個鍵依次記為a1，a2，…，a12.設(shè)1≤i

A. 5 B. 8 C. 10 D.15

解析：滿足條件1≤i

點評：本題以鋼琴中的原位大三和弦與原位小三和弦為情境，體現(xiàn)了新高考對“五育并舉”的落實，考查考生的閱讀理解能力、信息遷移能力以及分析解決問題的能力.