大概念視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)
——以等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式為例

浙江省象山縣第二中學(xué) (315731) 葛海燕

“大概念”由英國學(xué)者Wynne Harlen提出的，大概念是對所觀察的相互關(guān)系或特征進(jìn)行解釋后的抽象表達(dá)，能夠?qū)㈦x散的事實(shí)和意義相聯(lián)系.從廣泛意義上講，大概念又叫共同概念，超越學(xué)科界限，成為各學(xué)科相互聯(lián)系的紐帶和橋梁，體現(xiàn)了科學(xué)概念的相通性和交融性，跨學(xué)科概念為學(xué)生提供了框架，學(xué)生可以跨越學(xué)科學(xué)習(xí)，解決單一學(xué)科難以解決的問題.學(xué)科大概念(big idea)亦稱“大觀念”或“核心觀念”，指向具體知識背后更為本質(zhì)、更為核心的概念或思想，是一個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中最精華、最有價(jià)值的內(nèi)容.如今,大概念教學(xué)已成為指導(dǎo)指向核心素養(yǎng)教學(xué)變革的重要理念.在宏觀層面，它為學(xué)習(xí)者提供認(rèn)知框架，成為教育改革尤其是學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)培育的重要突破口；在中觀層面，它是重要的學(xué)科課程線索，為新課程模式的開發(fā)提供抓手；在微觀層面，它為學(xué)科概念教學(xué)的設(shè)計(jì)提供重要指導(dǎo)，從而提高教學(xué)效率和效能.

一、解讀“大概念”，建構(gòu)單元教學(xué)

數(shù)學(xué)大概念視角下的單元教學(xué)以數(shù)學(xué)大概念為核心，基于學(xué)生的必備知識、關(guān)鍵能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)和核心價(jià)值，選擇并整合相關(guān)概念、知識、事實(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問題等，引導(dǎo)學(xué)生把握知識背后的思想方法、意義和價(jià)值觀念，建立概念網(wǎng)絡(luò)，重構(gòu)學(xué)習(xí)單元，并通過整體設(shè)計(jì)與實(shí)施，讓學(xué)生從整體上認(rèn)知知識與邏輯、結(jié)構(gòu)與本質(zhì)、應(yīng)用與生成、價(jià)值與意義，幫助學(xué)生形成深層次、有意義、結(jié)構(gòu)化和可遷移的概念體系，理解數(shù)學(xué)本質(zhì).單元教學(xué)是在整體思維指導(dǎo)下，在整體把握教材的基礎(chǔ)上，用全局的眼光、系統(tǒng)的方法，將教材中具有內(nèi)在聯(lián)系的知識進(jìn)行整合、重組并形成相對完整、動(dòng)態(tài)的教學(xué).單元教學(xué)幫助學(xué)生從更大的視角認(rèn)識數(shù)學(xué)對象，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維方法，通過變換知識載體，從橫向和縱向打通知識間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)對知識的內(nèi)涵式理解和建構(gòu).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》在課程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)依據(jù)中提出：依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，關(guān)注數(shù)學(xué)邏輯體系、內(nèi)容主線、知識間的關(guān)聯(lián)，重視數(shù)學(xué)實(shí)踐和數(shù)學(xué)文化.教師要整體把握教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的連續(xù)性和階段性發(fā)展.教師要關(guān)注主題教學(xué)和單元教學(xué)，要關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的各階段目標(biāo)、單元教學(xué)目標(biāo)和課時(shí)教學(xué)目標(biāo)的統(tǒng)一、關(guān)注數(shù)學(xué)目標(biāo)對實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)發(fā)展的貢獻(xiàn).教師進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì)一般遵循“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——主題目標(biāo)——整章目標(biāo)——單元目標(biāo)——課時(shí)目標(biāo)”的路徑，是“總——分”的過程，而學(xué)生學(xué)習(xí)則是按照“問題解決——課時(shí)目標(biāo)——單元目標(biāo)——整章目標(biāo)——主題目標(biāo)——核心素養(yǎng)”的路徑，是“分——綜”的過程，最終目標(biāo)是學(xué)生綜合素養(yǎng)的提升.要實(shí)現(xiàn)這兩個(gè)過程的完美統(tǒng)一，關(guān)鍵是做好“整章——單元——課時(shí)”的教學(xué)設(shè)計(jì)，這是一個(gè)完整的系統(tǒng).本面以等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式為例談?wù)劥蟾拍钕碌膯卧虒W(xué)設(shè)計(jì)：整個(gè)單元分六個(gè)環(huán)節(jié)，具體如下：單元統(tǒng)帥，引入課題→多種角度，探究公式→整體審視，解讀公式→分析條件，應(yīng)用公式→函數(shù)視角，再認(rèn)公式→梳理知識，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò).本單元教學(xué)分兩個(gè)課時(shí)，第一課時(shí)：單元統(tǒng)帥，引入課題→多種角度，探究公式→整體審視，解讀公式；第二課時(shí)：分析條件，應(yīng)用公式→函數(shù)視角，再認(rèn)公式→梳理知識，建構(gòu)網(wǎng)絡(luò).

二、提取“大概念”，設(shè)計(jì)課時(shí)教學(xué)

如圖1所示，從宏觀層面來看，本單元教學(xué)的大概念是關(guān)于公式課和等差(等比)數(shù)列學(xué)習(xí)的學(xué)法指導(dǎo).從中觀層面來看，本單元教學(xué)的大概念是數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容貫穿著兩條主線，即數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識是一條明線，直接用文字形式寫在教材里，反映著知識間的縱向聯(lián)系.數(shù)學(xué)思想方法是一條暗線，反映著知識間的橫向聯(lián)系，隱藏在基礎(chǔ)知識的背后，需要加以分析、提煉才能使之顯露出來.數(shù)學(xué)教學(xué)中對提高學(xué)生的素質(zhì)起著重要作用的，是在長期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中逐步形成的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法.大概念引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教育更要重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).本節(jié)課蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如分類討論思想、特殊到一般的思想、基本量思想、整體思想、方程思想、優(yōu)化思想、裂項(xiàng)相消法、倒序相加法、歸納法等.從微觀層面來看，本單元教學(xué)的大概念是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程、記憶、運(yùn)用.下面是等差數(shù)列前n項(xiàng)和第一課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)：

圖1

1．單元統(tǒng)帥，引入課題

問題1前面我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列，等差數(shù)列的研究路徑是什么？

學(xué)生回答，教師補(bǔ)充：等差數(shù)列的研究路徑為：背景——定義——表示——性質(zhì)——應(yīng)用.

教師引導(dǎo)如何研究等差數(shù)列的性質(zhì)呢？研究數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)就是研究它的組成要素以及相關(guān)要素之間的關(guān)系.等差數(shù)列的定義和性質(zhì)都是通過“運(yùn)算”得出來的，本節(jié)課我們繼續(xù)用“運(yùn)算”來研究等差數(shù)列的一個(gè)重要性質(zhì)——等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

設(shè)計(jì)意圖：大概念下，在平時(shí)的教學(xué)中要重視學(xué)法的指導(dǎo)，等差數(shù)列的研究路徑和方法可為等比數(shù)列的研究路徑和方法提供指導(dǎo).

問題2這是一堂公式學(xué)習(xí)課，我們已經(jīng)學(xué)過了一些公式(比如對數(shù)運(yùn)算的相關(guān)公式)，回顧一下公式學(xué)習(xí)的一般路徑是什么？

師生一起回顧公式學(xué)習(xí)的一般路徑：引入課題——公式推導(dǎo)——體會(huì)方法——公式記憶——公式應(yīng)用(注意適用條件)——公式變形、拓展等.

設(shè)計(jì)意圖：再次回顧公式課學(xué)習(xí)的一般路徑，為后續(xù)自主學(xué)習(xí)提供指導(dǎo).

2．師生交流，探究公式

方法一：首尾配對法

問題3前面我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的重要性質(zhì)有哪些？

學(xué)生回答，教師補(bǔ)充等差數(shù)列的重要性質(zhì)并板書其中一個(gè)重要性質(zhì)：若s,t,m,n∈N*,且s+t=m+n，則as+at=am+an.

問題4如何利用上述性質(zhì)快速求出式子1+2+3+4+…+100的值？

學(xué)生回答：(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=5050.

問題5 令f(x)=x，如何用函數(shù)的觀點(diǎn)審視上述等式？學(xué)生易得如下等式：

f(1)+f(100)=f(2)+f(99)=f(3)+f(98)=…=f(50)+f(51).

設(shè)計(jì)意圖：為首尾配對法和倒序相加法作鋪墊.

問題6如何用數(shù)列語言表示上述等式？易得a1+a100=a2+a99=a3+a98=…=a50+a51.

問題7你能用剛才的方法快速求式子1+2+3+…+100+101的值嗎？

易得(1+101)+(2+100)+(3+99)+(4+98)+…+(50+52)+51=102×50+51=5151.

設(shè)計(jì)意圖：自然引出首尾配對法中對項(xiàng)數(shù)n分奇數(shù)與偶數(shù)討論，并為倒序相加法作鋪墊.

問題8將上述方法推廣到一般情形，如何利用上述性質(zhì)快速求出1+2+3+4+…+(n-1)+n的值？

學(xué)生一般采用首尾配對法對項(xiàng)數(shù)n分奇數(shù)與偶數(shù)進(jìn)行討論.教師肯定學(xué)生的思路，并引導(dǎo)學(xué)生看課本第19頁的規(guī)范書寫.

設(shè)計(jì)意圖：對n分奇偶討論在老教材里是沒有的，在新教材里先對n奇偶討論.新教材的設(shè)計(jì)更科學(xué)，顯示用新方法探究求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的必要性.新教材的設(shè)計(jì)更自然，而且重視了數(shù)學(xué)思維的優(yōu)化意識.

方法二：倒序相加法

問題9 在求n個(gè)正整數(shù)的和時(shí)，要對n分奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論，比較麻煩，能否設(shè)法避免分類討論？

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧小學(xué)里梯形面積公式的推導(dǎo).如圖2所示.

圖2

設(shè)計(jì)意圖：通過梯形倒置，把梯形的面積轉(zhuǎn)化成已知的平行四邊形的面積，這是形的倒置，為等差數(shù)列求和中的倒序相加法作鋪墊.

問題10堆放鉛筆的V形架如圖3，共100層，類比梯形面積公式的推導(dǎo)過程求共放了幾支鉛筆？

圖3

設(shè)計(jì)意圖：從宏觀上看，把三角形倒置，這是形的倒置；從微觀上看，每一層都對應(yīng)著鋼管的數(shù)量，把三角形倒置，對應(yīng)著數(shù)的倒置，從形的倒置自然過渡到數(shù)的倒置.

方法三：猜想歸納法

設(shè)計(jì)意圖：猜想歸納法是求數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的常用方法，如果是解答題可用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

方法四：裂項(xiàng)相消法

設(shè)計(jì)意圖：裂項(xiàng)相消法是數(shù)列求和的重要方法，來源于課本又高于課本，因此很有必要挖掘裂項(xiàng)相消法.

3.整體審視，解讀公式

(1)兩個(gè)公式的聯(lián)系

(2)公式的幾何解讀

公式(1)的幾何解讀：把梯形分割成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形，如圖4所示.公式(2)的幾何解讀：倒置補(bǔ)一個(gè)梯形，把梯形補(bǔ)成平行四邊形，如圖5所示.

圖4 圖5

三、反思“大概念”，建議單元教學(xué)

大概念是一個(gè)具有復(fù)雜教育內(nèi)涵的當(dāng)代術(shù)語，只有深入把握和理解大概念，才能更好地在實(shí)踐中以大概念來引領(lǐng)課程設(shè)計(jì)和課堂教學(xué).大概念是具有概括性、生成性和真實(shí)性的上位概念，可以超越特定的知識范圍，不局限于具體的事實(shí)和技能，而是關(guān)注更大的概念、原則和過程，并將其運(yùn)用到真實(shí)的情境之中，它既能縱向聯(lián)系起學(xué)科內(nèi)部知識，又能橫向聯(lián)系起跨學(xué)科知識，還能溝通學(xué)校教育與現(xiàn)實(shí)世界，是持久的、可遷移的.大概念又有多種表現(xiàn)形式，它并不局限于“概念”，能夠促進(jìn)學(xué)生理解與遷移的概念、原理、原則、策略乃至技能，都可以稱之為大概念.

單元教學(xué)在一定程度上有利于學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化的知識體系，實(shí)現(xiàn)由淺層到深層次學(xué)習(xí)的跨越.單元教學(xué)注重學(xué)習(xí)任務(wù)引領(lǐng)，激發(fā)學(xué)生探究和求知的欲望，使學(xué)生在不斷深化大概念同時(shí)發(fā)展核心素養(yǎng).同時(shí)大概念下的單元教學(xué)也對教師提出了更高的要求和挑戰(zhàn)，教師需認(rèn)真研讀課程標(biāo)準(zhǔn)，精選教學(xué)主題，設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律和發(fā)展需求的單元學(xué)習(xí)內(nèi)容，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，落實(shí)立德樹人的教育目標(biāo).建議教師在備課時(shí)要做到以下幾點(diǎn)：

1.認(rèn)真解讀課標(biāo)，分析核心素養(yǎng).縱覽全章，與數(shù)列相關(guān)的核心素養(yǎng)主要包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模.與本單元“等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式”相關(guān)的核心素養(yǎng)有：邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模.在探索等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的過程中，發(fā)展邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；通過運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式解決實(shí)際問題發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力.在本單元第一課時(shí)中，主要是發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

2.透徹分析教材，明確教學(xué)內(nèi)容.教師要仔細(xì)閱讀教材(包括章頭圖、閱讀與思考、探究等)，然后明確單元內(nèi)容，再確定課時(shí)劃分、確定課時(shí)內(nèi)容.

3.設(shè)計(jì)課時(shí)教學(xué)，滲透學(xué)法指導(dǎo).到底要教學(xué)生什么？在教數(shù)學(xué)知識的同時(shí)，更重要的是要教學(xué)生會(huì)思考、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升要在平時(shí)的課堂學(xué)習(xí)中體驗(yàn)、感受、領(lǐng)悟的.如在課時(shí)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生梳理學(xué)習(xí)等差數(shù)列的研究路徑；引導(dǎo)學(xué)生明確公式課的一般學(xué)習(xí)套路；引導(dǎo)學(xué)生將“首尾配對法”加工、完善成“倒序相加法”的過程中，對方法進(jìn)行判斷、比較、改進(jìn)，讓學(xué)生在理解算理的同時(shí)體會(huì)到如何思考問題.