基于自適應(yīng)卡爾曼濾波法的懸臂施工撓度控制

張付林，汪 東，景 浩，王銀輝，肖廣良

（1.寧波市軌道交通集團(tuán)有限公司，浙江 寧波 315101；2.中鐵四局集團(tuán)有限公司，安徽 合肥 230023；3.浙大寧波理工學(xué)院土木建筑工程學(xué)院，浙江 寧波 315100）

0 引 言

連續(xù)剛構(gòu)橋的成橋過程是一個復(fù)雜的系統(tǒng)工程，需要經(jīng)歷多個施工階段，且在成橋后結(jié)構(gòu)線形和內(nèi)力難以調(diào)整，理想成橋狀態(tài)的實(shí)現(xiàn)需要施工過程結(jié)構(gòu)狀態(tài)按照既定的軌跡發(fā)展。然而，施工過程中結(jié)構(gòu)的實(shí)際狀態(tài)和理想狀態(tài)仍會因施工誤差、測量誤差、模型誤差、預(yù)應(yīng)力松弛，以及與時間相關(guān)的收縮徐變等因素影響，而不可避免地存在偏差。因此，如何準(zhǔn)確把握橋梁結(jié)構(gòu)施工過程中的力學(xué)行為、修正和降低結(jié)構(gòu)的施工誤差成為橋梁施工控制的重中之重。

目前，橋梁施工控制方法主要有開環(huán)控制、閉環(huán)控制和自適應(yīng)控制三種[1]。其中，閉環(huán)控制逐漸采用卡爾曼濾波、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、最小二乘法等系列理論來獲得結(jié)構(gòu)的真實(shí)撓度并進(jìn)行控制。例如，金塘大橋西通航孔橋[2]施工中采用卡爾曼濾波法對結(jié)構(gòu)預(yù)拱度進(jìn)行預(yù)測。梁濟(jì)運(yùn)河大橋[3]應(yīng)用卡爾曼濾波法預(yù)測連續(xù)剛構(gòu)橋的立模標(biāo)高。三灘黃河大橋[4]運(yùn)用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行橋梁施工過程預(yù)拱度的預(yù)測。渭河特大橋[5]運(yùn)用最小二乘法對混凝土彈性模量、預(yù)應(yīng)力張拉力、混凝土容重進(jìn)行參數(shù)識別、修正，并在此基礎(chǔ)上運(yùn)用灰色理論進(jìn)行撓度預(yù)測。黑垅大橋[6]首先采用最小二乘法對模型仿真理論所取參數(shù)值進(jìn)行調(diào)整，然后利用灰色系統(tǒng)理論進(jìn)行撓度預(yù)測。上述案例監(jiān)控結(jié)果均表明，所采用的閉環(huán)控制理論均取得了良好的控制效果。然而，卡爾曼濾波理論的濾波效果很大程度依賴于對噪聲統(tǒng)計特性的評估。準(zhǔn)確評估噪聲統(tǒng)計特性對采用卡爾曼濾波理論進(jìn)行施工控制具有重要意義。

鑒于此，本文采用自適應(yīng)卡爾曼濾波理論進(jìn)行橋梁施工控制。在利用對觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波的同時，實(shí)時地對未知的或不確切的系統(tǒng)模型參數(shù)和噪聲的統(tǒng)計特性進(jìn)行適當(dāng)?shù)墓烙嫼托拚匝a(bǔ)償濾波中對動態(tài)噪聲統(tǒng)計特性估計的不足。此外，為保障橋梁結(jié)構(gòu)線形平順或相鄰節(jié)段不出現(xiàn)大折角，提出了每次僅調(diào)整立模誤差一半的施工誤差修正策略。本文結(jié)合實(shí)際工程的應(yīng)用，證實(shí)該方法具有良好的適用性，并為同類橋梁的施工監(jiān)控提供借鑒。

1 工程概況

寧波市軌道交通4 號線上跨杭深、蕭甬鐵路工程跨鐵路節(jié)點(diǎn)橋是一座集大跨、小曲率半徑、不對稱和轉(zhuǎn)體施工于一體的預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)剛構(gòu)橋，橋位上行線路中心線曲率半徑為350 m，全長301 m，橋跨布置為（68+138+95）m，如圖1 所示。橋梁上部結(jié)構(gòu)采用懸臂澆筑施工工藝在平行鐵路線兩側(cè)澆筑，懸臂施工完成后再轉(zhuǎn)體合龍施工。橋跨采用不對稱布置形式，轉(zhuǎn)體T 構(gòu)懸臂長度分別為50 m（27 號T 構(gòu)）和86 m（28 號T 構(gòu)），主梁截面頂板寬11 m，底板寬7 m，27號墩T 構(gòu)（小T 構(gòu)）主梁梁高5～9 m（按1.8 次拋物線變化）；28 號墩T 構(gòu)（大T 構(gòu)）主梁梁高5～12 m（按1.8 次拋物線變化）。

圖1 立面布置圖（單位：m）

2 立模標(biāo)高的確定

采用懸臂施工工藝的連續(xù)剛構(gòu)橋任一節(jié)段標(biāo)高受該節(jié)段及其后續(xù)節(jié)段施工的影響而不斷改變，直至成橋狀態(tài)。立模標(biāo)高的控制目標(biāo)就是使節(jié)段標(biāo)高沿著理想軌跡線到達(dá)理想成橋狀態(tài)，即通過立模標(biāo)高的調(diào)整使節(jié)段標(biāo)高盡可能接近理想軌跡線。由此可見，立模標(biāo)高需要抵消后續(xù)施工過程（包含本節(jié)段）所產(chǎn)生的撓度，即：

式中：HL為立模標(biāo)高；HD為設(shè)計標(biāo)高；HC為理論預(yù)拱度；HG為掛籃變形預(yù)拱度。

掛籃變形主要根據(jù)掛籃預(yù)壓試驗(yàn)進(jìn)行計算，并可根據(jù)懸臂施工前幾個節(jié)段澆筑變形小、掛籃變形為主的特點(diǎn)對掛籃變形預(yù)測進(jìn)行修正。橋梁結(jié)構(gòu)實(shí)測撓度與理論撓度不可避免地會存在偏差，可運(yùn)用現(xiàn)代控制理論，分別建立撓度預(yù)測模型對下一施工節(jié)段各項(xiàng)撓度進(jìn)行預(yù)測，進(jìn)而修正立模標(biāo)高。

為保障橋梁結(jié)構(gòu)線形平順或相鄰節(jié)段不出現(xiàn)大折角，每次調(diào)整立模誤差的一半，如圖2 所示。

圖2 立模誤差調(diào)整示意圖

圖2 中HG（k-1）、HG（k）、HG（k+1）為理論立模標(biāo)高誤差值，理想狀態(tài)為0。H'G（k-1）、H'G（k）為掛籃實(shí)際立模誤差值，往往通過澆筑前掛籃立模標(biāo)高的復(fù)測獲得。ΔHG（k-1）為立模誤差導(dǎo)致的調(diào)整值。H'G（k+1）為保證結(jié)構(gòu)線形不受立模誤差影響需要的掛籃立模誤差調(diào)整值。lk、lk+1 分別為第k、k+1 節(jié)段的長度。

3 基于卡爾曼濾波的撓度預(yù)測理論

3.1 基于離散線性系統(tǒng)的卡爾曼濾波理論

卡爾曼濾波法的實(shí)質(zhì)是從含噪聲（測量誤差、施工誤差等）的信號中提取出真實(shí)信號，估計系統(tǒng)的真實(shí)狀態(tài)。再用估計出的結(jié)構(gòu)狀態(tài)變量，按照確定的規(guī)律對結(jié)構(gòu)的后續(xù)響應(yīng)進(jìn)行預(yù)測，對已施工k節(jié)段和待施工k+1 節(jié)段建立基本離散線性系統(tǒng)狀態(tài)方程和測量方程為：

式中：x（k）為k施工步驟時的n維狀態(tài)向量，由n個待辨識的結(jié)構(gòu)參數(shù)組成；z（k+1） 為k+1 施工步驟時的m維觀測數(shù)據(jù)向量，由m個觀測數(shù)據(jù)組成；ω（k）為n維系統(tǒng)隨機(jī)干擾向量，代表了狀態(tài)方程的污染；v（k+1）為k+1 施工步驟時的m維量測噪聲向量；?（k+1，k）為n×n階狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；H（k+1）為k+1施工步驟時從x（k+1）到z（k+1）的m×n維線性變換矩陣。

基于卡爾曼濾波系統(tǒng)的噪聲的統(tǒng)計特性為：

其中：

Rk為m×m 維正定對角矩陣，其每個元素為相應(yīng)矩陣行的觀測變量的均方差，即Rk為測量誤差均方差。

狀態(tài)向量的初始統(tǒng)計特性是已知的，即：

線性離散型系統(tǒng)的最優(yōu)線性估計問題可表示為：給出控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測方程，給出觀測序列z（0），z（1），z（2），…，z（j），要求線性最小方差估計方法找出的最優(yōu)線性估計值x?（k）。

在已知的初始條件下，卡爾曼濾波的遞推公式如式（7）～式（10）所示：

從式（10）可見，k+1 時刻的最佳濾波x?（k+1，k+1）等于基于前k次測量z（k）對k+1 時刻的最佳預(yù)報x?（k+1，k+1），再加上第k+1 次測量所帶來的信息的加權(quán)修正，即K（k+1）[z（k+1）-H（k+1）?（k+1，k）x?（k，k）]，整個濾波遞推的順序是（7）→（8）→（9）→（10）。

3.2 基于自適應(yīng)卡爾曼濾波法的撓度預(yù)測

值得注意的是，標(biāo)準(zhǔn)離散線性卡爾曼濾波假定了系統(tǒng)誤差和量測誤差屬于統(tǒng)計特性已知的獨(dú)立高斯隨機(jī)系列，即均值為零，自協(xié)方差分別為Q（k）和R（k）。這些條件往往存在于理論階段，在T 構(gòu)懸臂施工線形控制上難以滿足，兩誤差的統(tǒng)計特性實(shí)際上是難以知曉的。此外，施工控制過程是一個動態(tài)過程，如果其動態(tài)噪聲的方差、協(xié)方差估計誤差較大，也容易使結(jié)果發(fā)散。因此，學(xué)者們在此基礎(chǔ)上發(fā)展了自適應(yīng)卡爾曼濾波法。

基于自適應(yīng)卡爾曼濾波法的撓度預(yù)測主要用于懸臂施工過程主梁因掛籃前移、混凝土澆筑和預(yù)應(yīng)力張拉引起的撓度偏差的預(yù)測上，因此，可建立懸臂端撓度的狀態(tài)方程和量測方程：

式中：ω（k）為k施工階段的施工誤差；v（k）為k施工階段的撓度測量誤差；z（k）為k施工階段撓度測量值；x（k+1）為待施工階段k+1 梁端撓度值；x（k）為已完成施工階段k梁端撓度值；?（k+1，k）為線性變換系數(shù)，也就是線性變換系數(shù)，也就是k+1 階段與k階段懸臂端撓度理論值之比，即：

自適應(yīng)卡爾曼濾波的噪聲統(tǒng)計特性為：

式中：q（k）和r（k）分別為系統(tǒng)噪聲和觀測噪聲的均值，其余同式（4）。

由于量測誤差均值不為零，故相對于式（1），真實(shí)撓度狀態(tài)的濾波估計值為：

濾波增益矩陣為：

預(yù)測誤差協(xié)方差矩陣為：

濾波誤差協(xié)方差矩陣為：

在系統(tǒng)誤差和量測誤差的傳遞過程中引入了遺忘因子b（0＜b＜1），通過b的取值起到限制濾波的記憶長度，增加新近監(jiān)測數(shù)據(jù)對當(dāng)前估計的作用。相應(yīng)的系統(tǒng)誤差和量測誤差的傳遞關(guān)系為：

一般而言，混凝土連續(xù)剛構(gòu)橋懸臂施工過程前期，結(jié)構(gòu)變形很小，相應(yīng)的撓度偏差也很小，因此一般選擇施工至某一節(jié)段作為自適應(yīng)卡爾曼濾波的初始時刻。相應(yīng)地選取x?（0）為該節(jié)段施工的理論撓度，P（0，0）為該節(jié)段施工理論撓度與實(shí)測撓度差值的平方，Q（0）為初始階段系統(tǒng)誤差的均方差，R（0）為測量誤差均方差，遺忘因子b根據(jù)經(jīng)驗(yàn)一般取0.7。

根據(jù)以上取值，可按照（19）→（18）→（20）→（17）→（16）→（15）→（21）→（22）→（23）→（24）→（25）→（19）→（18）……的順序計算出已施工節(jié)段的撓度真實(shí)值和下一節(jié)段撓度的預(yù)測值及各種參數(shù)值，從而實(shí)現(xiàn)待施工梁段撓度的預(yù)測。

4 主梁撓度控制結(jié)果分析

混凝土連續(xù)剛構(gòu)橋主梁剛度隨懸臂長度的增大而減小，當(dāng)懸臂長度較短時，結(jié)構(gòu)剛度大、變形小，混凝土澆筑導(dǎo)致的懸臂端下?lián)献冃沃饕蓲旎@變形引起，張拉變形主要受測量誤差的影響，結(jié)構(gòu)的實(shí)際標(biāo)高偏差主要來源于立模誤差和掛籃變形估計偏差。當(dāng)懸臂長度增長時，結(jié)構(gòu)剛度減小、變形增大，主梁受力變形逐漸占主導(dǎo)因素。因此，懸臂施工前期，應(yīng)進(jìn)行掛籃變形、測量誤差等分析，立模標(biāo)高的控制主要針對立模誤差展開；懸臂施工后期，應(yīng)在前期的基礎(chǔ)上進(jìn)行撓度的預(yù)測和控制，立模標(biāo)高的控制主要針對結(jié)構(gòu)理論撓度與實(shí)際變形的誤差展開。本文針對前六個節(jié)段的監(jiān)測主要進(jìn)行掛籃變形規(guī)律和測量誤差特性的分析，并根據(jù)立模誤差進(jìn)行立模標(biāo)高的修正；后續(xù)節(jié)段根據(jù)前六個節(jié)段的監(jiān)測成果進(jìn)行掛籃變形的修正、撓度的預(yù)測和立模標(biāo)高的修正。受實(shí)際工程進(jìn)度的影響，依托項(xiàng)目施工至28# 墩5 號節(jié)段，故僅展示以上節(jié)段的施工監(jiān)控成果。各節(jié)段施工后梁底實(shí)測標(biāo)高如圖3 和圖4 所示。各施工節(jié)段撓度監(jiān)測值如表1 所示。

圖3 28# 墩邊跨側(cè)主梁梁底標(biāo)高

圖4 28# 墩中跨側(cè)主梁梁底標(biāo)高

由圖3 和圖4 可以看出，實(shí)際結(jié)構(gòu)梁底標(biāo)高略高于理論標(biāo)高，主要原因是施工1# 和2# 節(jié)段時存在較大的立模誤差。兩側(cè)梁底標(biāo)高隨懸臂的伸長逐漸接近理論標(biāo)高，5# 節(jié)段邊跨側(cè)梁底標(biāo)高比理論標(biāo)高高6 mm，中跨側(cè)高4 mm，且保證了橋梁線形的整體平順。由此可以看出，針對立模誤差所采用的立模標(biāo)高調(diào)整方法達(dá)到了較好的控制效果。

由表1 可以看出，懸臂端實(shí)測撓度值與理論變形值較接近。根據(jù)依托項(xiàng)目結(jié)構(gòu)變形特點(diǎn)，主梁在前五個節(jié)段澆筑過程中懸臂前端受力變形值很小，均小于1 mm，澆筑階段懸臂前端的撓度主要來源于掛籃的彈性變形，因此可以看出掛籃變形值與理論值較為接近，平均誤差在3 mm 以內(nèi)。根據(jù)掛籃預(yù)壓試驗(yàn)結(jié)果，較好地估計了掛籃變形值。前五個節(jié)段預(yù)應(yīng)力張拉變形理論值為0 mm，其實(shí)測值與之相差約為1 mm，該差值主要來源于測量誤差。

表1 28# 墩各施工階段懸臂端撓度值 單位：m

5 結(jié) 論

（1）連續(xù)剛構(gòu)橋施工過程可調(diào)變量主要是立模標(biāo)高，立模誤差離散性大。為保證結(jié)構(gòu)的線形，需要進(jìn)行單獨(dú)的修正?？柭鼮V波法可以從被噪聲污染的撓度實(shí)測數(shù)據(jù)中識別出系統(tǒng)真實(shí)狀態(tài)，并進(jìn)行撓度預(yù)測，可用于彌補(bǔ)自適應(yīng)控制法部分狀態(tài)參數(shù)難以辨識所帶來的誤差。

（2）橋梁懸臂施工前期各節(jié)段標(biāo)高誤差主要來源于立模誤差，以橋梁結(jié)構(gòu)線形平順為原則，通過每次調(diào)整立模誤差一半的手段，經(jīng)過多個節(jié)段的逐步調(diào)整，使節(jié)段標(biāo)高回歸至設(shè)計位置，且保證了主梁線形的整體平順。

（3）澆筑和張拉階段懸臂端撓度的實(shí)測值與理論值接近，懸臂施工前期澆筑變形主要來源于掛籃變形，掛籃預(yù)壓試驗(yàn)結(jié)果得到的掛籃變形估計值與實(shí)測值吻合較好。

（4）寧波市軌道交通4 號線上跨杭深、蕭甬鐵路工程跨鐵路節(jié)點(diǎn)橋?qū)嵗嬎阕C明了該方法的實(shí)用性和有效性.