基于建構(gòu)主義的數(shù)列裂項(xiàng)求和探析

廣東 王翠娜

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.在人教A版新教材中，數(shù)列由原來的必修變?yōu)檫x擇性必修，難度有增加的趨勢，全國各地的高考模擬題也對數(shù)列的考查加大了難度.高三的復(fù)習(xí)課對數(shù)列結(jié)構(gòu)中的規(guī)律性的探究顯得越來越重要.教材中研究了兩種基本的數(shù)列：等差數(shù)列和等比數(shù)列.等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和有求和公式，對于非等差、非等比數(shù)列的求和問題，沒有專門的求和公式可以用，只能轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本數(shù)列或者通過正負(fù)相消來求和.基于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的數(shù)列裂項(xiàng)相消求和法就是一種解決非等差、等比數(shù)列求和的重要方法.本文通過問題驅(qū)動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生逐步建立裂項(xiàng)求和的知識結(jié)構(gòu)，從而達(dá)成從知識結(jié)構(gòu)到知識應(yīng)用的深度學(xué)習(xí).

一、理論基礎(chǔ)

(一)建構(gòu)主義的理論

皮亞杰的建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為知識是“個(gè)體在與環(huán)境交互作用的過程中逐漸建構(gòu)的結(jié)果”.學(xué)習(xí)是“主體內(nèi)部的邏輯構(gòu)造”，學(xué)習(xí)“是一種能動(dòng)建構(gòu)的過程”“在原有圖式的基礎(chǔ)上構(gòu)建新的認(rèn)知圖式”.在他看來，知識的習(xí)得是學(xué)生主動(dòng)探索、主動(dòng)建構(gòu)的過程，而不是被動(dòng)接受.“學(xué)生掌握解決問題的程序和方法，比掌握知識內(nèi)容更重要”.皮亞杰建構(gòu)主義認(rèn)識論的最實(shí)質(zhì)性的方面——認(rèn)識的螺旋.人的認(rèn)識是一個(gè)螺旋上升的過程，呈一個(gè)倒置的圓錐的形狀，而且螺旋是開放的，它的開口越來越大.人的認(rèn)識是一個(gè)永遠(yuǎn)向前伸展的、連續(xù)的、螺旋上升的過程.

(二)最近發(fā)展區(qū)理論

“最近發(fā)展區(qū)”理論的基本內(nèi)涵：蘇聯(lián)心理學(xué)家維果茨基認(rèn)為：學(xué)生的發(fā)展存在兩種水平：一是現(xiàn)有水平，二是潛在水平，兩種水平之間的距離稱為“最近發(fā)展區(qū)”.教學(xué)是由潛在水平轉(zhuǎn)化為新的現(xiàn)有水平，并不斷創(chuàng)造新的發(fā)展區(qū)的過程.

本節(jié)裂項(xiàng)求和的教學(xué)就是由教師創(chuàng)設(shè)課程學(xué)習(xí)情境，以基于最近發(fā)展區(qū)的問題為驅(qū)動(dòng)，通過學(xué)生的小組合作、主動(dòng)探索，進(jìn)行有意義的知識和能力的建構(gòu)過程.

二、教學(xué)片段摘錄

裂項(xiàng)相消法是指將數(shù)列的通項(xiàng)分裂成兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的式子的代數(shù)和的形式，然后通過累加抵消中間若干項(xiàng)，從而可以求和的方法.

教學(xué)片段1：創(chuàng)設(shè)課程學(xué)習(xí)情境，引出裂項(xiàng)求和

(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式；

答案：an=2n+1

師：第(2)問用什么方法求和呢？

生：可以采用裂項(xiàng)相消法.

師：同學(xué)們裂項(xiàng)看看，通項(xiàng)的式子裂開后是什么樣子的？

師：這兩種形式哪個(gè)正確呢？為什么？

生：第二個(gè)正確，因?yàn)橥ǚ种蠛驮瓉硐嗟?

師：那你一開始是怎么知道要裂成這種形式的呢？

師：通過這三個(gè)例子，你發(fā)現(xiàn)了什么？有什么規(guī)律嗎？

學(xué)生開始沉默了.教師及時(shí)實(shí)施小組討論的策略開始小組討論.

評析：此題創(chuàng)設(shè)問題情境，引出裂項(xiàng)求和.結(jié)合學(xué)生的回答引出裂項(xiàng)求和的原理是利用了分式的性質(zhì)，通分還原和原來相等或者直接用待定系數(shù)法確定系數(shù).

學(xué)生恍然大悟，原來是通過通分對比相應(yīng)系數(shù)相等得到的.教師進(jìn)一步追問：

師：裂項(xiàng)相消法適用于那種類型的數(shù)列呢？哪種結(jié)構(gòu)？

師：只有這種形式嗎？只能相鄰不能間隔嗎？

師：總結(jié)的非常好，還要特別注意分母有什么特征？分母是兩項(xiàng)乘積的形式.

生：第一個(gè)可以直接相消，第二個(gè)不行，要間隔兩項(xiàng)才能相消.

教師進(jìn)一步追問：

師：為什么呢？所以我們在裂項(xiàng)時(shí)要注意什么問題？

生：因?yàn)橥?xiàng)公式一個(gè)是相鄰的兩項(xiàng)，一個(gè)是間隔開的兩項(xiàng)，要多裂幾項(xiàng)找規(guī)律，最好列出前三項(xiàng)和后三項(xiàng).

師：對比前面剩余的項(xiàng)和后面剩余的項(xiàng)你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：好像是對稱的，前面剩第幾項(xiàng)后面就對稱的剩第幾項(xiàng).

評析:通過這一道題，以基于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)積極地建構(gòu)裂項(xiàng)相消的相關(guān)知識，使學(xué)生基本都掌握了常見的裂項(xiàng)類型和裂項(xiàng)求和需要注意的問題.

教學(xué)片段2：引申拓展，合作探究

教師拋出問題：

【例2】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=2，S5=30，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，且Tn=2n-1.

(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式.

答案:an=2n;bn=2n-1

學(xué)生有些困惑，經(jīng)過小組討論交流后，有同學(xué)舉起了手.

生：和例1不同的是這個(gè)題是指數(shù)型的，例1的分母是一次函數(shù)型的等差數(shù)列相乘，分子是常數(shù).相同的地方是分母都是兩項(xiàng)的乘積，結(jié)構(gòu)相似，可以考慮裂項(xiàng)相消.

師：非常好！請同學(xué)們動(dòng)手試一試.

學(xué)生把分母裂開，通分驗(yàn)算，發(fā)現(xiàn)左右兩邊相等，喜出望外.

師：你能用剛才講的待定系數(shù)法直接裂開嗎？試一試.

小組合作探究1：設(shè)

最后派代表上講臺投影.

師：本題中通項(xiàng)cn的分子不是常數(shù)，這個(gè)2n-1是怎么來的呢？

生：是分母通分之后相減的結(jié)果.

師：很好，我如果把通項(xiàng)cn換成

生：一樣的方法.

師：請同學(xué)們把這兩個(gè)通項(xiàng)分別求和，看看過程和結(jié)果一樣嗎？

生：不一樣，一個(gè)可以連續(xù)相消，一個(gè)要間隔兩項(xiàng)才能相消.

師：和剛才的例1一樣，一個(gè)分母是相鄰的兩項(xiàng)，一個(gè)是間隔開的兩項(xiàng).

師：同學(xué)們總結(jié)的非常到位，除此之外你能將這題的通項(xiàng)概括出一般形式嗎？

師：太強(qiáng)了！指數(shù)型的我們會(huì)了，請同學(xué)繼續(xù)研究下面的問題；

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；

答案：an=2n

生：是剛才例1的平方，分子上多了n+1，分母也是兩項(xiàng)乘積的形式，可以試試裂項(xiàng).

小組合作交流2：

師：分子的n+1實(shí)際上是分母通分運(yùn)算的結(jié)果.你能從bn的結(jié)構(gòu)特征概括出一般情形嗎？

評析：例2和例3是例1的變式，難度提升，根據(jù)學(xué)習(xí)是“在原有圖式的基礎(chǔ)上構(gòu)建新的認(rèn)知圖式”的建構(gòu)主義理論，筆者沒有放棄任何啟發(fā)誘導(dǎo)的機(jī)會(huì)，以問題驅(qū)動(dòng)的方式，層層推進(jìn)，螺旋上升，通過類比模仿，使學(xué)生基本掌握了待定系數(shù)法裂項(xiàng)的本質(zhì).

教學(xué)片段3：綜合應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)建構(gòu)能力

師：除了上面的三種類型外，請同學(xué)們再看下面的問題：

(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

答案an=n

學(xué)生，保持沉默.教師繼續(xù)及時(shí)開展小組討論活動(dòng).聰明的同學(xué)觀察到分母是乘積的形式，嘗試開始裂項(xiàng).

師：有沒有同學(xué)看出端倪？分母三項(xiàng)的乘積是怎么來的？

生：應(yīng)該是通分相乘化來的.

師：那你能裂出原來的兩個(gè)分式嗎？注意分裂的式子結(jié)構(gòu)要相同.

師：聰明，說得太好了！最根本的還是利用了前面建構(gòu)的待定系數(shù)法.根據(jù)通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征，分母的三項(xiàng)相乘實(shí)際上是兩分式的分母的最小公倍數(shù)，所以裂開時(shí)要裂成結(jié)構(gòu)相同的兩項(xiàng)，才能正負(fù)抵消.分子依然是分母通分運(yùn)算的結(jié)果.這里2n在分母上，如果將2n放到分子上又如何求和呢？請同學(xué)們繼續(xù)探究下面的問題.

【例5】設(shè){an}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，{bn}是等差數(shù)列.已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6.

(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

答案：bn=n

(2)設(shè)數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn(n∈N*),(i)求Tn；

答案：Tn=2n+1-n-2

師：請同學(xué)們總結(jié)一下前面的五種類型有什么共同特征呢？都是什么結(jié)構(gòu)的裂項(xiàng)求和？可以歸納一下嗎？大家回顧一下，小組的同學(xué)互相交流一下.

經(jīng)過交流之后，有同學(xué)得出了答案.

師：那分子上不是常數(shù)1的呢？也能這樣裂項(xiàng)嗎？

生：可以采用待定系數(shù)法，分子實(shí)質(zhì)上是分母通分運(yùn)算的結(jié)果.

【例6】已知數(shù)列{an}是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，a1=1，且a1+2，2a2，a3+7成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

答案：an=2n-1(n∈N*)

師：注意到我們一開始說的裂項(xiàng)求和的定義，是將數(shù)列的通項(xiàng)分裂成兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的式子的代數(shù)和的形式，實(shí)際上也是兩項(xiàng)的和，大家再看看這個(gè)題，轉(zhuǎn)化為兩項(xiàng)的和是什么呢？

學(xué)生恍然大悟，都怪自己受思維定勢的影響，一直想著轉(zhuǎn)化為兩項(xiàng)的差.我繼續(xù)追問：

師：為什么這題要轉(zhuǎn)化成兩項(xiàng)的和呢？為什么轉(zhuǎn)化為和卻可以正負(fù)相消呢？

生：因?yàn)榍懊嬗袀€(gè)(-1)n，加上n的奇偶性，就可以轉(zhuǎn)化為差了.

師：所以同學(xué)們要注意多觀察題目的特點(diǎn)，要注意裂項(xiàng)求和形式的多樣性.那么正確地解答本題的步驟應(yīng)該是怎樣的？

生：要分n的奇偶性分類討論.

學(xué)生做完以后，找同學(xué)黑板投影，

評析：最后讓學(xué)生回顧了今天所學(xué)內(nèi)容，裂項(xiàng)求和有哪些類型？裂項(xiàng)的本質(zhì)特征是什么？布置學(xué)生課后歸納整理.第二天學(xué)生交出了如下總結(jié)：

裂項(xiàng)相消的類型：

常見裂項(xiàng)技巧：

三、基于建構(gòu)主義的裂項(xiàng)求和

這兩節(jié)課中，學(xué)生經(jīng)歷了讀懂結(jié)構(gòu)體驗(yàn)知識點(diǎn)的形成過程；精做練習(xí)，經(jīng)歷了知識點(diǎn)的應(yīng)用過程；歸納總結(jié)，感悟知識點(diǎn)的提煉過程.教師的問題驅(qū)動(dòng)，追問啟發(fā)，學(xué)生的親身實(shí)踐，大大提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)建構(gòu)能力和分析問題、解決問題的能力，從而進(jìn)一步提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

四、基于建構(gòu)主義的數(shù)列裂項(xiàng)求和對教師教學(xué)的啟示

新課標(biāo)新高考如何建構(gòu)新教學(xué)？崔允漷教授指出，新目標(biāo)就是學(xué)生“在什么情境下運(yùn)用什么知識能做什么事(關(guān)鍵能力)，是否持續(xù)地做事(必備品格)，是否正確地做成事(價(jià)值觀念)”.做事是新目標(biāo)的宗旨，是新教學(xué)的關(guān)鍵，是新評價(jià)的焦點(diǎn)，是素養(yǎng)推論的直接依據(jù).

1.精讀教材，基于《課程標(biāo)準(zhǔn)》進(jìn)行學(xué)科整體教學(xué)設(shè)計(jì)，單元教學(xué)設(shè)計(jì)和具體課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)，層層推進(jìn)，螺旋上升，突出系統(tǒng)建構(gòu)和解決問題.新教材加強(qiáng)了知識間的系統(tǒng)性、邏輯性和聯(lián)系性，所以教師在備課時(shí)要整體規(guī)劃，注重知識之間邏輯性的教學(xué)，加強(qiáng)概念原理的生成性教學(xué)，以深度教學(xué)實(shí)現(xiàn)學(xué)生深度學(xué)習(xí).從一節(jié)課到一個(gè)主題，從一節(jié)內(nèi)容到一章內(nèi)容，整體把握教材內(nèi)容，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，引領(lǐng)學(xué)生實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

2.聚焦課堂教學(xué)關(guān)鍵，精心備課，精誠參與，從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，引領(lǐng)學(xué)生積極主動(dòng)地自主學(xué)習(xí)，自主建構(gòu)新知識，幫助學(xué)生將碎片化的知識結(jié)構(gòu)化，一步步接近問題的本質(zhì)，從課堂解題轉(zhuǎn)向解決問題.不斷地通過問題解決培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，打通數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的最后一公里.