基于組合優(yōu)化算法的拼接子鏡組件一體設(shè)計(jì)

杜一民，高雁，許博謙，張春悅，匡也

（中國科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所中國科學(xué)院空間光學(xué)系統(tǒng)在軌制造與集成重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)春 130033）

0 引言

隨著空間觀測(cè)需求的發(fā)展，對(duì)空間光學(xué)遙感器的要求越來越高［1-5］。反射鏡組件是空間光學(xué)遙感器中最重要的部件之一，反射鏡的面形精度與穩(wěn)定性直接關(guān)系到光學(xué)系統(tǒng)的成像質(zhì)量。為了降低反射鏡支撐、加工、裝調(diào)、檢測(cè)難度，保證面形精度，需對(duì)其進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)以減輕結(jié)構(gòu)重量［6-8］。

歐洲航天局研制的Herschel 遠(yuǎn)紅外望遠(yuǎn)鏡Φ3.5 m 主鏡的鏡面厚度為2.5 mm，鏡體重量為210 kg，面密度為21.8 kg/m2，采用雙足支架柔性支撐結(jié)構(gòu)，面形精度RMS 值優(yōu)于2 μm［9］；Xinetics 公司研發(fā)的Φ510 mm反射鏡的鏡面厚度為2～4 mm，加強(qiáng)筋厚度為1.5 mm，反射鏡的面密度僅為22 kg/m2，面形精度RMS 值為296 nm［10］。張雷、柯善良［11-12］等針對(duì)某空間相機(jī)的Φ210 mmSiC 反射鏡應(yīng)用拓?fù)鋬?yōu)化、多目標(biāo)集成優(yōu)化方法進(jìn)行超輕量化設(shè)計(jì)，并應(yīng)用集成優(yōu)化方法優(yōu)化設(shè)計(jì)了一種串聯(lián)雙軸片式柔性支撐結(jié)構(gòu)，反射鏡面形精度RMS 值優(yōu)于3.5 nm，組件重量?jī)H為637 g，面密度達(dá)到16.9 kg/m2；邵夢(mèng)琪等［13］針對(duì)微型遙感載荷采用第二代非支配排序遺傳算法建立多約束多目標(biāo)的參數(shù)優(yōu)化模型，設(shè)計(jì)了一種折臂梁式柔性支撐結(jié)構(gòu)，鏡面的表面誤差RMS 優(yōu)于0.020λ。

傳統(tǒng)輕量化方法一般以單一工件為優(yōu)化對(duì)象［14-15］，不能使整個(gè)組件真正達(dá)到重量最輕、面形精度最高的設(shè)計(jì)目標(biāo)。由于子鏡組件（Primary Mirror Segment Assembly，PMSA）促動(dòng)器承載能力及鏡體材料的嚴(yán)格限制，傳統(tǒng)輕量化方法無法滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)。因此，子鏡組件的一體優(yōu)化設(shè)計(jì)方法是符合重量要求的關(guān)鍵。組件級(jí)一體化設(shè)計(jì)勢(shì)必引入過多的參數(shù)變量，導(dǎo)致系統(tǒng)運(yùn)算量大，迭代時(shí)間長(zhǎng)、不易收斂。為解決上述問題，設(shè)計(jì)了一種基于多島遺傳與梯度優(yōu)化的組合優(yōu)化算法，將其應(yīng)用于拼接子鏡的優(yōu)化設(shè)計(jì)中。

本文旨在應(yīng)用一體優(yōu)化方法設(shè)計(jì)一種用于拼接式主鏡、鏡體材料為Zerodur 的子鏡組件，通過拓?fù)鋬?yōu)化方法確定子鏡結(jié)構(gòu)形式，基于反射鏡背部三點(diǎn)支撐方案提出一種開槽橫梁多軸柔性支撐結(jié)構(gòu)。建立組件一體化多目標(biāo)優(yōu)化模型，對(duì)鏡體、柔性支撐與背板的尺寸參數(shù)進(jìn)行一體優(yōu)化，通過工程分析方法及試驗(yàn)驗(yàn)證了子鏡組件的性能，很好解決了反射鏡組件設(shè)計(jì)中的全局尋優(yōu)問題。

1 子鏡組件結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

本文研究的拼接式反射鏡由三塊正六邊形Zerodur 子鏡構(gòu)成，每個(gè)子鏡外接圓Φ242 mm。由于子鏡位姿促動(dòng)器承載能力的限制，要求結(jié)構(gòu)重量不大于2 kg。自身重力與5℃溫變的分別作用下，子鏡面形精度RMS 值優(yōu)于λ/50（λ=632.8 nm），組件基頻不小于200 Hz，主鏡拼接后面形精度優(yōu)于λ/40。為了保證子鏡面形，考慮組件的動(dòng)靜態(tài)剛度與熱穩(wěn)定性［16］，子鏡采用背部三點(diǎn)支撐方案。

1.1 子鏡拓?fù)鋬?yōu)化

子鏡的輕量化是在給定的設(shè)計(jì)空間內(nèi)尋找合理的材料分布，在滿足各種性能的前提下實(shí)現(xiàn)重量最輕設(shè)計(jì)。本文通過OptiStruct 中基于密度法的拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)確定子鏡背部的最佳結(jié)構(gòu)形式。在工程實(shí)際中通常將反射鏡的面形精度要求轉(zhuǎn)化為鏡面節(jié)點(diǎn)的約束。拓?fù)鋬?yōu)化模型以子鏡體積最小為優(yōu)化目標(biāo)，鏡面節(jié)點(diǎn)位移為約束，材料分布密度為變量，其數(shù)學(xué)描述為

式中，ρi為單元的相對(duì)密度，是優(yōu)化變量；N為設(shè)計(jì)取離散結(jié)構(gòu)單元總數(shù)目；vi為單元體積；V為優(yōu)化后設(shè)計(jì)區(qū)結(jié)構(gòu)體積；F為邊界載荷；K為結(jié)構(gòu)總剛度矩陣；u為節(jié)點(diǎn)位移向量；U為鏡面節(jié)點(diǎn)位移；U*為鏡面節(jié)點(diǎn)位移約束；ρmax、ρmin分別為單元密度的極大值與極小值。

根據(jù)子鏡支撐方案及設(shè)計(jì)要求，對(duì)子鏡的材料分布進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，建立如圖1（a）所示的有限元模型，約束支撐孔三個(gè)方向上的位移自由度，鏡面與支撐孔側(cè)壁為非設(shè)計(jì)區(qū)域，其余部分為設(shè)計(jì)區(qū)域。拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖1（b），鏡體材料分布呈雜亂狀態(tài)，且在工程中材料密度不存在中間值，應(yīng)對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行分析以適應(yīng)工程實(shí)際：支撐孔附近單元基本得以保留，布置加強(qiáng)筋與支撐孔側(cè)壁連接；子鏡邊角與支撐點(diǎn)間路徑上均有單元保留，應(yīng)設(shè)置加強(qiáng)筋連接；鏡體邊緣大部分區(qū)域被去除，應(yīng)適度切除。子鏡初始結(jié)構(gòu)如圖2，邊角與支撐孔間通過12 條加強(qiáng)筋相連，邊緣部分進(jìn)行了修剪處理，減輕結(jié)構(gòu)重量。

圖1 子鏡拓?fù)鋬?yōu)化Fig.1 Topology optimization of mirror

圖2 子鏡初始結(jié)構(gòu)Fig.2 Initial structure of mirror

1.2 柔性支撐結(jié)構(gòu)

柔性支撐起到支撐鏡體的作用，同時(shí)減小反射鏡組件因材料熱膨脹系數(shù)的不同引起的面形精度下降，柔性支撐結(jié)構(gòu)應(yīng)具備良好的動(dòng)靜態(tài)剛度保證反射鏡的面形精度及穩(wěn)定性，還要提供足夠的柔性充分釋放組件內(nèi)部產(chǎn)生的熱應(yīng)力，減小溫度變化對(duì)反射鏡面形的影響，一般通過局部開槽或去除材料降低特定方向上的剛度。設(shè)計(jì)的柔性支撐結(jié)構(gòu)選用比剛度較大的鈦合金（TC4）材料以減輕結(jié)構(gòu)重量，初始結(jié)構(gòu)如圖3，包括：襯套安裝座、開槽橫梁、多軸鉸鏈、底座，由支撐橫梁上的應(yīng)力釋放溝槽和多軸柔性鉸鏈共同構(gòu)成柔性環(huán)節(jié)。

圖3 開槽橫梁多軸柔性支撐初始結(jié)構(gòu)Fig.3 Initial structure of multi-axis flexible support with slotted beams

1.3 子鏡組件初步設(shè)計(jì)

子鏡組件由子鏡、襯套、柔性支撐結(jié)構(gòu)、背板構(gòu)成，裝配關(guān)系如圖4。襯套采用與Zerodur 子鏡熱膨脹系數(shù)相同的殷鋼（4J32）材料，通過環(huán)氧膠與反射鏡支撐孔粘接，背板采用鈦合金（TC4）材料，整個(gè)組件固定在子鏡位姿促動(dòng)器上。

圖4 子鏡組件初始結(jié)構(gòu)Fig.4 Initial structure of primary mirror segment assembly

2 子鏡組件一體優(yōu)化設(shè)計(jì)

子鏡組件安裝在促動(dòng)器上以調(diào)整子鏡位姿，為了降低位姿促動(dòng)器的負(fù)載，同時(shí)保證拼接式反射鏡的成像質(zhì)量，以子鏡面形精度和結(jié)構(gòu)質(zhì)量作為衡量組件性能的依據(jù)，對(duì)組件結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行一體優(yōu)化設(shè)計(jì)。

2.1 組合優(yōu)化算法

遺傳算法借助于生物進(jìn)化過程中“適者生存”的規(guī)律，模仿生物遺傳繁殖機(jī)制，對(duì)優(yōu)化問題解空間的個(gè)體進(jìn)行編碼及遺傳操作，經(jīng)過迭代從新的種群中尋找最優(yōu)解。多島遺傳算法是對(duì)并行分布遺傳算法的改進(jìn)，具有優(yōu)良的全局求解能力，適用于全局、非光滑、不連續(xù)的優(yōu)化問題，但收斂速度較慢；梯度優(yōu)化算法尋優(yōu)過程可以表述為以一定的方向、一定的步長(zhǎng)逐步接近優(yōu)化點(diǎn)的過程。選定初始點(diǎn)X（0），按梯度方向S（0），以初選步長(zhǎng)a（0）尋找一個(gè)新點(diǎn)X（0），使目標(biāo)函數(shù)值f下降，并重復(fù)這一過程，直到獲得最優(yōu)解X*，即X（k+1）=X（k）+a（k）S（k）。梯度優(yōu)化算法可以有效探索初始設(shè)計(jì)點(diǎn)周圍局部區(qū)域，收斂速度較快，但非常依賴于初始設(shè)計(jì)點(diǎn)，容易陷入局部解。

為了減少系統(tǒng)運(yùn)算量，加快收斂速度，規(guī)避局部最優(yōu)解，提高優(yōu)化效率和系統(tǒng)穩(wěn)定性，設(shè)計(jì)了基于多島遺傳與梯度優(yōu)化的組合優(yōu)化算法，其策略為：通過多島遺傳算法對(duì)設(shè)計(jì)空間的敏感區(qū)域進(jìn)行粗略定位，應(yīng)用梯度優(yōu)化算法對(duì)該區(qū)域進(jìn)行精確尋優(yōu)。該策略充分發(fā)揮了全局優(yōu)化算法在整體設(shè)計(jì)空間遍歷和梯度優(yōu)化算法在局部區(qū)域收斂速度快的優(yōu)勢(shì)?；诙鄭u遺傳與梯度優(yōu)化的組合優(yōu)化算法可以有效解決因參數(shù)過多導(dǎo)致的迭代步數(shù)多、目標(biāo)函數(shù)不易收斂的問題。

2.2 結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)

根據(jù)1.3 節(jié)中子鏡組件的初步設(shè)計(jì)，進(jìn)一步優(yōu)化直接影響子鏡組件面形和質(zhì)量特性的結(jié)構(gòu)參數(shù)，具體參數(shù)如圖5，其中子鏡的尺寸參數(shù)包括：鏡體高度H、鏡面厚度Tm、外壁厚度Tor、加強(qiáng)筋厚度Trib、支撐錐孔孔口直徑Dhole、支撐孔壁厚度Thole、支撐孔中心到子鏡中心距離Zhole、鏡體邊緣切除高度Htrim；柔性支撐結(jié)構(gòu)的參數(shù)包括：橫梁的開槽深度Sbeam、開槽間距Gbeam、開槽位置Lbeam以及多軸柔性鉸鏈的直徑Dh、長(zhǎng)度Lh；背板的結(jié)構(gòu)參數(shù)包括：柔性支撐結(jié)構(gòu)安裝面厚度Tf、平臺(tái)安裝面厚度Th、加強(qiáng)筋厚度Tr。

圖5 結(jié)構(gòu)參數(shù)示意Fig.5 Diagram of structure parameters

2.3 子鏡組件一體優(yōu)化模型

建立以子鏡組件重量MASS 和Y向自重、5℃溫變載荷分別作用下面形RMS 值最小為設(shè)計(jì)目標(biāo)的尺寸優(yōu)化模型。優(yōu)化變量為2.2 節(jié)中結(jié)構(gòu)參數(shù)。子鏡位姿促動(dòng)器承載最大負(fù)載2.5 kg，以組件重量MASS 不大于2 kg 作為優(yōu)化的約束條件，設(shè)定子鏡組件基頻不小于200 Hz，結(jié)合工程實(shí)際及結(jié)構(gòu)工藝性，確定參數(shù)尺寸的取值范圍。子鏡組件一體優(yōu)化的數(shù)學(xué)描述為

式中，M為子鏡組件重量，X為優(yōu)化變量，RGy為Y方向自重下面形變化的均方根值，RT為5℃溫度變化面形精度的均方根值，f為子鏡組件一階頻率。

優(yōu)化流程如圖6，子鏡組件一體優(yōu)化系統(tǒng)集成了自動(dòng)優(yōu)化、參數(shù)化建模、有限元分析、面形計(jì)算等功能。通過結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)建立三維模型，應(yīng)用有限元方法檢測(cè)子鏡組件的質(zhì)量特性，分析其節(jié)點(diǎn)位移。根據(jù)分析結(jié)果提取鏡面節(jié)點(diǎn)位移并擬合面形數(shù)據(jù)，計(jì)算子鏡面形精度。

圖6 子鏡組件優(yōu)化流程Fig.6 Optimization flow of primary mirror segment assembly

2.4 優(yōu)化結(jié)果

在多目標(biāo)優(yōu)化問題中各個(gè)目標(biāo)間存在一定的沖突，最優(yōu)解不是單一的，而是一個(gè)最優(yōu)解集，定義最優(yōu)解判據(jù)：若x∈X，不存在另一可行點(diǎn)x'∈X，對(duì)于任意m，使得fm（x）≤fm（x'）成立，且其中至少有一個(gè)嚴(yán)格不等式成立，則稱x為多目標(biāo)優(yōu)化問題的一個(gè)最優(yōu)解，所有最優(yōu)解構(gòu)成的集合為最優(yōu)解子集。判據(jù)中：X為多目標(biāo)優(yōu)化的可行域，x為其可行解，m為子目標(biāo)，fm（x）為子目標(biāo)函數(shù)。

優(yōu)化結(jié)果如圖7，圖中每一各點(diǎn)代表一個(gè)優(yōu)化結(jié)果，根據(jù)最優(yōu)解判據(jù)，篩選出最優(yōu)解子集（圖7 中圓點(diǎn)所示），從中選取重量級(jí)面形精度均較為理想的解。各參數(shù)及目標(biāo)的優(yōu)化結(jié)果如表1，優(yōu)化后的子鏡組件如圖8（a），柔性支撐結(jié)構(gòu)開槽間距為1 mm，可以提供足夠的柔性。考慮結(jié)構(gòu)工藝性，圓整各尺寸參數(shù)，增加圓角、倒角、凸臺(tái)，局部區(qū)域部分去除排布較為密集的加強(qiáng)筋，重新構(gòu)建子鏡組件模型如圖8（b）所示。

圖8 優(yōu)化后的子鏡組件Fig.8 Primary mirror segment assembly after optimization

表1 子鏡組件設(shè)計(jì)變量與優(yōu)化結(jié)果Table 1 Design variables and optimization results of primary mirror segment assembly

圖7 子鏡組件優(yōu)化結(jié)果Fig.7 Optimization results of primary mirror segment assembly

2.5 組合優(yōu)化算法分析

為評(píng)估組合算法的優(yōu)化效率，應(yīng)用多島遺傳算法對(duì)子鏡組件進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，以此與組合優(yōu)化算法進(jìn)行分析對(duì)比，圖9（a）為多島遺傳算法迭代過程，圖9（b）為組合優(yōu)化算法迭代過程。其中，組合優(yōu)化算法共迭代394 次，多島遺傳算法迭代601 次。原因是優(yōu)化設(shè)計(jì)模型引入較多的設(shè)計(jì)變量，導(dǎo)致收斂速度較慢，而組合優(yōu)化算法在局部敏感區(qū)域可有效加快收斂速度。綜上所述，相比其他算法，基于多島遺傳與梯度優(yōu)化的組合優(yōu)化算法求解能力更強(qiáng)，可以有效提高子鏡組件一體優(yōu)化設(shè)計(jì)的尋優(yōu)效率。

圖9 優(yōu)化迭代過程Fig.9 Process of optimization iteration

3 子鏡組件分析及試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 子鏡組件工程分析

針對(duì)一體優(yōu)化后的子鏡組件開展工程分析，組件重量為1.74 kg，滿足不大于2 kg 的輕量化要求，其中Zerodur 子鏡結(jié)構(gòu)重量1.04 kg，面密度達(dá)到27.32 kg/m2，輕量化率在68%以上。子鏡組件的各項(xiàng)指標(biāo)如表2所示，在X、Y、Z三個(gè)方向上自身重力載荷和5℃溫變載荷分別作用下的面形精度均控制在5 nm 以內(nèi)，Y方向作為相機(jī)的檢測(cè)、裝調(diào)時(shí)的重力作用方向，鏡面變形的RMS 值僅為0.89 nm，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于λ/50 的設(shè)計(jì)要求。子鏡組件X、Y、Z三個(gè)方向上的基頻均在400 Hz 以上，滿足不小于200 Hz 的要求。

表2 子鏡組件工程分析結(jié)果Table 2 Engineering analysis results of primary mirror segment assembly

3.2 面形檢測(cè)試驗(yàn)

子鏡組件如圖10，為了驗(yàn)證子鏡組件的結(jié)構(gòu)性能，按照試驗(yàn)要求，在室溫條件下對(duì)子鏡組件進(jìn)行面形精度檢測(cè)，面形檢測(cè)干涉圖如圖11。面形精度的RMS 值為0.019λ，PV 值為0.154λ，面形精度優(yōu)于λ/50，滿足光學(xué)系統(tǒng)正常成像的需求，驗(yàn)證了子鏡組件所采用設(shè)計(jì)方法的合理性和可靠性。

圖10 子鏡組件Fig.10 Primary mirror segment

圖11 子鏡面形檢測(cè)結(jié)果Fig.11 Surface figure error testing of primary mirror segment

4 結(jié)論

本文根據(jù)拼接式反射鏡的性能要求，通過拓?fù)鋬?yōu)化方法分析了子鏡的材料分布，確定了子鏡結(jié)構(gòu)初始結(jié)構(gòu)，基于反射鏡背部三點(diǎn)支撐方案提出了一種開槽橫梁多軸柔性支撐結(jié)構(gòu)。為解決組件一體優(yōu)化設(shè)計(jì)中引入變量過多，不易收斂的問題，設(shè)計(jì)了一種基于多島遺傳與梯度優(yōu)化的組合優(yōu)化算法。建立了以子鏡組件結(jié)構(gòu)重量和面形精度為目標(biāo)的一體優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，優(yōu)化后的子鏡組件重量為1.74 kg，面形精度控制在5 nm 以內(nèi)。最后對(duì)子鏡的面形進(jìn)行了檢測(cè)，結(jié)果顯示：子鏡面形精度的RMS 值為0.019λ，滿足優(yōu)于λ/50 的設(shè)計(jì)要求，驗(yàn)證了子鏡組件設(shè)計(jì)和分析的準(zhǔn)確性，有效解決了反射鏡的組件級(jí)一體優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。