修龍汪，李文青，楊鵬，王博偉，張航

（浙江工業(yè)大學(xué)理學(xué)院光電子智能化技術(shù)研究所，杭州 310023）

0 引言

激光因其高相干性、高亮度、高單色性和高方向性被廣泛應(yīng)用于激光材料加工、激光醫(yī)療、激光雷達(dá)、半導(dǎo)體激光熱處理等領(lǐng)域［1-3］。根據(jù)不同領(lǐng)域?qū)馐螒B(tài)的不同需求，人們研究了多種光束整形方法，如透射光學(xué)（掩模和類(lèi)掩模鏡）［4-5］、折射光學(xué)（透鏡和非球面元件）［6-8］和衍射光學(xué)（傳播到遠(yuǎn)場(chǎng)平面或近場(chǎng)平面）［9-11］。衍射光學(xué)元件（Diffractive Optical Element，DOE）能夠改變激光相位，得到所需光強(qiáng)分布，并且能量利用率高，再加上體積小、重量輕的優(yōu)點(diǎn)，成為光束整形中的理想選擇［12］。目前被普遍采用的DOE 設(shè)計(jì)算法有：1）基于全局優(yōu)化的模擬退火算法［13］、遺傳算法［14］；2）迭代優(yōu)化算法，如傅里葉變換迭代算法［15］；3）幾何變換算法［16］。傳統(tǒng)模擬退火算法在收斂性方面不足；傳統(tǒng)遺傳算法全局尋優(yōu)方面優(yōu)點(diǎn)突出，但局部尋優(yōu)較差，且參數(shù)選擇困難；迭代傅里葉變換算法轉(zhuǎn)換效率高，且可以處理大陣列數(shù)據(jù)，但對(duì)初始相位非常敏感；幾何變換算法雖然有很高的輸出效率，但光束質(zhì)量相對(duì)較差。采用傳統(tǒng)單一算法并不能獲得很好的整形結(jié)果，于是人們又研究了基于傳統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)算法的混合算法和基于傳統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)算法的改進(jìn)算法。

魯建業(yè)等［17］提出了一種混合遺傳-模擬退火算法直接設(shè)計(jì)二元衍射光學(xué)器件的方法，并對(duì)高斯基模光束整形為平頂光束的過(guò)程進(jìn)行了模擬計(jì)算，數(shù)值計(jì)算誤差小于6%，衍射效率高于93%。龐輝等［18］提出了一種混合遺傳迭代爬山算法，獲得了很好的整形效果。林勇等［19］提出了一種平滑修正和模糊控制迭代算法，其中平滑修正法有效改善了輸出光束的頂部均勻度，卻增大了均方根誤差值，模糊控制迭代算法降低了均方根誤差，能量轉(zhuǎn)換效率為94.91%。李昕穎等［20］提出了一種基于幾何映射理論的衍射光學(xué)元件優(yōu)化算法，在迭代過(guò)程中加入一個(gè)反映衍射效應(yīng)的參量，通過(guò)修正初始相位，有效抑制了散斑和振鈴效應(yīng)，衍射效率達(dá)到96.20%。鄒杰宇等［21］利用不動(dòng)點(diǎn)迭代法解非線性方程以加速迭代過(guò)程的思想對(duì)Gerchberg-Saxton（GS）算法進(jìn)行了改進(jìn)，模擬結(jié)果表明均方根誤差相比傳統(tǒng)GS 算法減少了33.05%。龐輝等［22］又使用特殊球面相位輪廓作為初始相位，有效地消除了散斑噪聲，但要找到合適的球面相位是不容易的。楊美霞等［23］采用一種精細(xì)采樣方法來(lái)抑制散斑，該方法對(duì)部分散斑有良好的抑制效果。TAO S 等［24］提出了雙約束GS 算法，即在迭代過(guò)程中同時(shí)對(duì)輸出面的振幅和相位進(jìn)行約束，但該方法的能量集中度降低了1 個(gè)數(shù)量級(jí)。

為了獲得高衍射效率低散斑的連續(xù)面型DOE，本文提出了一種改進(jìn)的GS 算法，引入雙曲面初始相位形式，先利用迭代尋優(yōu)算法獲得最優(yōu)初始相位，再通過(guò)迭代優(yōu)化算法獲得DOE 相位，最后再通過(guò)爬山鄰域優(yōu)化算法，獲得最終DOE 相位，得到的DOE 相位還可以通過(guò)相位展開(kāi)算法進(jìn)行展開(kāi)，以降低量化引入的加工誤差。以方形光斑為例，證明該方法的有效性。

1 設(shè)計(jì)方法

GS 算法是比較常用的一種迭代算法，但容易受初始相位影響，初始相位的選擇很大程度上決定了最終結(jié)果的好壞。傳統(tǒng)GS 算法原理如圖1 所示，首先，用入射光振幅乘以DOE 相位作為輸入光場(chǎng)的場(chǎng)分布，DOE 初始相位為隨機(jī)相位φ，入射振幅為高斯光束；其次，通過(guò)衍射變換獲得輸出面光場(chǎng)分布；再次，用目標(biāo)振幅乘以輸出面光場(chǎng)相位作為新的輸出場(chǎng)分布，通過(guò)逆衍射變換得到輸入面光場(chǎng)分布，然后用新的輸入面光場(chǎng)相位φ′乘以入射振幅分布作為輸入面光場(chǎng)分布，進(jìn)行新一輪的正向衍射變換和逆向衍射變換，直到迭代至終止條件；最后，獲得最優(yōu)的DOE 相位分布。衍射變換有菲涅爾衍射變換和夫瑯和費(fèi)衍射變換，實(shí)際衍射計(jì)算中，通常采用快速傅里葉變換，以提高計(jì)算速度。

圖1 傳統(tǒng)GS 算法流程Fig.1 Flow chart of traditional GS algorithm

傳統(tǒng)GS 算法因?yàn)椴捎秒S機(jī)相位分布作為初始相位，無(wú)法避免在最終的結(jié)果中有散斑噪聲的存在，為了抑制散斑噪聲，引入雙曲面初始相位形式φ=d×(x2-y2)，不同于已有的初始相位形式，添加相位參數(shù)d，通過(guò)迭代尋優(yōu)算法，共同確定初始相位。為了獲得更優(yōu)的DOE 相位和更高的衍射效率，在迭代優(yōu)化算法后，加入爬山算法進(jìn)行鄰域優(yōu)化，對(duì)提升光斑的質(zhì)量有很好的作用［18］。為了定量地評(píng)價(jià)光斑質(zhì)量，采用衍射效率η和均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）兩個(gè)指標(biāo)，定義為

式中，Is為目標(biāo)區(qū)實(shí)際光強(qiáng)，I為實(shí)際光強(qiáng)，s代表平頂光束所在區(qū)域，It為目標(biāo)光強(qiáng)。

為了獲得連續(xù)面型衍射器件，在鄰域優(yōu)化算法后加入相位展開(kāi)算法，展開(kāi)后的相位，可以通過(guò)移動(dòng)掩模工藝進(jìn)行加工制造，避免因量化引入加工誤差。至此，改進(jìn)的GS 算法，融入了迭代尋優(yōu)算法、迭代優(yōu)化算法、鄰域優(yōu)化算法、相位展開(kāi)算法，可以獲得較為滿意的整形結(jié)果，算法流程和迭代尋優(yōu)算法流程如圖2、圖3所示。給定目標(biāo)光斑所占像素?cái)?shù)ι，高斯光束束腰半徑ω，輸入面單元尺寸dx，輸入面輸出面離散點(diǎn)數(shù)M×M，相位參數(shù)d的上下限，上限d1，下限d2。先令d等于d1，通過(guò)傳統(tǒng)GS 迭代，獲得衍射效率η和均方根誤差RMSE，然后判斷d

圖2 改進(jìn)的GS 算法流程Fig.2 Improved GS algorithm flow chart

圖3 迭代尋優(yōu)算法流程Fig.3 Flow chart of iterative optimization algorithm

2 仿真

分別用傳統(tǒng)GS 算法和改進(jìn)算法設(shè)計(jì)DOE，將高斯光束整形成均勻方斑，入射高斯光束振幅可以表示為

目標(biāo)矩形平頂光束振幅可以表示為

式中，x、y是輸入面坐標(biāo)，ζ、ξ是輸出面坐標(biāo)，w是超高斯光束束腰半徑。在仿真模擬計(jì)算中，具體參量選擇如下：入射光波長(zhǎng)λ為632.8 nm，高斯光束束腰半徑ω為960 μm，超高斯光束半徑w為3.24 mm，目標(biāo)光斑所占像素?cái)?shù)ι為120，輸入輸出面離散點(diǎn)M×M均為512×512，輸入面單元尺寸為8 μm×8 μm，輸入面和輸出面距離F為350 mm，輸出面單元尺寸為54 μm×54 μm，d1=1，d2=100，Δd= 1。圖4 為迭代尋優(yōu)曲線，圖5 為采用最優(yōu)的初始相位φ=62×(x2-y2)進(jìn)行迭代優(yōu)化，獲得的RMSE 和衍射效率η的變化曲線。

圖4 迭代尋優(yōu)曲線Fig.4 The curve of iterative optimization

圖5 均方根誤差和衍射效率Fig.5 The RMSE and diffraction efficiency

圖4 反映了在迭代尋優(yōu)算法中，隨著相位參量d的變化得到的衍射效率η和RMSE 變化曲線，當(dāng)相位參量增加時(shí)，衍射效率從小變大，在d=48 時(shí)，達(dá)到最大值，而后趨于穩(wěn)定，接近于1，在d=83 時(shí)，又開(kāi)始下降；RMSE 隨相位參數(shù)的增加，先波動(dòng)下降，當(dāng)d=45 時(shí)，開(kāi)始以一定趨勢(shì)下降，當(dāng)d=62 時(shí)，下降到最小值0.020 2，而后開(kāi)始以一定趨勢(shì)上升，當(dāng)d=85 時(shí)，又開(kāi)始波動(dòng)上升；所以，當(dāng)d=62 時(shí)，為最佳的相位參數(shù)。圖5 反映了用傳統(tǒng)GS 算法和改進(jìn)算法分別仿真，得到的衍射效率和RMSE 隨迭代次數(shù)的變化曲線，傳統(tǒng)GS 算法最大衍射效率為0.958，RMSE 為0.583，而改進(jìn)的算法可以達(dá)到0.999 的衍射效率；均方根誤差為0.018 7。圖6（a）是采用改進(jìn)算法獲得的DOE 相位分布，圖6（b）和（c）是采用改進(jìn)算法獲得輸出面上光強(qiáng)分布和相位分布；可以看出光強(qiáng)被很好地集中到了信號(hào)區(qū)域，且散斑效應(yīng)被有效抑制，DOE 相位規(guī)則有序，可以通過(guò)相位展開(kāi)算法進(jìn)行展開(kāi)，以消除2π 躍遷；圖6（d）是采用傳統(tǒng)GS 算法獲得DOE 相位分布，圖6（e）和（f）是采用傳統(tǒng)GS 算法獲得的輸出面上光強(qiáng)分布和相位分布，和改進(jìn)算法相比，散斑效應(yīng)明顯，且DOE 相位圖雜亂無(wú)章。

圖6 方形平頂光束的仿真結(jié)果Fig.6 The simulation results of the square flat-topped beams

圖7（a）和（c）反映了通過(guò)改進(jìn)算法獲得的DOE 相位展開(kāi)圖和相位展開(kāi)截線，圖7（b）和（d）反映了通過(guò)傳統(tǒng)GS 算法獲得DOE 相位展開(kāi)圖和相位展開(kāi)截線。顯然，采用改進(jìn)算法獲得的DOE 相位展開(kāi)后，表面平滑且連續(xù)，易于通過(guò)移動(dòng)掩模工藝進(jìn)行加工制造，降低量化引入的加工誤差。

圖7 相位展開(kāi)圖和相位展開(kāi)截線Fig.7 Phase unwrapping diagrams and phase unwrapping transversals

3 實(shí)驗(yàn)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證提出的改進(jìn)方法，進(jìn)行了光學(xué)實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)中采用純相位型的空間光調(diào)制器（Spatial Light Modulator，SLM）來(lái)顯示設(shè)計(jì)得到的衍射元件的相位分布，這樣可以有效避免傳統(tǒng)衍射元件加工制備所需的繁雜工藝。SLM 是一種動(dòng)態(tài)相位調(diào)制器件，目前已廣泛用于光束整形［2，23］、全息顯示［25-26］、圖像重構(gòu)［27］等領(lǐng)域。實(shí)驗(yàn)光路如圖8 所示，波長(zhǎng)為632 nm 的氦氖激光經(jīng)擴(kuò)束鏡后透射到SLM（型號(hào)為HOLOEYE PLUTO VIS，分辨率為1 920×1 080，像素大小為8 μm×8 μm）上，利用計(jì)算機(jī)將設(shè)計(jì)好的方形平頂光束對(duì)應(yīng)的相位分布輸入到SLM 中，調(diào)制后的光場(chǎng)再經(jīng)傅里葉變換透鏡透射到焦平面上的CCD（型號(hào)為HR16000CTLGEC，像素?cái)?shù)為4 896 pixel×3 248 pixel，像素尺寸為7.4 μm×7.4 μm）上，CCD 用來(lái)采集焦平面上的光強(qiáng)分布，為了使SLM 處于純相位調(diào)制模式，在光路中加入了偏振片使得入射到SLM 上的激光偏振方向?yàn)樗椒较颉?/p>

圖8 實(shí)驗(yàn)光路Fig.8 Experimental setup

圖9（a）、（c）、（e）為利用改進(jìn)算法得到的方形平頂光束實(shí)驗(yàn)結(jié)果。作為對(duì)比，圖9（b）、（d）、（f）是利用傳統(tǒng)GS 算法設(shè)計(jì)得到的方形平頂光束實(shí)驗(yàn)結(jié)果。由截線曲線看出，利用改進(jìn)算法得到的方形平頂光斑均勻性顯著優(yōu)于傳統(tǒng)GS 算法，且激光散斑明顯減少。利用散斑對(duì)比度Sc來(lái)衡量散斑抑制的程度，即

圖9 實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.9 Experimental results

式中，σ和分別為信號(hào)區(qū)內(nèi)光斑強(qiáng)度的標(biāo)準(zhǔn)差及信號(hào)區(qū)內(nèi)光強(qiáng)強(qiáng)度的平均值。經(jīng)計(jì)算，改進(jìn)算法得到的方形平頂光束散斑對(duì)比度為0.011 8，GS 算法得到的散斑對(duì)比度為0.231 9。

4 討論

4.1 相位參數(shù)d 對(duì)輸出光斑的影響

提出的相位參數(shù)d對(duì)輸出光斑的質(zhì)量有很大的影響，且存在一個(gè)最優(yōu)值滿足高衍射效率和低均方根誤差的要求，圖10 分別給出了當(dāng)d等于40、62 和90 時(shí)的光斑仿真結(jié)果。可以明顯的看出，當(dāng)d=40 時(shí)，輸出光斑中心有很大凸起；當(dāng)d=90 時(shí)，輸出光斑有很大的凹陷；當(dāng)d=62 時(shí)，光斑質(zhì)量最佳，既無(wú)凸起又無(wú)凹陷。

圖10 相位參數(shù)對(duì)輸出光斑的影響Fig.10 The influence of phase parameters on the output spot

4.2 束腰半徑對(duì)輸出光斑的影響

入射高斯光束束腰半徑對(duì)輸出光斑也是一個(gè)重要的影響因素，圖11 分別給出了束腰半徑為650 μm、960 μm 和1 550 μm 情況下的仿真結(jié)果?？梢郧宄乜闯?，當(dāng)ω=650 μm 時(shí)，輸出光斑均勻性有所下降，出現(xiàn)了一些條紋；當(dāng)ω=1 550 μm 時(shí)，輸出光斑有明顯的條紋，光斑能量大幅下降；當(dāng)ω=960 μm 時(shí)，輸出光斑均勻性很好，且能量絕大部分被集中在目標(biāo)區(qū)域。

圖11 入射高斯光束束腰半徑對(duì)輸出光斑的影響Fig.11 Influence of incident Gaussian beam waist radius on output spot

4.3 中心偏差對(duì)輸出光斑的影響

入射高斯光束和DOE 之間有一個(gè)最佳位置關(guān)系，即入射高斯光束的中心要和DOE 的中心對(duì)準(zhǔn)，如果偏離最佳位置關(guān)系，對(duì)輸出光斑會(huì)產(chǎn)生很大的影響，導(dǎo)致光斑質(zhì)量下降。圖12 分別給出了在水平方向兩中心偏離?1.024 mm、0 mm 和1.024 mm 三種距離下的仿真情況，規(guī)定向右為正方向。從圖中明顯看出，兩者中心偏差導(dǎo)致輸出光斑出現(xiàn)條紋，均勻性有一定程度的下降。

圖12 入射高斯光束和DOE 中心偏差對(duì)輸出光斑的影響Fig.12 The effect of incident Gaussian beam and DOE center deviation on the output spot

4.4 DOE 優(yōu)化設(shè)計(jì)的容差分析

在實(shí)際加工制作中，制造容差是一個(gè)不可忽略的重要參數(shù)。為此，對(duì)優(yōu)化后的DOE 進(jìn)行了制造容差敏感度分析。在最終的DOE 相位分布上添加兩種隨機(jī)擾動(dòng)，分別為0.10π、0.01π，觀察衍射面的光斑質(zhì)量，并與未加擾動(dòng)的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。由圖13 可見(jiàn)，在隨機(jī)擾動(dòng)0.01π 下衍射光斑未見(jiàn)明顯變化，與原光斑幾乎無(wú)異，即使加上了0.1π 的隨機(jī)擾動(dòng)，衍射光斑的形狀依然保持良好，僅在內(nèi)部均勻度上出現(xiàn)一定的下降，目標(biāo)信號(hào)區(qū)域出現(xiàn)散斑。

圖13 DOE 的制造容差對(duì)光斑質(zhì)量的影響Fig.13 Influence of manufacturing tolerance of DOE on spot quality

綜上分析，對(duì)高斯光束進(jìn)行方斑整形時(shí)，改進(jìn)算法所得結(jié)果具有衍射效率高、形狀更規(guī)整和均勻性更高的優(yōu)點(diǎn)，在衍射效率、均方根誤差或散斑對(duì)比度等方面相較于文獻(xiàn)［20，22，28］所述方法均有一定的提升。

5 結(jié)論

在GS 算法的基礎(chǔ)上，本文引入雙曲面初始相位形式，添加相位輔助參量，經(jīng)過(guò)迭代尋優(yōu)算法、迭代優(yōu)化算法、鄰域優(yōu)化算法獲得最終的DOE 相位。利用該算法設(shè)計(jì)的方形平頂光束在仿真和實(shí)驗(yàn)中的性能均優(yōu)于傳統(tǒng)GS 算法和近期類(lèi)似的GS 優(yōu)化算法，仿真結(jié)果中，改進(jìn)算法的衍射效率為0.999，均方根誤差為0.018 7，實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，散斑對(duì)比度為0.011 8。最后，通過(guò)相位展開(kāi)算法將得到的DOE 相位進(jìn)行了展開(kāi)，得到了連續(xù)面型衍射器件相位，為采用移動(dòng)掩模工藝加工制造提供了很好的應(yīng)用場(chǎng)景。

致謝由衷感謝中國(guó)科學(xué)院光電技術(shù)研究所的龐輝副研究員對(duì)本文工作的精心指導(dǎo)。