F-P標(biāo)準(zhǔn)具多光束干涉成像實(shí)現(xiàn)微小角度自校準(zhǔn)測(cè)量

周世南，沈小燕，李東升，吳晨光

（中國(guó)計(jì)量大學(xué)計(jì)量測(cè)試工程學(xué)院，杭州 310018）

0 引言

隨著醫(yī)療、軍事、航空航天等領(lǐng)域?qū)Ω呔冉嵌葴y(cè)量的需求日益增強(qiáng)，高準(zhǔn)確度微小角度測(cè)量技術(shù)成為各國(guó)科技研究的重點(diǎn)［1-4］。微小角度的典型測(cè)量?jī)x器為自準(zhǔn)直儀，目前國(guó)際上精度最高的為德國(guó)M?LLERWEDEL 公司生產(chǎn)的ELCOMAT HR 型光電自準(zhǔn)直儀，其全量程300″內(nèi)的測(cè)角不確定度可以達(dá)到0.06″（k=2），國(guó)內(nèi)測(cè)量精度最高的為天津奧特梅爾公司生產(chǎn)的AUTOMAT 5 000 光電自準(zhǔn)直儀，能夠?qū)崿F(xiàn)±1 000″范圍內(nèi)±0.25″的測(cè)量精度。為了獲得更高的角度測(cè)量準(zhǔn)確度，一些微小角度測(cè)量原理和方法不斷被提出。2011年，CHENG Fang 等［5］提出了一種用于高分辨率角度測(cè)量的重構(gòu)邁克爾遜干涉儀，在50″的測(cè)量范圍內(nèi)，該方法的分辨率為0.01″，測(cè)量精度小于0.03″。2013年，哈爾濱工業(yè)大學(xué)的ZHU Fan 等［6］利用激光基準(zhǔn)，完成了對(duì)測(cè)量小角度偏差的共光路設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。該方法在2 m 的測(cè)量距離內(nèi)，激光自準(zhǔn)直精度為0.013″。2014年，LUO Jun 等［7］設(shè)計(jì)了一種能夠?qū)崿F(xiàn)遠(yuǎn)距離精確測(cè)量小角度的自準(zhǔn)直儀，實(shí)現(xiàn)了150 m 測(cè)量距離上±2″的測(cè)量精度。2017年，芬蘭VTT 技術(shù)研究中心HEIKKINEN V 等［8］研究了一種新型的干涉式雙向小角度發(fā)生器，可以實(shí)現(xiàn)2 000″的角度測(cè)量，其標(biāo)準(zhǔn)不確定度為0.003 6″。2018年，中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院［9］研制了一種全圓（0～360°）的連續(xù)角標(biāo)準(zhǔn)，能夠?qū)崿F(xiàn)0.05″（k=2）的測(cè)量不確定度?？梢?，國(guó)內(nèi)微小角度測(cè)量技術(shù)與國(guó)外技術(shù)相比還有一定的差距，尤其是在同時(shí)提高測(cè)角范圍和測(cè)量精度方面。

為了保證測(cè)量結(jié)果的可靠性，通常要對(duì)測(cè)量?jī)x器的性能進(jìn)行校準(zhǔn)。然而隨著高準(zhǔn)確度微小角度測(cè)量技術(shù)的發(fā)展，對(duì)校準(zhǔn)工作提出了越來越高的要求，一些傳統(tǒng)的校準(zhǔn)方法很難滿足當(dāng)前的需求。因此，采用自校準(zhǔn)技術(shù)來實(shí)現(xiàn)高準(zhǔn)確度微小角度測(cè)量同樣成為了近年來的研究熱點(diǎn)。2005年，俄羅斯AKSENENKO V D等［10］提出了一種基于雙通道集成光譜誤差的數(shù)字角度傳感器的自校準(zhǔn)系統(tǒng)，能將測(cè)角誤差降低到6″。2010年，日本信州大學(xué)KOJIMA T 等［11］研究了一種用于角度傳感器的自校準(zhǔn)技術(shù)，實(shí)現(xiàn)了0.2″的高精度測(cè)量。2011年，北京航天計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究所［12］研究了一種差動(dòng)式反光鏡自校準(zhǔn)系統(tǒng)，能夠顯著減小CCD 自準(zhǔn)直儀的示值誤差，將其示值跳動(dòng)量標(biāo)準(zhǔn)偏差降低至0.057 4″。2014年，德國(guó)GECKELER R D 等［13］研究了一種角度編碼器的自校準(zhǔn)方法，用于在不依賴外部參考標(biāo)準(zhǔn)的情況下，對(duì)角度編碼器快速精確校準(zhǔn)，有望實(shí)現(xiàn)小于0.01″的測(cè)量不確定度。2016年，日本W(wǎng)ATANABE T 等［14］-15］研發(fā)出一種自校準(zhǔn)角度編碼器，能夠?qū)崿F(xiàn)刻度盤角度偏差和附件偏心誤差的檢測(cè)，其精度能達(dá)到約0.3″。2021年，中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院［16］提出了一種全圓連續(xù)角度標(biāo)準(zhǔn)裝置，能夠?qū)崿F(xiàn)全周連續(xù)角度的實(shí)時(shí)測(cè)量和誤差補(bǔ)償，其全周范圍內(nèi)的測(cè)量不確定度逼近0.03″。

可見，角度自校準(zhǔn)技術(shù)的研究主要集中于圓周角。與具有圓封閉特性的圓周角相比，微小角度范圍內(nèi)的角度自校準(zhǔn)技術(shù)和方法更難實(shí)現(xiàn)。作為微小角度測(cè)量的常用儀器——自準(zhǔn)直儀，一般也需要通過高精度角度編碼器來實(shí)現(xiàn)外部校準(zhǔn)［17］。課題組前期提出了一種基于F-P 標(biāo)準(zhǔn)具的微小角度測(cè)量系統(tǒng)［18］，利用F-P多光束干涉成像后的同心圓環(huán)在焦平面的移動(dòng)量實(shí)現(xiàn)微小角度的測(cè)量，并指出了自校準(zhǔn)的可能性。在本論文中，對(duì)這種角度測(cè)量自校準(zhǔn)方法進(jìn)行了全面的梳理和總結(jié)，特別考慮了算法本身、溫濕度對(duì)F-P 標(biāo)準(zhǔn)具間隔測(cè)量結(jié)果的影響，對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行了修正，并分析比較了自校準(zhǔn)前后的微小角度測(cè)量結(jié)果。

1 基于相對(duì)測(cè)量的微小角度測(cè)量原理

基于F-P 標(biāo)準(zhǔn)具多光束干涉成像的微小角度測(cè)量原理如圖1 所示［18］。光源發(fā)出的光經(jīng)干涉濾波片、會(huì)聚透鏡和間隔為d的F-P 標(biāo)準(zhǔn)具出射后，形成圓錐角為θi（i為同心干涉圓環(huán)的序號(hào)，從中心起各圓環(huán)序號(hào)分別為i= 0，1，2，…）的標(biāo)準(zhǔn)圓錐光束，這些圓錐光束在焦距為f的成像物鏡的作用下在焦平面形成一系列直徑為Di的同心干涉圓環(huán)，可被面陣器件所采集。

圖1 基于F-P 標(biāo)準(zhǔn)具的微小角度測(cè)量光路［18］Fig.1 Micro-angle measurement optical path based on F-P etalon［18］

當(dāng)反射鏡發(fā)生偏轉(zhuǎn)時(shí)，焦平面上的干涉圓環(huán)隨之移動(dòng)。根據(jù)幾何關(guān)系，可以得到反射鏡偏轉(zhuǎn)角α、成像物鏡焦距值f和干涉圓環(huán)圓心位移量δ之間的關(guān)系［18］

式中，Up（α）、Up（δ）分別為α、δ的擴(kuò)展不確定度；Up（f）/f為f的相對(duì)擴(kuò)展不確定度；p為置信概率，有p=95%。δ可由反射鏡偏轉(zhuǎn)前后的面陣器件所采集到的干涉圓環(huán)圓心坐標(biāo)A（x0，y0）和B（x1，y1）得到，有δ=且其擴(kuò)展不確定度U（pδ）為［18］

式中，u1rel、u2rel、u3rel、u4rel分別為圓心位移量重復(fù)性標(biāo)準(zhǔn)差、面陣離焦誤差、系統(tǒng)閑程誤差及環(huán)境溫度梯度變化引入的不確定度分量；tp（veff1）為置信概率p和有效自由度veff1下的擴(kuò)展因子。

由式（1）知，角度自校準(zhǔn)的實(shí)現(xiàn)主要依賴于兩個(gè)相互獨(dú)立的量：圓心位移量δ及成像物鏡焦距值f。其中，δ的實(shí)際值跟面陣器件像元間隔有關(guān)，而焦距f的測(cè)量則更為復(fù)雜，且還需要考慮在不同的環(huán)境條件下有效焦距值會(huì)發(fā)生變化。因此，從δ的角度或者焦距f的角度實(shí)現(xiàn)微小角度的校準(zhǔn)測(cè)量本身已經(jīng)很不容易，更何況是自校準(zhǔn)。然而，課題組前期研究發(fā)現(xiàn)，該測(cè)量系統(tǒng)可同時(shí)實(shí)現(xiàn)有效焦距f的測(cè)量［19］，且利用相對(duì)測(cè)量原理可消除圓心位移量δ對(duì)面陣器件像元間隔的依賴性，這為微小角度自校準(zhǔn)測(cè)量提供了極大的可行性。相對(duì)測(cè)量法以平均像元間隔w為單位，則圓心位移量可表示為δw=δ/w，有效焦距可表示為fw=f/w，可見相對(duì)測(cè)量法可減小像元間隔帶來的未定系統(tǒng)誤差的影響，提高測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確性。采用相對(duì)測(cè)量法，角度測(cè)量模型式（1）可表示為［18］

2 微小角度自校準(zhǔn)測(cè)量算法和影響因素仿真分析

2.1 微小角度自校準(zhǔn)測(cè)量算法

首先，由式（4）知，相對(duì)焦距fw與干涉圓環(huán)半徑Di之間存在關(guān)系［19］

式中，i*=(1+1.5i/k0)i，k0和ε分別為同心圓環(huán)干涉級(jí)次的整數(shù)部分和小數(shù)部分，有k0+ε=2dn/λ0（n為空氣折射率，d是F-P 標(biāo)準(zhǔn)具間隔長(zhǎng)度，λ0為真空波長(zhǎng)）；b0、b1是線性擬合系數(shù)。進(jìn)一步地，利用多組不同的Di和i*求最小二乘線性擬合系數(shù)b0、b1，可以得到fw及其相對(duì)擴(kuò)展不確定度Up（fw）/fw。

式中，t（pveff2）為置信概率p和有效自由度veff2下的擴(kuò)展因子，是fw的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差；Uf，ad是面陣調(diào)焦誤差的不確定分量；Uw是平均像元間隔的擴(kuò)展不確定度。

其次，由式（6）知，fw與Di、k0、ε直接相關(guān)，結(jié)合k0+ε=2dn/λ0，可以利用小數(shù)重合法測(cè)得F-P 標(biāo)準(zhǔn)具的間隔d的精確值［20］，進(jìn)而得到準(zhǔn)確的k0和ε，實(shí)現(xiàn)角度測(cè)量的自校準(zhǔn)。根據(jù)式（6）可得到不同波長(zhǎng)λj對(duì)應(yīng)的小數(shù)部分εj及其相對(duì)擴(kuò)展不確定度uε［20］

式 中，tp（veff2）為置信概率p和有效自由度veff2下的擴(kuò)展因子；sεj，A為小數(shù)部分的A類不確定度，有sεj，A=εj?Uεj，B為小數(shù)部分的B 類不確定度。通常情況下，我們采用三種不同的波長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算，因此可以得到三組(λj，εj，Uεj，k0j)，滿足小數(shù)重合法條件

依據(jù)式（11）設(shè)計(jì)小數(shù)重合法求解過程：首先利用波長(zhǎng)最大的λ1定出200 個(gè)間隔為λ1的區(qū)域中心值dl=（k01+ε1+l）λ1/2，式中l(wèi)=0，±1，…，±100；再在每個(gè)區(qū)間值dl中進(jìn)一步定出1 000 個(gè)等間距點(diǎn)dlm=（k01+ε1+l+m/500）λ1/2，m=0，±1，…，±500；對(duì)于每個(gè)dlm，將λ2和λ3代入其中，求得相應(yīng)的εlm2和εlm3，能夠同時(shí)滿足不等式|εlm2-ε2|≤Uε2和|εlm3-ε3|≤Uε3的連續(xù)點(diǎn)的均值即為小數(shù)重合法的解。

因此，微小角度自校準(zhǔn)測(cè)量流程如圖2 所示。

圖2 微小角度測(cè)量系統(tǒng)自校準(zhǔn)流程示意圖Fig.2 Self-calibration process schematic diagram of micro-angle measurement system

2.2 小數(shù)重合法算法誤差仿真分析

2.1 節(jié)所述的角度自校準(zhǔn)測(cè)量方法中，小數(shù)重合法計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)具間隔結(jié)果十分重要，它直接影響到成像物鏡焦距的計(jì)算結(jié)果，進(jìn)而影響微小角度測(cè)量的結(jié)果。因此，對(duì)小數(shù)重合法的算法誤差進(jìn)行了仿真計(jì)算和分析。在該仿真實(shí)驗(yàn)中，通過改變標(biāo)準(zhǔn)具的理論間隔d0，利用MATLAB 仿真得到該d0下的干涉圖像，進(jìn)而通過小數(shù)重合法得到計(jì)算間隔d1，將其與d0比較，得到小數(shù)重合法的算法誤差ΔM，有

根據(jù)愛里（Airy）公式可以得到多光束干涉的透射光強(qiáng)［21］

式中，R為標(biāo)準(zhǔn)具鍍膜的反射率，結(jié)合實(shí)際使用的標(biāo)準(zhǔn)具，此處R=90%；I（i）為入射光強(qiáng)；φ為相位差，有φ=4πndcosθ/λ0（n為空氣折射率，此處取標(biāo)準(zhǔn)大氣條件下的空氣折射率n=1.000 27；d為標(biāo)準(zhǔn)具間隔）；θ為入射角，設(shè)定生成的干涉圖像大小為699×699，則有其中，x，y為圖像上的像元坐標(biāo)，f為理論焦距，此處取f=80 mm；λ0為真空波長(zhǎng)，實(shí)際所用光源為低壓汞燈標(biāo)準(zhǔn)光譜光源，在其可見光區(qū)域譜線中，相對(duì)強(qiáng)度較強(qiáng)、適用于該實(shí)驗(yàn)的譜線為綠線和一對(duì)雙黃線，其真空波長(zhǎng)分別為λ01= 546.225 26 nm、λ02= 577.119 84 nm、λ03= 579.226 84 nm。

根據(jù)式（13），利用MATLAB 得到理論情況下，三種波長(zhǎng)經(jīng)間隔為d0的標(biāo)準(zhǔn)具成像后的同心圓環(huán)干涉圖像，再利用式（6）、（9）～（11）對(duì)這些圖像進(jìn)行處理，得到經(jīng)小數(shù)重合法計(jì)算后的間隔d1。其中，理論間隔d0的變化范圍為（1.950～2.050）mm，每隔0.005 mm 得到一次計(jì)算結(jié)果。最終得到算法誤差ΔM隨理論間隔d0變化的趨勢(shì)圖，如圖3 所示。

由圖3 可知，算法誤差ΔM與理論間隔d0大致呈線性趨勢(shì)，且隨著d0的增大而增大。而與理論間隔d0相比，計(jì)算間隔d1存在約一個(gè)波長(zhǎng)的誤差。由2.1 節(jié)可知，這種求解方法本質(zhì)上是一種數(shù)值逼近法，用步進(jìn)的方式逐步尋找三種波長(zhǎng)的最佳重合部分，其步長(zhǎng)的取值取決于波長(zhǎng)λ1。因此受限于步長(zhǎng)的大小，小數(shù)重合法的結(jié)果很容易因步長(zhǎng)的不足產(chǎn)生約一個(gè)波長(zhǎng)左右的誤差。而隨著理論間隔的增大，步長(zhǎng)的取值也會(huì)相應(yīng)地增大，這一誤差也會(huì)相應(yīng)地線性增大。由于這一誤差較大，因此需要對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正。實(shí)際測(cè)量中，可以將小數(shù)重合法的計(jì)算結(jié)果代入這一擬合直線中，得到對(duì)應(yīng)的誤差修正值，進(jìn)而得到相對(duì)精確的標(biāo)準(zhǔn)具間隔測(cè)量值。

圖3 小數(shù)重合法算法誤差仿真結(jié)果Fig.3 The algorithm error simulation results of exact fraction method

2.3 溫濕度的補(bǔ)償及影響仿真分析

由式（11）可知，空氣中波長(zhǎng)λj對(duì)小數(shù)重合法的計(jì)算有直接的影響，而不同環(huán)境溫濕度會(huì)顯著影響λj。課題組前期已經(jīng)對(duì)小數(shù)重合法進(jìn)行了相關(guān)研究［22］，但并未考慮溫濕度對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，因此進(jìn)行了仿真計(jì)算和分析。

為得到實(shí)際情況下的空氣波長(zhǎng)λj，需要對(duì)空氣折射率進(jìn)行補(bǔ)償。其補(bǔ)償公式為［23］

式中，T為空氣溫度；P為大氣壓強(qiáng)；RH 為相對(duì)濕度；E為飽和水汽壓，有l(wèi)g(E)=10.286-此時(shí)，可以得到空氣中三種波長(zhǎng)的精確值，有λj=λ0j/nλTPE。

進(jìn)一步地，在MATLAB 中理論獲得不同溫濕度條件下，三種波長(zhǎng)λj經(jīng)過理論間隔d0=2.000 mm 的F-P標(biāo)準(zhǔn)具后形成的干涉圓環(huán)圖片，利用式（6）、（9）～（11）對(duì)這些圖片進(jìn)行處理，得到經(jīng)小數(shù)重合法計(jì)算后的溫度變化計(jì)算間隔d2T和濕度變化計(jì)算間隔d2RH。其中，溫度仿真實(shí)驗(yàn)的條件為理想干燥條件（RH=0），溫度變化范圍為（17～30）℃，每隔0.5℃得到一次計(jì)算結(jié)果；濕度仿真實(shí)驗(yàn)的條件為20℃，濕度變化范圍為0～100%，每隔10%得到一次計(jì)算結(jié)果。所用的三種真空波長(zhǎng)與2.2 節(jié)相同，分別為λ01=546.225 26 nm、λ02=577.119 84 nm、λ03=579.226 84 nm。

由2.1 節(jié)可以得到，在標(biāo)準(zhǔn)大氣條件下，理論間隔d0的仿真結(jié)果為d1=2 000 545.7 nm。將仿真得到的計(jì)算間隔d2T和d2RH，分別與d1比較，得到標(biāo)準(zhǔn)具間隔溫度變化誤差ΔT=d2T?d1和濕度變化誤差ΔRH=d2RH?d1，如圖4 所示。

圖4 F-P 標(biāo)準(zhǔn)具間隔計(jì)算誤差隨溫濕度變化趨仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of F-P etalon interval calculation error changing with temperature and humidity

由圖4 可知，間隔計(jì)算結(jié)果受空氣溫度T和相對(duì)濕度RH 的影響。在（17～30）℃范圍內(nèi)，其最大溫度變化誤差約為20 nm，而在相對(duì)濕度為（0～100）%范圍內(nèi)的最大濕度變化誤差不超過2 nm。這兩個(gè)誤差與小數(shù)重合法本身的算法誤差ΔM相比，存在至少20 倍以上的差距，對(duì)小數(shù)重合法的影響很小，因此可以忽略不計(jì)。

3 微小角度測(cè)量自校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)

3.1 F-P 標(biāo)準(zhǔn)具間隔測(cè)量實(shí)驗(yàn)

根據(jù)圖1 搭建實(shí)驗(yàn)裝置，如圖5 所示。光源采用低壓汞燈，采用間隔粗估值d?≈2 mm 的F-P 標(biāo)準(zhǔn)具；由PrismMaster?150 MAN 測(cè)角儀上的轉(zhuǎn)臺(tái)產(chǎn)生角度，其系統(tǒng)精度為±1.2″；面陣器件采用HIKVISION MVCH430-90XM 型工業(yè)相機(jī)，其平均像元間隔約為w≈2.8 μm，使用配套的HIKVISION MVL-LF8040M-F 80 mm 工業(yè)定焦鏡頭完成實(shí)驗(yàn)。

圖5 微小角度測(cè)量裝置［18］Fig.5 Micro-angle measuring device［18］

實(shí)驗(yàn)所用三種譜線的大氣波長(zhǎng)分別為λ1=546.081 10 nm、λ2=576.967 84 nm 和λ3=579.074 30 nm。實(shí)驗(yàn)中通過更換干涉濾波片得到不同波長(zhǎng)的干涉圖片，如圖6 所示。由于實(shí)驗(yàn)中所用工業(yè)相機(jī)為黑白相機(jī)，難以區(qū)分雙黃線。為方便觀察，在圖中標(biāo)注了不同波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的圓環(huán)，如圖6（b）所示。

圖6 不同波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的同心干涉圓環(huán)圖片F(xiàn)ig.6 Concentric interference rings corresponding to different wavelengths

根據(jù)2.1節(jié)中所述方法，利用式（9）、（10）得到不同波長(zhǎng)λj對(duì)應(yīng)的小數(shù)部分εj及Uεj，最終得到三組(λj，εj，Uεj，k0j)，結(jié)果如表1 所示。

表1 不同波長(zhǎng)λj及其對(duì)應(yīng)的εj和k0jTable 1 Different wavelength λj and its corresponding εj and k0j

利用表1 中數(shù)據(jù)，按照2.1 節(jié)中所述方法，可以求得F-P 標(biāo)準(zhǔn)具間隔d=（2 015.524 1±0.000 3）μm，相對(duì)誤差限為Δd/d=1.5×10-7。按照2.2 節(jié)中所述方法，通過仿真得到此時(shí)的F-P 標(biāo)準(zhǔn)具間隔的修正值為?0.537 6 μm，最終得到修正后的標(biāo)準(zhǔn)具間隔d′=（2 014.986 5±0.000 3）μm。

3.2 自校準(zhǔn)及d 修正前后角度測(cè)量結(jié)果比較

課題組前期［18］完成了600″測(cè)量范圍內(nèi)的微小角度測(cè)量實(shí)驗(yàn)。相較于該實(shí)驗(yàn)中所用方法，本文提出的自校準(zhǔn)方法有以下改進(jìn)：1）相較于直接利用式（6）擬合求解得到焦距的方式，本文利用小數(shù)重合法求解得到精確的εj和k0j，再代入式（6）求解，能夠得到更精確的焦距測(cè)量結(jié)果；2）為保證小數(shù)重合算法的精度，利用仿真結(jié)果修正小數(shù)重合法的算法誤差。需要指出，在焦距測(cè)量及微小角度測(cè)量中，無需使用三種不同的波長(zhǎng)，僅使用波長(zhǎng)為λ1=546.081 10 nm 的綠光即可完成實(shí)驗(yàn)。將d′=（2 014.986 5±0.000 3）μm 代入k0+ε=2d′nλTPE/λ1求解，得到ε=0.020 7 和k0=7 382。代入式（6）～（8）中得到自校準(zhǔn)后的焦距值=28 050、f'=f 'w?w=78.540 mm，及其相對(duì)擴(kuò)展不確定度'=0.007。

表2 為600″范圍內(nèi)的微小角度測(cè)量結(jié)果，其中位移測(cè)量結(jié)果采用文獻(xiàn)［18］中的數(shù)據(jù)，未自校準(zhǔn)所用焦距為鏡頭說明書給出焦距f1=80 mm，相對(duì)擴(kuò)展不確定度按照B 類不確定度評(píng)定，Up(f1)=0.289 mm；自校準(zhǔn)未修正所用數(shù)據(jù)為利用文獻(xiàn)［18］中未修正的f2=78.178 mm 計(jì)算得到的微小角度測(cè)量結(jié)果α及其擴(kuò)展不確定度Up（α）；自校準(zhǔn)已修正的數(shù)據(jù)為利用文中式（4）～（5），代入f′=78.540 mm 得到的微小角度測(cè)量結(jié)果α′及其擴(kuò)展不確定度Up（α′）。

表2 自校準(zhǔn)前后微小角度測(cè)量結(jié)果對(duì)比Table 2 Comparison of micro-angle measurement results before and after self-calibration

由表2 可知，相較于自校準(zhǔn)前，無論是焦距的測(cè)量結(jié)果還是角度的測(cè)量結(jié)果均有顯著提升。而對(duì)于自校準(zhǔn)后的結(jié)果，經(jīng)過小數(shù)重合法的修正后，其測(cè)量結(jié)果也有一定程度的提升。經(jīng)修正后，焦距的相對(duì)測(cè)量不確定度從0.014 減小到0.007，是修正前的1/2；在全量程測(cè)量范圍內(nèi)，其角度測(cè)量不確定度從0.132″減小到0.084″，減小了約0.048″。

4 結(jié)論

分析了基于F-P 標(biāo)準(zhǔn)具多光束干涉的微小角度測(cè)量系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)自校準(zhǔn)的原理及方法。該方法利用小數(shù)重合法求得標(biāo)準(zhǔn)具間隔的精確值，進(jìn)而得到干涉級(jí)次小數(shù)部分的精確值，然后得到準(zhǔn)確的成像物鏡焦距值，最終實(shí)現(xiàn)角度測(cè)量的自校準(zhǔn)。仿真計(jì)算了小數(shù)重合法的算法誤差及溫濕度變化引起的誤差，用于對(duì)實(shí)際測(cè)量結(jié)果的修正。經(jīng)修正后的標(biāo)準(zhǔn)具間隔為（2 014.986 5±0.000 3）μm，相對(duì)誤差限為1.5×10-7。完成了自校準(zhǔn)前后及d修正前后的角度測(cè)量結(jié)果的比較實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，經(jīng)修正后的焦距測(cè)量結(jié)果有明顯改善，其焦距的相對(duì)測(cè)量不確定度減小到0.007。而微小角度的測(cè)量不確定度有一定的提升，在全量程范圍內(nèi)，其角度測(cè)量不確定度減小到0.084″。

這一自校準(zhǔn)技術(shù)的研究能夠顯著地提升微小角度的測(cè)量精度，為高準(zhǔn)確度微小角度測(cè)量的實(shí)現(xiàn)提供一定的方法與思路。同時(shí)，由式（2）可知，微小角度測(cè)量不確定度的加和分量和倍率分量都隨成像物鏡焦距值的增大而減小，可以假設(shè)，當(dāng)使用焦距值更大的成像物鏡和更大間隔的標(biāo)準(zhǔn)具時(shí)，能夠獲得更好的微小角度測(cè)量結(jié)果。而在這一過程中，小數(shù)重合法和自校準(zhǔn)技術(shù)的研究對(duì)于F-P 標(biāo)準(zhǔn)具間隔和成像物鏡焦距值的計(jì)算有十分重要的作用，為進(jìn)一步提高微小角度測(cè)量精度提供可能性。