光學耦合CT系統(tǒng)幾何位姿參數(shù)標定方法

鄒晶，蔣一鳴，胡曉東，趙金濤

（天津大學 精密儀器與光電子工程學院，天津 300072）

0 引言

計算機斷層成像技術（Computed Tomography，CT）自誕生以來以其非接觸、非破壞、檢測速度快等優(yōu)點，被廣泛應用于臨床醫(yī)學、無損檢測、逆向工程等多個領域。近年來，高分辨檢測及精密測量成為其新的應用方向。由此也誕生了醫(yī)學CT、工業(yè)CT、以及以提高分辨率或測量能力為目的的微米CT 等幾個分支。在微米CT 的發(fā)展過程中，以平板探測器為X 射線接收器的微米CT 系統(tǒng)（后文簡稱為“平板CT 系統(tǒng)”）具有掃描快、成像空間大等優(yōu)點。以光學元件與電荷耦合元件（Charge Coupled Device，CCD）耦合而成的探測器為X 射線接收器的微米CT 系統(tǒng)（后文簡稱為“光耦CT 系統(tǒng)”）與平板CT 系統(tǒng)相比，具有更優(yōu)的分辨率（優(yōu)于1 μm），成為微小樣品亞微米分辨無損檢測的重要手段之一。

微米CT 系統(tǒng)的成像質(zhì)量受到幾何位姿、射束硬化、散射等多種因素的制約。自20 世紀80年代以來，不同的學者針對扇形束CT 或錐形束CT，提出了多種幾何位姿參數(shù)估計方法，主要可以分為多角度投影［1-3］和單角度投影方法［4-6］?；诙嘟嵌韧队胺椒ㄖ饕墙⒉煌嵌饶ｓw投影圖像與幾何位姿參數(shù)之間的數(shù)學關系模型，從而實現(xiàn)幾何位姿參數(shù)的估計。NOO F 等［1］在假設探測器與旋轉軸平行的前提下，通過對模體的多角度成像解析獲得6 個幾何參數(shù)；SMEKAL L V 等［7］利用模體的多角度投影，提出基于傅里葉分析的所有幾何位姿參數(shù)的估計方法；YANG Kai 等［8］在假設探測器面外偏轉角不大于2°的前提下，解析獲取了5 個系統(tǒng)幾何位姿參數(shù)。上述方法均需要對模體進行多角度投影，求解精度易受轉臺運動誤差的影響。為克服轉臺運動誤差的應的影響，一些學者提出了單角度投影方法。CHO Y 等［5］通過對設計的已知幾何形狀的由24 球組成的模體進行單一角度成像，結合數(shù)學解析模型，從而求解錐束CT 系統(tǒng)的所有幾何位姿參數(shù)；ZHAO Jintao 等［6］利用設計的雙面九球模體及數(shù)學模型實現(xiàn)了CT 系統(tǒng)幾何位姿參數(shù)的迭代估計。此類方法有效消除了轉臺運動誤差對參數(shù)結果的影響，但對模體的精度要求較高。最近，XIAO K 等［9］通過構建神經(jīng)網(wǎng)絡實現(xiàn)了CT 幾何位姿參數(shù)的估計。

上述方法均針對平板CT 系統(tǒng)提出，不能直接應用于光耦CT 系統(tǒng)。一方面，由于提高了系統(tǒng)的分辨率，光耦CT 系統(tǒng)的成像視場只有幾毫米甚至亞毫米，因此，需針對該成像范圍設計適用的標定模體及數(shù)學模型；另一方面，由于系統(tǒng)結構不同，對成像質(zhì)量影響的參數(shù)也不完全一致。因此，設計小視場可用的簡單模體、開發(fā)適用于光耦CT 系統(tǒng)的幾何參數(shù)標定方法對于提升其成像質(zhì)量尤為重要。

YANG Kai 等［8］指出，當探測器繞Y/Z軸偏轉角小于2°時，其對圖像的影響可忽略不計。由于在光耦CT 系統(tǒng)中，通過精密安裝調(diào)試可以將探測器繞Y/Z軸的偏轉角控制在1°以內(nèi)，因此，無需對探測器繞Y/Z軸的偏轉角進行標定；同時，文獻［10］的研究工作表明，在以提高分辨為目標的光耦CT 系統(tǒng)中，轉臺的端跳、徑跳等運動誤差對圖像的影響不可忽略。因此，在光耦CT 系統(tǒng)中，需對射線源沿X、Y、Z軸方向偏差，轉臺端跳、徑跳，探測器沿X、Y、Z軸偏移，以及繞X軸的偏轉等共計九個參數(shù)予以標定或修正。

基于上述分析，并結合實驗室開發(fā)的轉臺運動誤差修正系統(tǒng)［10］，本文提出了一種適用于光耦CT 系統(tǒng)的幾何位姿參數(shù)標定方法，利用光耦CT 系統(tǒng)對設計的雙微球模體進行多角度成像，建立投影圖像和幾何位姿參數(shù)之間的關系，從而實現(xiàn)幾何位姿參數(shù)的求解。

1 光耦CT 系統(tǒng)介紹

1.1 光耦CT 系統(tǒng)結構介紹

與平板CT 系統(tǒng)不同，光耦CT 系統(tǒng)能夠更加清晰的分辨樣品內(nèi)部的細節(jié)，提供更佳的分辨率，采用幾何放大和光學放大的雙級放大結構，如圖1 所示。前端為幾何放大部分，與平板CT 系統(tǒng)類似；后端為以光學元件和制冷型CCD 耦合而成的光學耦合探測器，其可將經(jīng)閃爍體轉化后的可見光像進行二次放大，成像至CCD，從而獲取樣品的DR（Digital Radiography）圖像，并經(jīng)數(shù)據(jù)處理與重構獲取樣品的三維信息。

圖1 光耦CT 系統(tǒng)結構圖Fig.1 The structure diagram of CCD-coupled CT system

1.2 光耦CT 幾何參數(shù)定義

在理想微米CT 系統(tǒng)中，射線源、轉臺、探測器三者之間應滿足如下理想位置關系：1）射線源焦斑在探測器上的投影點位于探測器中心；2）轉軸在探測器上的投影為中心像素列；3）準確獲取射線源到轉臺中心的距離（Distance of Source to Object，SOD）、射線源到探測器的距離（Distance of Source to Detector，SDD）的值；4）轉臺轉動平穩(wěn)，使得轉軸保持空間位置不變。

然而，在系統(tǒng)安裝時總會存在微小誤差，使得上述關系不能完全成立，此誤差按照來源可以分為：1）射線源沿X、Y、Z方向的偏移誤差；2）轉臺端跳、徑跳誤差；3）探測器沿X、Y、Z方向的偏移誤差，以及繞X、Y、Z方向的偏轉誤差。而在光耦CT 系統(tǒng)標定校準時，只需對其中的射線源沿X、Y、Z軸方向偏差，轉臺端跳、徑跳，探測器沿X、Y、Z軸偏移，以及繞X軸的偏轉等共計九個參數(shù)予以標定校準即可。SUN Yi［4］等指出，射線源沿Y、Z方向的誤差可以轉化為探測器沿X、Y、Z軸的偏移及偏轉誤差，而轉臺的端跳、徑跳誤差利用自主搭建的標準圓盤與電容式位移傳感器可以標定校準［10］。因此，需對射線源沿X軸的偏移、探測器沿X、Y、Z軸的偏移以及繞X軸的偏轉幾個誤差予以標定。其中，射線源沿X軸的偏移直接影響SOD、SDD 的大小，探測器沿X軸的偏移直接影響SDD 的大小，即只要準確獲取SOD、SDD 即可，沿Y、Z軸的偏移可用射線源焦斑在探測器上的投影位置坐標予以表示。因此，綜合以上分析，待標定的參數(shù)為

1）射線源焦斑在探測器上的投影坐標u0，v0；

2）探測器繞X軸的偏轉角η；

3）射線源焦斑到轉臺轉軸距離SOD，簡記為R；射線源焦斑到探測器的距離SDD，簡記為D。

待測參數(shù)及坐標系的建立如圖2 所示。

圖2 坐標系建立示意圖Fig.2 Diagram of coordinate system establishment

2 幾何位姿參數(shù)標定數(shù)學模型

參數(shù)標定數(shù)學模型的總體思想為：利用系統(tǒng)對雙微球模體進行360°旋轉成像，其投影圓圓心的連線為橢圓或一條線段，利用最小二乘可求解橢圓方程，建立橢圓方程與幾何位姿參數(shù)之間的關系，從而求解系統(tǒng)需要標定的幾何位姿參數(shù)。

為了更為精確的求解橢圓方程，在擬合橢圓方程之前，首先根據(jù)文獻［10］提出的方法利用電容傳感器對投影圓圓心位置進行修正，消除轉軸端跳、徑向跳動以及偏擺引入的誤差。

現(xiàn)已知修正后的各投影圓圓心位置，設球i在角度j下的投影點的坐標為(，每個球在360°范圍內(nèi)共采樣2N個，則轉軸在探測器上的投影可由點和點連線的交點確定，如圖3 所示。為了更加精確的求取交點坐標，采用最小二乘法。

圖3 投影示意圖Fig.3 Projection diagram

式中，(ui，vi)即為轉軸通過的點。

通過以上分析，可以獲得轉軸與探測器像素列的夾角η，可對已知的投影點坐標進行變換，

式中，(u，v)為直接投影點坐標，(u*，v*)為修正后坐標。

在對投影點坐標變換完畢之后，根據(jù)已知假設條件可知，此時投影點組成的橢圓方程可寫為

式中，()為橢圓的中心。

同時，橢圓方程也可以表示為

式中，

根據(jù)式（5）利用最小二乘可求出p0，p1，p2，p3，進而通過上式求出a，b。

如圖2 所示，設小球i在XYZ坐標系中的坐標為(D-R+xi，u0+yi，v0+zi)，根據(jù)幾何關系有

變形得

即

與式（4）對應，即可獲得

可由式（13）求得D，代回式（12），可得

(u0，v0)與()之間存在關系

對于任何一個標準球的旋轉一周的圖像有

式中，Lmax為投影橢圓中對應的第i點和第i+N點之間距離的最大值。由式（16）即可求得R。

3 實驗驗證及分析

為了驗證上述數(shù)學模型的可行性，本文選用直徑100 μm 的氧化鋯微球作為標準器，對實驗室的光耦CT 系統(tǒng)（如圖4 所示）進行幾何位姿參數(shù)的標定。在如表1 所示的實驗條件下首先對雙微球模體進行360°掃描，得到360 幀投影圖像，然后利用Hough 圓心提取方法，提取各幀圖像中投影圓的圓心坐標位置，再根據(jù)轉軸誤差修正方法，對所提取的圓心坐標位置進行修正，得到修正后的圓心坐標，如圖5 所示，其中，橫縱坐標代表投影圓心在圖像總的像素位置，藍點（up）為上微球360°投影修正后的圓心位置，紅點（down）為下微球360°投影修正后的圓心位置，最后，根據(jù)上述數(shù)學模型進行參數(shù)求解，得到所求參數(shù)如表2 所示。

圖4 實驗裝置Fig.4 Experimental device

表1 實驗條件Table 1 Experiment condition

表2 參數(shù)求解結果Table 2 Calibration results of the parameters

圖5 圓心提取圖Fig.5 Extraction center

為進一步驗證系統(tǒng)幾何位姿參數(shù)對圖像重建造成的影響，利用系統(tǒng)對竹纖維樣品進行成像。首先利用CT 系統(tǒng)對直徑約為1.6 mm 的竹纖維進行成像。假定系統(tǒng)呈理想狀態(tài)，直接對獲得的透視圖像進行重建，中心切片圖如圖6（b）所示。將獲取的上述幾何位姿參數(shù)代入重建軟件，再次重建，中心切片圖如圖6（a）所示。圖6（b）中，邊緣細節(jié)可以看到明顯的邊緣重疊以及模糊，而相應的，圖6（a）中，在已知系統(tǒng)幾何位姿參數(shù)的前提下，將系統(tǒng)幾何位姿參數(shù)帶入重建系統(tǒng)，圖6（b）中的邊緣重疊及模糊現(xiàn)象得到明顯改善，使得校準后的圖像細節(jié)分辨更加清晰，重建效果更好。

為量化評價幾何位姿參數(shù)對重建圖像的影響，利用能量梯度函數(shù)（Energy of Gradient，EOG）對圖6 所示圖像進行評價。能量梯度函數(shù)將x方向和y方向的相鄰像素的灰度值之差的平方和作為每個像素點的梯度值，對所有像素梯度值累加作為清晰度評價函數(shù)值，表示為

校準前后圖像的能量梯度函數(shù)值如表3 所示。由表3 可知，校準后圖像能量梯度函數(shù)值大于校準前，圖像邊緣更加銳利清晰，重建效果更好。

表3 EOG 量化評價Table 3 Quantitative evaluation of EOG

4 結論

針對光耦CT 系統(tǒng)，設計了雙微球模體，基于該模體提出一種光耦CT 系統(tǒng)適用的幾何位姿參數(shù)標定數(shù)學模型，并進行實驗驗證。結果表明，以上標定方法有效，可以使系統(tǒng)滿足成像需要，從而為后續(xù)的圖像重建提供了基礎，使圖像分辨率更佳，重建質(zhì)量更高。但是，在該方法中，由于探測器成像空間較小，需將射線源焦斑盡量靠近轉軸中心，以使雙微球投影中心連線為橢圓狀（否則將會因難以辨別而呈直線）。對于一般的反射靶型射線源，由于焦斑距離射線出射口較遠（一般十幾毫米），難以滿足上述要求，因此，該方法只適用于具有透射靶型的射線源的CT 系統(tǒng)。研究特定模體固定角度下單一投影的系統(tǒng)標定方法，是解決上述問題的關鍵，將會是我們在這一方向接下來的主要工作。