基于數(shù)字全息和數(shù)字圖像相關(guān)方法的面內(nèi)位移測量

陳梁友，閆浩

（上海交通大學電子信息與電氣工程學院儀器科學與工程系，上海 200240）

0 引言

全息是一種重要的非接觸式光學技術(shù)，廣泛用于輪廓和離面變形測量，具有全場測量，高靈敏度和非接觸式測量的優(yōu)點。通過使用CCD 等光電記錄設備進行全息圖記錄和使用計算機進行數(shù)字重建，數(shù)字全息術(shù)（Digital Holography，DH）［1］的發(fā)明規(guī)避了感光板的濕化學處理以及與傳統(tǒng)全息測量相關(guān)的復雜相位確定問題。此外，它還能直接獲得待測對象變形前后的定量振幅和相位圖像［2-3］，在此基礎上可以很容易地推斷出變形前后兩種狀態(tài)之間的定量相位差和相關(guān)的離面變形。由于上述優(yōu)點，DH 已被用作一種實用而有效的全場離面位移測量技術(shù)，其精度高達納米級［4］。因此，DH 被廣泛用于測量平面物體或低曲率物體的離面變形。

盡管DH 在離面位移測量方面有優(yōu)勢，但單一的DH 裝置通常情況下被認為不適合1 個維度以上位移的測量［2］，對除了離面位移維度之外的位移測量應用較少。這是因為基于干涉原理的DH 方法只對其敏感矢量方向（一般為光軸方向）的一個維度的變形具有較高的靈敏度，而對垂直于敏感矢量的另外兩個方向的變形（面內(nèi)變形）不敏感。為了進行面內(nèi)兩個維度的位移測量，傳統(tǒng)方法是使用多套DH 裝置分別負責面內(nèi)兩個方向的位移測量［5］，測量系統(tǒng)復雜，且信息利用率低。SCHWEDE R 等［6］將立體攝影測量技術(shù)與DH 相結(jié)合，采用了四個CCD 相機，記錄8 幅全息圖，最終實現(xiàn)了面內(nèi)兩個維度變形的測量。這個方法依然由于采用多個CCD 而導致了系統(tǒng)的復雜。KULKARNI R 等［7］提出了一種可以從一個DH 的干涉場中同時測量多維位移的技術(shù)。但是這套裝置需要三束照明光，并且還需要將干涉場分成多個矩形部分，每個矩形部分中，干涉場被表達成多元素低階二維相位多項式信號，硬件和軟件都是十分的復雜。上述提到的方法都是需要采用多套照明光束或者CCD 相機，增加了硬件成本，且數(shù)據(jù)量大，處理起來耗時。

在實驗力學領(lǐng)域，二維數(shù)字圖像相關(guān)方法（2D- Digital Image Correlation，2D-DIC）［8］是被公認可以定量測量平面物體面內(nèi)位移的工具，具有全場、非接觸，高精度測量的特點。通過對變形前后記錄的具有隨機強度分布的兩幅數(shù)字圖像進行數(shù)值比較，2D-DIC 可以直接提供亞像素精度的全場面內(nèi)位移。通過將2DDIC 與高空間分辨率的顯微鏡相結(jié)合，可以實現(xiàn)微尺度甚至納米尺度的面內(nèi)變形。然而，2D-DIC 僅限于平面內(nèi)的位移和應變測量，對于曲面物體的面內(nèi)位移測量存在局限性。在現(xiàn)有的數(shù)字圖像相關(guān)測量物體面內(nèi)位移的方法中，大多都是自然光或白光下的散斑，并且散斑的形成大多是通過對待測物體表面噴涂散斑的方法制造人為散斑特征或直接利用物體的表面紋理特征。潘兵等［9］通過隨機噴涂黑白漆的方法制造人工散斑場，并通過濺撒或點涂的方法制作可耐受高溫的人工散斑進行熱變形的測量［10］，而荊甫雷等［11］提到噴涂散斑漆會改變目標本身的表面狀態(tài)，間接影響高溫變形測量時的發(fā)射率和輻射測溫結(jié)果。這些對待測物體進行噴涂散斑的方法都會對待測物體本身造成一定的破壞，具有局限性。而激光散斑DIC 使用較少，其有效性是目前DIC 領(lǐng)域的一個值得討論和探索的方向。

本課題組于2014年提出了將DH 和DIC 技術(shù)相結(jié)合的方法，僅基于一套簡單的DH 系統(tǒng)，完成了面內(nèi)位移兩個維度的測量［2］。但是之前的工作只驗證了對于鏡面物體以及平面物體面內(nèi)位移測量的有效性，對于粗糙表面物體以及曲面物體測量的可能性并沒有進行研究。粗糙表面物體的DH 強度圖與鏡面物體的DH強度圖存在不同，后者是樣本自身的特征，而前者是激光散斑圖。因此，后者的DIC 與前者有著本質(zhì)不同，之前文獻［2］的方法無法應用于后者。

本文提出了一種將DH 和DIC 相結(jié)合的方法。采用一套簡單的DH 裝置，對DH 重建的粗糙物體的激光散斑強度圖應用DIC 方法，從而實現(xiàn)了粗糙表面平面物體的面內(nèi)位移測量。在所提出的方法中，DH 獲得的強度信息不再是被拋棄，而是被充分利用起來進行面內(nèi)位移的計算，僅采用一套簡單的DH 裝置和單照明光束就實現(xiàn)了兩個維度位移的測量，簡化了測量裝置，提高了測量效率，拓寬了單個DH 裝置的測量能力，具有非接觸，高精度，高效測量的特點。針對所提出的方法，對粗糙表面的平面物體進行了實驗，實驗結(jié)果證明了本文方法的可行性與高精度性。同時，針對2D-DIC 不適用于曲面物體面內(nèi)位移測量的問題，利用DH 可以在一幅全息圖中選取不同重建距離，以在不同深度對曲面物體不同部分進行聚焦的特點，討論了DH 對粗糙表面的曲面物體進行面內(nèi)位移測量的可能性，并借助實驗進行了初步的驗證。

1 基于數(shù)字圖像相關(guān)方法輔助的數(shù)字全息面內(nèi)位移測量方法

1.1 方法流程介紹

如圖1 所示，本文提出的技術(shù)整體流程包括三個步驟：1）搭建DH 光路記錄待測物體位移前后的全息圖；2）調(diào)整重建距離對全息圖進行數(shù)值重建，獲得強度圖；3）用DIC 方法對位移前后的強度圖進行處理得到物體的面內(nèi)位移u和v。采用圖1（a）所示的DH 裝置進行面內(nèi)位移的測量，裝置工作原理為：點光源激光器入射到分光鏡BS1 后會被反射，照射待測物體后被物體反射形成物光波，物光經(jīng)過分光鏡BS1，光闌，透鏡，分光器BS2 后最終被相機的成像平面記錄，激光器的另一束光則作為參考光經(jīng)過分光鏡BS2 反射后到達CCD 成像平面跟物光波進行干涉產(chǎn)生全息圖；其中光闌的作用在于調(diào)節(jié)投射在CCD 上的物光的強弱，以最大限度地提高信息容量，同時避免頻譜混疊；通過記錄物體發(fā)生面內(nèi)位移前后的全息圖一共兩張分別如圖1（b）和（c）；然后將全息圖調(diào)整重建距離并經(jīng)過數(shù)值重建后可以從中提取出物體位移前后的激光散斑強度圖，如圖1（d）和（e）；最后利用DIC 算法對這兩幅散斑強度圖進行處理可以得到物體的面內(nèi)位移u，v分別如圖1（f）和（g）所示。

圖1 總體流程介紹Fig.1 General process

1.2 數(shù)字全息原理介紹

DH 技術(shù)包括三個過程：記錄過程、CCD 采樣和數(shù)字重建過程。在記錄過程中，激光束分為兩部分：參考波R和物體波O。參考波直接照射到CCD 上，物光波被物體反射（對于不透明的標本）或透過物體（透明的標本）并攜帶物體信息。參考波和物體波相互干涉，在CCD 平面上產(chǎn)生全息圖I(x，y)。這個過程是一個光學過程，可以表示為

式中，*為共軛符號，R=|r|exp{iφr}，O=|o|exp{iφo}，其中R是參考光，O是物光波，r和o分別表示物光和參考光在該點的振幅，φr是參考光的相位，φ0是物光波的相位，x和y是CCD 平面的坐標系。

在DH 技術(shù)中，光學全息圖被CCD 采樣和數(shù)字化，并作為數(shù)字全息圖傳輸給計算機進行數(shù)值重建。數(shù)字重建代替了光學傳播過程，通過計算機計算，可以根據(jù)角譜法得到定量的物體波場［12-13］。

式中，k、l、m、n是常數(shù)，λ、d、IH、R分別是激光波長，重建距離，數(shù)字全息圖和參考波。和分別是在x和y軸方向的空間載波頻率，Lx和Ly分別是全息圖在x和y軸的空間尺寸。FFT 表示和FFT-1分別表示傅里葉變換和逆傅里葉變換。

從γ(m，n)中可以提取出強度和相位為

其中式（3）得到的強度信息將在1.3 節(jié)中使用。

1.3 數(shù)字圖像相關(guān)方法測量面內(nèi)位移的原理

本文的數(shù)字全息系統(tǒng)采用相干光源激光照明。當相干光源照射粗糙表面物體時，在其散射表面或者附近的光場可以觀察到激光散斑。如果此時CCD 位于散射光場內(nèi)，就可以獲得散斑圖像。為了形成激光散斑圖，需要合適的激光功率且被測樣品本身具有一定的表面粗糙度［14］。如果激光功率過大，樣品表面過度曝光導致散斑的黑點尺寸減小，從而影響DIC 算法處理時子集位移的不準確跟蹤和計算。而物體表面的粗糙度雖然對散斑顆粒的大小沒有影響［15］，但是如果對于表面粗糙度小于32 nm 的鏡面物體是無法形成激光散斑的［16］。

變形前后獲得的待測物體的重建的激光散斑強度圖像可以用2D-DIC 處理，以確定平面內(nèi)的位移?；跇藴首蛹腄IC 的基本原理如圖2 所示。首先，在參考圖像中指定一個感興趣的區(qū)域（ROI），在這個區(qū)域中的像素點被定義為感興趣的點。然后，為了準確地確定ROI 中每個測量點的位置，在目標圖像中任意劃定一個以坐標點P(x，y)為中心的（2M+1）×（2M+1）像素的正方形參考子集，以找到其最相似的對應點。一旦找到具有最大相似性的目標子集的位置和形狀，就可以確定參考子集中心的位移和位移梯度。在其他ROI 區(qū)域的點上重復同樣的跟蹤流程，以獲得ROI 區(qū)域的全場變形。

圖2 DIC 處理流程Fig.2 Process of DIC algorithm

零均值歸一化最小平方距離互相關(guān)函數(shù)（Zero-mean Normalized Sum of Squared Difference，ZNSSD）是最為被推薦使用來定量評估兩個子集之間的相似性，因為它對于照明波動的偏移變化具有很強的魯棒性［17-19］。

式中，f(x)和g(x)分別表示參考圖像和變形圖像在x=(x，y)T處的灰度值是 兩個子集的平均強度值，N表示參考子集的像素總數(shù)；ξ=(?x，?y)T，(-M≤?x，?y≤M)表示每個子集中像素點的局部坐標。w(ξ，p)，p=(u，ux，uy，v，vx，vy)T描述了變形子集的確切位置和形狀。

一般來說，如果子集足夠小，子集變形函數(shù)w(ξ，p)可以用常用的一階位移映射函數(shù)來很好地近似。此時參考子集中點Q(xi，yj)可以根據(jù)式（6）映射到目標子集中的點Q'(xi'，yi')上。

式中，?x、?y是子集中心點P到點Q的距離；u、v分別是子集中心點P在x和y方向的位移分量，分別對應了圖1（f）和（g）；ux、uy、vx、vy是子集的位移梯度分量。

1.4 數(shù)字全息的DIC 對曲面物體進行面內(nèi)位移測量

凸透鏡成像規(guī)律如圖3（a）所示，假設點P是被測物體的對焦點，點P經(jīng)過透鏡后會在成像面P′點會聚，物距為du，像距為dv。根據(jù)成像關(guān)系可知，du、dv和透鏡焦距f滿足

圖3 對曲面物體應用DIC 算法原理Fig.3 Applying DIC algorithm to curved object

此時點P前后的一定范圍都能清晰成像到像平面內(nèi)P′點前后的一定范圍內(nèi)，這個成像清晰的范圍在像平面處稱為焦深。焦深DOF 滿足關(guān)系式［20］

式中，NA 表示光學系統(tǒng)的數(shù)值孔徑。成像清晰且距離透鏡最近的面稱為前焦深，對應的像距記為dv1，成像清晰且距離透鏡最遠的面稱為后焦深，對應的像距記為dv2。那么就可以得到前焦深的像距，后焦深的像距根據(jù)式（7）的變形可得前焦深對應的遠點和近點所在物體平面對應的像距分別為du1和du2。此時就能獲得景深距離?L=du1-du2。

當曲面物體高度大于景深ΔL時，由于曲面各部分處于不同的景深范圍，一幅圖中景深外的物體由于離焦會導致DIC 方法產(chǎn)生退相關(guān)現(xiàn)象，造成測量不準，因此，二維DIC 不適合用于曲面的面內(nèi)位移測量。

但是，DH 基于一幅全息圖，能夠在數(shù)字重建的過程中通過調(diào)節(jié)重建距離d獲得不同深度處的物體的激光散斑圖像。根據(jù)式（2），通過調(diào)節(jié)重建距離d可以獲得不同重建距離下的物體波場，并根據(jù)式（3）提取出不同重建距離下的強度信息。

因此，可以根據(jù)系統(tǒng)的景深ΔL，將曲面高度h以景深ΔL為間隔分成塊分別進行DH 的數(shù)值重建，如圖3（b）所示，可以得到曲面物體在不同高度處聚焦的激光散斑圖像。比如曲面物體的頂點附近高為景深ΔL的區(qū)域的重建距離為0，接著下面每一個高度為景深ΔL的層重建距離以此為1ΔL、2ΔL、3ΔL、…，nΔL。最終得到整個曲面在不同重建距離下的n幅分塊聚焦的強度圖，并將每幅圖的離焦部分濾除，只保留聚焦部分。接著用二維DIC 對這n幅聚焦的激光散斑強度圖進行分別處理，最后按照劃分好的區(qū)域進行拼接，即可得到整個曲面的面內(nèi)位移結(jié)果。

2 實驗數(shù)據(jù)與分析

為了驗證本文提出方法的有效性，對平面和曲面進行了實驗。用到的實驗裝置如圖1（a）。本次實驗裝置的波長、重建距離、像素數(shù)、像素大小、視場、圖像放大率，數(shù)值孔徑NA、焦深和景深分別為532 nm、0 mm、1 600×1 200、4.4 μm、35.00 mm×26.25 mm、0.207、0.15、0.012 mm 和0.41 mm。

2.1 平面物體平移實驗

平面物體的實驗如圖4，采用圖4（a）所示的裝置，選用大恒光電GCL-2002 的粗糙表面平面物體進行試驗，對該平面物體沿著y軸施加面內(nèi)位移。這里以施加50 μm 面內(nèi)位移為例。首先利用DH 裝置記錄位移前后的全息圖，并從中提取出位移前的強度圖和位移后的強度圖分別如圖4（b）和（c），接著對這2 幅強度圖應用DIC 算法，得到面內(nèi)位移v，u像素的測量結(jié)果分別如圖4（d）和（e）。從v的結(jié)果可知，像素值全部分布在2.1 到2.5 之間，且像素的平均值是2.3，結(jié)合視場放大率后可以得到v和u的位移量分別如圖4（f）和（g）。根據(jù)測量像素值與位移值的表達式：位移=像素×=像素×可得v的位移平均測量值為50.31 μm，測量相對誤差為0.63%。由u的測量結(jié)果可知，像素值全部分布在?0.1 到0.1 之間，呈現(xiàn)很好的對稱性，這是由于沿著y軸施加面內(nèi)位移的過程中，在u方向并沒有產(chǎn)生任何位移，且像素平均值為0.06，u的位移平均值為1.31 μm，絕對誤差也為1.31 μm，所以實驗結(jié)果是符合預期的。面內(nèi)位移的測量精度跟DIC 算法、視場大小以及CCD 尺寸有關(guān)，最好的DIC 算法可以提供0.02 像素的精度，因此本實驗裝置的面內(nèi)位移測量精度為=0.4375 μm。

圖4 平面物體平移實驗Fig.4 Translation experiment for planar object

最后以10 μm 為間隔，對平面物體沿著y軸施加10～50 μm 的位移，重復5 次后得到平均值和標準差結(jié)果如圖4（h）所示。從實驗結(jié)果可知，多次實驗的平均值具有很好的線性度且與施加值吻合的很好，標準差也證明了實驗的可重復性很好，多次實驗的平均相對誤差為1.17%，由此驗證了該方法對于平面物體的面內(nèi)測量具有非常高的精度。

2.2 曲面物體平移實驗

曲面物體的實驗如圖5。采用圖5（a）所示的3D 打印弓高為9 mm，彎曲部分的寬度為5 cm 的粗糙表面曲面物體進行實驗，紅框部分為本次實驗視場35.00 mm×26.25 mm 的實驗區(qū)域。通過圖5（b）所示的裝置對曲面物體沿著y軸施加50 μm 的面內(nèi)平移，以曲面最高點所在的XOY平面為重建距離0 進行整幅全息圖的數(shù)值重建，從全息圖中提取出位移前后的強度圖分別如圖5（c）和（d）。通過DIC 算法得到v和u的像素計算結(jié)果分別如圖5（e）和（f）。由實驗結(jié)果可知，v的像素平均值為2.25，u的像素平均值為?0.07，結(jié)合視場放大率可計算出曲面物體在y方向和x方向的面內(nèi)位移結(jié)果分別如圖5（g）和（h）所示，其中v方向的平均位移為49.22 μm，相對誤差為1.57%，u方向的平均位移為?1.49 μm，絕對誤差為1.49 μm，考慮到施加位移時的系統(tǒng)誤差和讀數(shù)誤差，所以可以認為測量結(jié)果跟施加值非常符合。

接著以10 μm 為間隔，對曲面物體沿y軸施加10～50 μm 的位移，重復多次實驗的結(jié)果如圖5（j）。由結(jié)果可知，曲面物體的面內(nèi)位移測量值與施加值也具有很好的線性關(guān)系，且具有很好的一致性，多次實驗的相對誤差平均值為1.94%，這也驗證了本文方法對于曲面物體的面內(nèi)位移具有很好的精度。

圖5 曲面物體平移實驗Fig.5 Translation experiment for curved object

但是相對平面物體來說，曲面物體面內(nèi)位移測量結(jié)果的平均值或者標準差都比平面物體的實驗結(jié)果差一點。通過對比圖5（e）和圖4（d）可知，曲面物體測量得到的像素值分布比平面物體的像素分布更加的廣泛，波動性也更大，比如曲面物體v的結(jié)果分布在1.9 到2.6 像素之間，u的測量結(jié)果分布在?0.3 到0.3 像素之間。造成這樣問題的原因是由于曲面物體高度超過景深導致圖像離焦和散斑退相關(guān)。本實驗的曲面的高度為2.9 mm，大于景深0.4 mm，導致曲面物體大部分表面處于離焦狀態(tài)。根據(jù)曲面高度和景深的數(shù)值，可以將曲面分為+1=8 塊，以=0.2 mm 為間隔，以曲面頂點所在聚焦面的重建距離0 為中心，將重建距離從?1.6 mm 到1.6 mm 進行的遍歷，得到面內(nèi)位移測量相對誤差的結(jié)果如圖5（i）所示。由結(jié)果可知，重建距離影響面內(nèi)位移測量結(jié)果，本實驗的最佳重建距離在?0.2～0 mm 之間，說明在這個區(qū)間內(nèi)激光散斑圖像中聚焦部分最大，因此二維DIC 的測量結(jié)果也更加準確。同時，圖5（i）也可以看出位移測量結(jié)果跟重建距離存在線性關(guān)系，所以根據(jù)線性關(guān)系可以幫助快速定位到最佳重建距離附近。但需要指出的是，本文并未對每個重建距離下圖像中的離焦部分進行刪除，因此離焦部分會影響DIC 的測量結(jié)果。接下來，通過濾除每個重建距離下的離焦部分并保留聚焦部分，并將所有重建距離下的聚焦部分按照深度進行拼接成一幅三維的聚焦激光散斑圖，將能夠通過二維DIC 技術(shù)對曲面物體進行面內(nèi)位移測量。

3 結(jié)論

本文提出了一種基于數(shù)字圖像相關(guān)方法（DIC）輔助的數(shù)字全息（DH）技術(shù)對粗糙表面物體面內(nèi)位移進行測量的方法，將DIC 應用領(lǐng)域拓寬到了全息技術(shù)重建的激光散斑圖像。通過對全息圖進行數(shù)值重建從而恢復出激光散斑強度圖，對強度圖應用DIC 算法得到面內(nèi)兩個維度的位移結(jié)果，解決了單個DH 裝置只能對離面方向這一個維度位移測量的問題。本文通過二維位移裝置對平面物體以及曲面物體施加面內(nèi)位移，實驗驗證了本文方法具有非常高的精度，平面物體的多次重復性測量的相對誤差為1.17%。但是曲面物體的測量誤差會比平面誤差相對大一點，多次實驗平均相對誤差為1.94%，這是因為本實驗裝置的聚焦深度為0.4 mm，小于曲面高度2.9 mm，導致曲面物體的部分表面處于離焦狀態(tài)，影響二維DIC 的測量。本文通過對重建距離的遍歷研究了重建距離對曲面物體面內(nèi)位移測量結(jié)果的影響，并且理論提出了針對曲面不同離焦面采取不同的重建距離進行數(shù)值重建最后將測量結(jié)果進行拼接的方法，有望近一步提高曲面物體的測量精度。與現(xiàn)有的方法相比，本文方法的優(yōu)勢在于三方面：首先，裝置簡單且信息利用度高，充分利用了以往DH 中被丟棄的強度圖信息，僅采用一套DH 裝置就能夠?qū)崿F(xiàn)面內(nèi)兩個維度位移的測量，提高了DH 的測量能力；第二，探索了二維激光散斑DIC 并證明了其有效性；第三，該方法可以通過在DH 重建過程中調(diào)整重建距離，為2D-DIC 應用到曲面物體的面內(nèi)位移測量提供一種可能。需要指出的是，本文并未采用自動聚焦算法尋找最佳重建距離，而是通過帶有刻度和特征信息的平面物體來肉眼尋找最聚焦的位置。經(jīng)過平面物體的面內(nèi)位移實驗，通過DIC 測量得到的面內(nèi)位移值在肉眼認為最聚焦位置下已經(jīng)非常接近施加值。

致謝本文受國家重點研發(fā)開發(fā)項目基金資助。同時，北京航天航空大學固體力學研究所的潘兵老師對本文理論部分進行了指導，并對文章寫作提出了寶貴的修改意見，在此致以衷心的感謝。