分?jǐn)?shù)階Brusselator振子的簇發(fā)振動(dòng)與分岔

王艷麗， 李向紅,,3， 王 敏， 申永軍,3

(1.石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，石家莊 050043；2. 石家莊鐵道大學(xué) 數(shù)理系，石家莊 050043；3.石家莊鐵道大學(xué) 交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，石家莊 050043)

多尺度耦合現(xiàn)象已經(jīng)廣泛存在于機(jī)械、化工、生物等各個(gè)領(lǐng)域，成為目前非線性動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)和前沿課題之一，其中簇發(fā)振動(dòng)[1]是多尺度耦合系統(tǒng)的典型動(dòng)力學(xué)行為，表現(xiàn)為在一個(gè)周期內(nèi)系統(tǒng)交替出現(xiàn)沉寂態(tài)和激發(fā)態(tài)。文獻(xiàn)[2-4]基于多尺度效應(yīng)和非線性動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性與分岔理論，深入研究了神經(jīng)系統(tǒng)中神經(jīng)元放電活動(dòng)的分岔模式。文獻(xiàn)[5-6]在非光滑系統(tǒng)、周期激勵(lì)系統(tǒng)、化學(xué)反應(yīng)振蕩系統(tǒng)的多尺度耦合效應(yīng)方面做了大量的工作，比如利用微分包含理論深入研究了非光滑系統(tǒng)尺度效應(yīng)的分岔機(jī)制，提出了轉(zhuǎn)換相圖和包絡(luò)分析等方法，揭示了慢變激勵(lì)下的簇發(fā)振蕩模式及其演化過(guò)程。此外，國(guó)外很多學(xué)者也對(duì)簇發(fā)振動(dòng)行為做了一些研究。Kouayep等[7]研究了一種光電振子，在電路中引入Colpitts振子會(huì)產(chǎn)生高頻電信號(hào)，并表現(xiàn)出周期性和簇發(fā)性等動(dòng)力學(xué)行為。Herve等[8]研究了單擺臂和雙擺臂通過(guò)磁場(chǎng)耦合到非線性電路振動(dòng)臺(tái)上的響應(yīng)，結(jié)果表明由于電子信號(hào)的傳遞，擺臂的位移會(huì)發(fā)生簇發(fā)振動(dòng)，并且振動(dòng)的形狀周期和振幅取決于各種控制參數(shù)。然而，目前的研究主要集中在整數(shù)階系統(tǒng)上，相比較下，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的快慢效應(yīng)研究成果較少。

近年來(lái)，分?jǐn)?shù)階微積分系統(tǒng)被廣泛的應(yīng)用到高能物理、反常擴(kuò)散、復(fù)雜黏彈性材料力學(xué)本構(gòu)關(guān)系、系統(tǒng)控制等若干領(lǐng)域[9]，其理論研究和應(yīng)用研究受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。比如，王軍等[10-12]研究了一些含有分?jǐn)?shù)階微分的非線性與線性振子，采用平均法得到了系統(tǒng)的一階近似解，證明了分?jǐn)?shù)階微分項(xiàng)不僅起著阻尼的作用同時(shí)還起著剛度的作用。Xu等[13]提出了具有多個(gè)時(shí)變時(shí)滯環(huán)節(jié)的分?jǐn)?shù)階競(jìng)爭(zhēng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并研究了這類神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局漸近穩(wěn)定性，為揭示穩(wěn)定性判據(jù)與網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之間的密切關(guān)系提供了一個(gè)新視角。Kandasamy等[14]研究了分?jǐn)?shù)階脈沖四元數(shù)值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的多重Mittag-Leffler穩(wěn)定性問(wèn)題并仿真驗(yàn)證了所得到的主要結(jié)果的有效性。Sekerci[15]研究了不同分?jǐn)?shù)階定義下的食餌-捕食者系統(tǒng)的區(qū)別與聯(lián)系。Sllva等[16]研究了兩個(gè)基于分?jǐn)?shù)階微積分提出的常微分方程系統(tǒng)，解決了腫瘤細(xì)胞和免疫系統(tǒng)之間的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。

Brusselator模型[17]是一類描述自催化反應(yīng)的典型振子，早在1968年由Prigogine等提出。由于催化劑的存在，使反應(yīng)過(guò)程中不同反應(yīng)物的反應(yīng)速率存在較大的差別，即涉及快慢不同的時(shí)間尺度。在之后的幾十年里，越來(lái)越多的學(xué)者投入到對(duì)Brusselator振子分岔、混沌以及近似解的研究中[18-24]。Rech[25]研究了周期強(qiáng)迫的四參數(shù)Brusselator振子，利用四維參數(shù)空間的一個(gè)給定截面，證明了該系統(tǒng)存在多穩(wěn)態(tài)。Capone等[26]研究了全局Brusselator振子解的有界性，分析了離散化對(duì)線性穩(wěn)定性的影響，發(fā)現(xiàn)在常微分方程系統(tǒng)中的穩(wěn)定性與有擾動(dòng)下的穩(wěn)定性截然不同，并進(jìn)行了非線性穩(wěn)定性分析。Wang等[27]在研究分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)的同步現(xiàn)象時(shí)首次提出了分?jǐn)?shù)階Brusselator系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)分?jǐn)?shù)階階次總和小于0.97時(shí)，分?jǐn)?shù)階Brusselator振子存在一個(gè)極限環(huán)。Jena等[28]采用分?jǐn)?shù)階約化差分變換法求解分?jǐn)?shù)階Brusselator振子的近似解，并對(duì)其進(jìn)行了誤差分析，發(fā)現(xiàn)該方法能夠以級(jí)數(shù)形式快速收斂。目前圍繞Brusselator振子整數(shù)階成果較多，相比之下，其關(guān)于多尺度耦合的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)方面的研究尚在逐步發(fā)展階段。

本文主要考慮外部周期擾動(dòng)因素影響反應(yīng)過(guò)程中催化劑濃度的情形下，分?jǐn)?shù)階Brusselator振子的簇發(fā)行為及其分岔機(jī)制，研究不同參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響規(guī)律，為實(shí)際工程領(lǐng)域提供理論指導(dǎo)。

1 數(shù)學(xué)模型及分岔分析

分?jǐn)?shù)階Brusselator振子

(1)

(2)

式中：n-1

實(shí)際上，催化過(guò)程易受到外界因素干擾及影響，因此要考慮外在周期因素。本文從外部擾動(dòng)影響反應(yīng)過(guò)程中催化劑濃度的情形出發(fā)，將這種擾動(dòng)因素近似為外部周期擾動(dòng)，從而進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，其模型為

(3)

式中：γ和ω分別為外部周期擾動(dòng)的幅值和頻率，令θ=ωt，則式(3)可轉(zhuǎn)化為廣義自治系統(tǒng)

(4)

當(dāng)ω遠(yuǎn)小于原系統(tǒng)的固有頻率，式(3)會(huì)存在量級(jí)上差異的兩個(gè)時(shí)間尺度，使其非線性行為更為復(fù)雜。此時(shí)由于周期性擾動(dòng)，該反應(yīng)會(huì)變?yōu)榭炻齼蓚€(gè)時(shí)間尺度耦合的系統(tǒng)，在式(4)中變量x和y為快子系統(tǒng)，θ為慢子系統(tǒng)?；诳炻治龇ǎ瑢⒙兞恳暈榭熳酉到y(tǒng)的分岔參數(shù)。令F=γcosθ為快子系統(tǒng)的慢變參數(shù)，則快子系統(tǒng)表示為

(5)

由

(6)

得到快子系統(tǒng)式(5)的平衡點(diǎn)

下面將按照A+F是否等于0分兩種情況進(jìn)行討論。

1.1 情況一：A+F≠0

平衡點(diǎn)E0處的特征方程為

λ2+[(A+F)2+1-B]λ+(A+F)2=0

(7)

式(5)在平衡點(diǎn)E0處的Jacobian矩陣為

(8)

進(jìn)一步分析分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔的條件，選取系統(tǒng)參數(shù)F為分岔參數(shù)，定義函數(shù)

根據(jù)整數(shù)階系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔的條件，進(jìn)而推廣到分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔[29]的條件，見(jiàn)命題1。

命題1當(dāng)B≥1，且

若滿足下列條件：

條件1式(5)對(duì)應(yīng)的特征方程有一對(duì)復(fù)共軛根λ1,2(F)=θ(F)±iω(F)；

下面證明此命題：

λ1,2=θ(F)±iω(F)

(9)

條件1得證。

(2) 在命題所給條件下，特征方程僅有一對(duì)共軛復(fù)根，那么有

因此,

(11)

基于分?jǐn)?shù)階微分方程穩(wěn)定性理論[30]，可得式(5)失穩(wěn)的邊界條件

(12)

具體表達(dá)式為

(13)

條件2得證。

(3) 由于

(15)

兩邊關(guān)于F求導(dǎo)，可得

其中，

θ(F)=[B-1-(A+F)2]/2，

θ′(F)=-(A+F)，

(17)

因?yàn)锳+F≠0，所以

θ′(F*)ω(F*)-ω′(F*)θ(F*)=

(18)

條件3得證。綜上，命題1成立。

選取參數(shù)A=1，B=3.8，可得到快子系統(tǒng)的階次q和慢變參數(shù)F之間的雙參數(shù)分岔圖。如圖1(a)所示，區(qū)域(I)、區(qū)域(II)和區(qū)域(III)內(nèi)平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，當(dāng)跨越臨界線進(jìn)入?yún)^(qū)域(IV)時(shí)，平衡點(diǎn)失穩(wěn)同時(shí)出現(xiàn)穩(wěn)定的極限環(huán)，圖1(b)和圖1(c)分別給出了區(qū)域(II)和區(qū)域(IV)中的系統(tǒng)時(shí)間歷程圖。圖1(a)中A和B表示q=0.75時(shí)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)臨界點(diǎn)。可見(jiàn)，式(5)有兩個(gè)Hopf分岔點(diǎn)，并且隨著分?jǐn)?shù)階階次的減小，兩個(gè)Hopf分岔點(diǎn)之間的距離越來(lái)越小。

當(dāng)q=1時(shí)，圖2給出了快子系統(tǒng)式(5)關(guān)于慢變參數(shù)F的分岔圖，其中平衡線F1-F2有五種類型的平衡點(diǎn)，分別是位于F1-H1上的穩(wěn)定焦點(diǎn)，H1-S1上的不穩(wěn)定焦點(diǎn)，S1-F0，F(xiàn)0-S2上為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)(這里不包括F0點(diǎn)，即F=-1的情況)，S2-H2上的不穩(wěn)定焦點(diǎn)，H2-F2上的穩(wěn)定焦點(diǎn)。其中H1和H2為Hopf分岔臨界點(diǎn)，參數(shù)值為FH1=-2.67，F(xiàn)H2=0.67，當(dāng)F在H1-F0和F0-H2(這里不包括F0點(diǎn)的情況)快子系統(tǒng)存在穩(wěn)定的極限環(huán)，圖3給出了F為-1.5和-0.5時(shí)的相圖。

圖1 系統(tǒng)的分岔圖和時(shí)間歷程圖Fig.1 Bifurcation diagram and time history diagram of the system

圖2 快子系統(tǒng)的平衡點(diǎn)關(guān)于慢變參數(shù)F的分岔圖Fig.2 The bifurcation diagram with respect to parameter F

圖3 極限環(huán)的相圖Fig.3 The phase diagram of limit cycle

1.2 情況二：A+F=0

對(duì)于整數(shù)階的情形，若A+F=0，此時(shí)F=-1。對(duì)于式(5)，直線x=0上任何點(diǎn)均為系統(tǒng)的奇點(diǎn)，即F=-1時(shí)，縱坐標(biāo)y軸是奇線。顯然，式(5)的平衡點(diǎn)為(0,m)，m為任意實(shí)數(shù)。在(0,m)處對(duì)系統(tǒng)線性化可得矩陣

(19)

特征值是0和-4.8，此時(shí)不能直接判別平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，需要借助中心流形定理進(jìn)行判斷。構(gòu)造一個(gè)T矩陣，其列為M的特征向量，即

(20)

此時(shí)，顯然不是標(biāo)準(zhǔn)形，因此需進(jìn)一步標(biāo)準(zhǔn)化來(lái)判斷其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，故有

(21)

應(yīng)用變量代換

(22)

可得

(23)

在所給參數(shù)條件下整數(shù)階Brusselator式(5)可變?yōu)?/p>

(24)

將式(23)代入式(24)中可以進(jìn)一步推出

(25)

此時(shí)，

Ec={(x1,x2)∈R2x2=0},x軸

(26a)

Es={(x1,x2)∈R2x1=0},y軸

(26b)

從而可知式(25)是標(biāo)準(zhǔn)形式，因此

(27)

(28)

中心流形方程為

h′(x1){-18.24[h(x1)]3-4.8x1[h(x1)]2}+

18.24[h(x1)]3+4.8x1[h(x1)]2+4.8[h(x1)]=0

(29)

圖4 奇線Fig.4 Singular line

對(duì)于F=-1時(shí)，分?jǐn)?shù)階的穩(wěn)定性情況，可以利用數(shù)值模擬進(jìn)行驗(yàn)證。圖5是對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)階情況下，F(xiàn)=-1時(shí)的時(shí)間歷程圖?？梢园l(fā)現(xiàn)，對(duì)于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，與整數(shù)階系統(tǒng)有相同的結(jié)論，即在F=-1處，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)也存在穩(wěn)定的奇線x=0。

圖5 當(dāng)F=-1時(shí)的時(shí)間歷程圖Fig.5 The time history for F=-1

2 簇發(fā)振動(dòng)行為及參數(shù)的影響

本部分研究系統(tǒng)簇發(fā)振動(dòng)行為與機(jī)理，以及不同參數(shù)對(duì)簇發(fā)振動(dòng)的影響。

2.1 簇發(fā)振動(dòng)及其機(jī)理

圖6是參數(shù)γ=0.8，ω=0.03，q=1時(shí)的時(shí)間歷程圖?？梢杂?jì)算出，整個(gè)周期振動(dòng)頻率恰好是外部周期擾動(dòng)頻率0.03。為了進(jìn)一步揭示其簇發(fā)振動(dòng)的產(chǎn)生機(jī)理，給出了關(guān)于變量x與慢過(guò)程F=0.8cos(0.03t)的轉(zhuǎn)換相圖，并將其轉(zhuǎn)換相圖和分岔圖疊加得到圖7。

圖7進(jìn)一步表明了簇發(fā)振動(dòng)的產(chǎn)生機(jī)理。假設(shè)在一個(gè)周期的演變過(guò)程中，相軌跡從A點(diǎn)出發(fā)，在A點(diǎn)時(shí)平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的，并受到快子系統(tǒng)穩(wěn)定極限環(huán)的吸引，導(dǎo)致系統(tǒng)呈現(xiàn)出大幅度振動(dòng)而處于激發(fā)態(tài)。極限環(huán)會(huì)在經(jīng)過(guò)Hopf分叉點(diǎn)H2后消失，只有穩(wěn)定的平衡點(diǎn)吸引子，系統(tǒng)的大幅振動(dòng)將逐漸收斂至穩(wěn)定平衡線，此時(shí)系統(tǒng)完成了激發(fā)態(tài)演變到沉寂態(tài)的過(guò)程。最后當(dāng)軌線到達(dá)B時(shí)，慢變過(guò)程F=0.8cos(0.03t)達(dá)到最大值，軌線將按照F減小的方向運(yùn)動(dòng)。此時(shí)系統(tǒng)仍處于沉寂態(tài)，并且在經(jīng)過(guò)分岔點(diǎn)H2，系統(tǒng)并不會(huì)立刻進(jìn)入激發(fā)態(tài)，而是由于分岔延遲在點(diǎn)P，開(kāi)始大幅振動(dòng)，系統(tǒng)再次處于激發(fā)態(tài)，直至完成了一個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)，該簇發(fā)屬于Hopf簇發(fā)。同時(shí)，圖8(a)和圖8(b)分別給出了周期激勵(lì)增加和減少兩個(gè)方向上激發(fā)態(tài)滯后現(xiàn)象。

圖6 當(dāng)q=1時(shí)的時(shí)間歷程圖Fig.6 The time history for q=1

圖7 當(dāng)q=1時(shí)，轉(zhuǎn)換相圖和分岔圖的疊加Fig.7 Overlapping of transition portrait with bifurcation diagram for q=1

圖8 當(dāng)q=1時(shí)，簇發(fā)現(xiàn)象的產(chǎn)生機(jī)理Fig.8 The generation mechanism of the periodic bursting oscillation for q=1

2.2 分?jǐn)?shù)階階次對(duì)簇發(fā)振動(dòng)的影響

下面討論分?jǐn)?shù)階階次對(duì)簇發(fā)振動(dòng)的影響，固定參數(shù)γ=0.8，ω=0.03。圖9和圖10分別給出了q=0.75和q=1.15時(shí)的時(shí)間歷程圖。

圖9 當(dāng)q=0.75時(shí)的時(shí)間歷程圖Fig.9 The time history for q=0.75

圖10 當(dāng)q=1.15時(shí)的時(shí)間歷程圖Fig.10 The time history for q=1.15

通過(guò)對(duì)比圖9、圖6和圖10可以看出，系統(tǒng)的激發(fā)態(tài)持續(xù)時(shí)間會(huì)隨著分?jǐn)?shù)階階次的增大而變長(zhǎng)，相對(duì)應(yīng)沉寂態(tài)時(shí)間會(huì)縮短。該結(jié)論也可通過(guò)圖1(a)中快子系統(tǒng)的臨界階次和慢變參數(shù)之間的關(guān)系圖得到，即階次越小，兩個(gè)Hopf分岔點(diǎn)之間的距離越小，從而導(dǎo)致激發(fā)態(tài)的持續(xù)時(shí)間變短。同時(shí)，系統(tǒng)幅值也會(huì)隨著分?jǐn)?shù)階階次減小而降低。

2.3 周期擾動(dòng)幅值對(duì)簇發(fā)振動(dòng)的影響

為了研究周期擾動(dòng)幅值對(duì)簇發(fā)振動(dòng)的影響，固定q=0.75，ω=0.03，通過(guò)改變?chǔ)玫闹祦?lái)具體研究幅值的影響。由圖1(a)可知，當(dāng)q=0.75時(shí)，兩個(gè)Hopf分岔點(diǎn)A，B的參數(shù)值分別為FA=-2.33，F(xiàn)B=0.33，這說(shuō)明，當(dāng)FAFB時(shí)，系統(tǒng)存在穩(wěn)定焦點(diǎn)吸引子。由此可見(jiàn)，外部周期擾動(dòng)幅值的變化將會(huì)使系統(tǒng)涉及快子系統(tǒng)的吸引子類型和個(gè)數(shù)發(fā)生變化。

當(dāng)擾動(dòng)幅值γ>2.33，F(xiàn)的變化范圍包含[-2.33,0.33]，存在三種吸引子：位于中間的穩(wěn)定極限環(huán)和位于兩邊的穩(wěn)定焦點(diǎn)吸引子，這將導(dǎo)致系統(tǒng)的軌跡產(chǎn)生變化。其中，中間與左右兩端的吸引子的雙穩(wěn)性導(dǎo)致系統(tǒng)軌線在激發(fā)態(tài)與沉寂態(tài)之間相互轉(zhuǎn)遷，這樣會(huì)出現(xiàn)兩種激發(fā)態(tài)和兩種沉寂態(tài)的雙Hopf簇發(fā)現(xiàn)象，圖11給出了當(dāng)γ=2.5時(shí)的時(shí)間歷程圖。

圖11 當(dāng)γ=2.5時(shí)的時(shí)間歷程圖Fig.11 The time history for γ=2.5

如果擾動(dòng)幅值0.33<γ<2.33，整個(gè)系統(tǒng)只涉及快子系統(tǒng)的兩種吸引子，即右側(cè)的穩(wěn)定焦點(diǎn)吸引子和中間的極限環(huán)吸引子。此時(shí)，系統(tǒng)只存在單側(cè)雙穩(wěn)性。如圖9所示，為單Hopf簇發(fā)。

如果擾動(dòng)幅值γ<0.33，此時(shí)系統(tǒng)軌線只涉及到穩(wěn)定極限環(huán)吸引子，雙穩(wěn)性演變?yōu)閱畏€(wěn)性，沉寂態(tài)消失，兩個(gè)激發(fā)態(tài)連接在一起，圖12給出了此種情況γ=0.3時(shí)的時(shí)間歷程圖。

圖12 當(dāng)γ=0.3時(shí)的時(shí)間歷程圖Fig.12 The time history for γ=0.3

由此可見(jiàn)，在快慢耦合的系統(tǒng)中，如果周期擾動(dòng)因素為慢變過(guò)程，則擾動(dòng)幅值的大小可以調(diào)節(jié)系統(tǒng)的振動(dòng)模式，其機(jī)理是涉及系統(tǒng)吸引子的種類發(fā)生了改變。

3 結(jié) 論

本文研究了具有外部周期擾動(dòng)的分?jǐn)?shù)階Brusselator振子，當(dāng)外部周期擾動(dòng)頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)固有頻率時(shí)，系統(tǒng)涉及兩個(gè)不同的時(shí)間尺度，表現(xiàn)出明顯的快慢效應(yīng)，存在典型的簇發(fā)振動(dòng)。通過(guò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)存在一條穩(wěn)定的奇線，并利用中心流形定理和數(shù)值模擬證明了其穩(wěn)定性。在非奇線處，根據(jù)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論討論了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并給出了發(fā)生Hopf分岔的充分條件。

分?jǐn)?shù)階階次和幅值對(duì)簇發(fā)振動(dòng)具有明顯的影響。隨著分?jǐn)?shù)階階次的減小，激發(fā)態(tài)逐漸減弱，其原因是由于隨著參數(shù)變化，兩個(gè)Hopf分岔點(diǎn)之間的距離變小，導(dǎo)致系統(tǒng)處于激發(fā)態(tài)的時(shí)間縮短。當(dāng)擾動(dòng)幅值較大時(shí)，系統(tǒng)存在雙Hopf周期簇發(fā)振動(dòng)現(xiàn)象，其產(chǎn)生機(jī)理是系統(tǒng)涉及快子系統(tǒng)的兩個(gè)Hopf分岔，導(dǎo)致了激發(fā)態(tài)與沉寂態(tài)之間相互轉(zhuǎn)遷的分岔行為；隨著擾動(dòng)幅值的減小，雙Hopf簇發(fā)逐漸演變?yōu)閱蜨opf簇發(fā)；當(dāng)幅值繼續(xù)減小時(shí)，系統(tǒng)不再涉及Hopf分岔點(diǎn)，且僅涉及穩(wěn)定極限環(huán)吸引子，單穩(wěn)性會(huì)使系統(tǒng)一直處于激發(fā)態(tài)，沉寂態(tài)消失，但是整個(gè)周期振動(dòng)是兩個(gè)頻率的耦合。

以上結(jié)論為研究分?jǐn)?shù)階Brusselator振子的振動(dòng)與控制提供了重要的理論依據(jù)和技術(shù)服務(wù)，同時(shí)整數(shù)階與分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)行為的本質(zhì)差異問(wèn)題需要進(jìn)一步深入研究。