大跨度橋梁顫振時域的直接分析法

張鳴祥, 廖海飛, 王建國, 周晨曦

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院,安徽 合肥 230009; 2.土木工程防災(zāi)減災(zāi)安徽省工程技術(shù)研究中心,安徽 合肥 230009)

通常的橋梁風(fēng)振分析多借助于頻域內(nèi)的分析方法,因而多局限于線性范圍。近年來超大跨度橋梁不斷興建,有必要在風(fēng)振響應(yīng)分析中計入結(jié)構(gòu)及荷載的非線性影響,故有必要討論風(fēng)致振動的時域分析。文獻[1-3]提出用單位脈沖響應(yīng)函數(shù)描述自激力,文獻[4-5]將其在三維空間內(nèi)擴展;文獻[6]建立基于自激力脈沖響應(yīng)函數(shù)的橋梁顫振運動方程并給出2種時域求解方案;文獻[7-8]發(fā)現(xiàn)靜風(fēng)作用引起的結(jié)構(gòu)動力特性對大跨度橋梁顫振穩(wěn)定性的影響顯著,必須在顫振分析予以準確考慮;文獻[9]結(jié)合斷面的顫振導(dǎo)數(shù),采用文獻[10-11]提出的階躍函數(shù)對橋梁斷面自激力進行模擬,并對模擬準確性進行分析與校核,推導(dǎo)出時域顫振動力有限元分析中自激力的遞推表達式;文獻[12]運用狀態(tài)空間法對大橋進行三維顫振分析;文獻[13]提出統(tǒng)一的顫振和抖振時程分析方法,并考慮結(jié)構(gòu)的幾何非線性和氣動非線性,該方法以非線性有限元的直接積分法為基礎(chǔ),在研究中具體解決了隨機風(fēng)速場的模擬、耦合自激力的時域計算和統(tǒng)一的顫抖振時程分析流程等關(guān)鍵問題。

本文采用三維空間內(nèi)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)描述自激力的方法,改進傳遞函數(shù)最小二乘法的擬合方法,從自激力時域描述公式中分離出氣動質(zhì)量,使得公式中的時間歷程與當前時間無關(guān),以期消除迭代計算中由自激力時域公式引起的荷載非線性,提高計算速度和計算精度。

1 基本理論

結(jié)構(gòu)在均勻流作用下的顫振響應(yīng)動力微分方程組為：

(1)

1.1 自激力的脈沖函數(shù)

(2)

其中:Frs(r=D,L,M;s=h,p,α)為各自對應(yīng)的脈沖響應(yīng)函數(shù),h、p、α為主梁豎向、橫向及扭轉(zhuǎn)位移關(guān)于時間t的函數(shù);B為橋面寬度。以FM α(t)為例,其表達式為:

(3)

其中:ρ為空氣密度;u為風(fēng)速;C1,C2,…,Cn,d3,d4,…,dn為待定系數(shù),且滿足

(4)

(5)

Rk=dku/B,

觀察(5)式發(fā)現(xiàn),其中含有ti+1項,即當前時刻項,并不是單純地與ti+1之前的時間歷程有關(guān),若直接用于計算,則須進行迭代[14]。為此,設(shè)

(6)

(7)

將(5)式代入(6)式可得:

(8)

再將(7)式代入(8)式可得:

(9)

如此,可得到新的遞推公式,即(3)式可以寫成:

(10)

kM α=ρu2C1,

(11)

1.2 待定系數(shù)的求解

(12)

使用同樣的方法依次求得FL h、FL p、FL α、FD h、FD p、FD α、FM h及FM p的待定系數(shù)和表達式。由于目前試驗條件和方法的限制,對于不能獲得的顫振導(dǎo)數(shù)一般設(shè)為0。

2 有限元程序設(shè)計

當使用有限元軟件分析時域內(nèi)的顫抖振時,每個單元上所作用的氣動力和抖振力均可以分離出氣動剛度、阻尼、質(zhì)量及節(jié)點荷載向量。

對于空間梁單元所受的氣動力,按(2)式可以分離出氣動剛度、阻尼和質(zhì)量,若按照類似于集中質(zhì)量矩陣處理方法,分別可以表示為:

(13)

(14)

(15)

(16)

對于剩下的時間歷程項,則可以作為節(jié)點荷載來處理,即

(17)

(18)

根據(jù)上述分析可以得到結(jié)構(gòu)在均勻流作用下的顫振響應(yīng)動力微分方程組為:

(19)

可采用ANSYS的Matrix27單元輸入自激力的氣動剛度矩陣、氣動阻尼矩陣和氣動質(zhì)量矩陣,在每個要求計算自激力的節(jié)點施加3個Matrix27單元,每個單元的一個節(jié)點為施加自激力的結(jié)構(gòu)節(jié)點,另一個節(jié)點全約束。ANSYS中自激力分析示意圖如圖1所示,單元e的節(jié)點i處用于模擬氣動剛度、氣動阻尼及氣動質(zhì)量的單元分別為e1、e2、e3,e1、e2、e3共用節(jié)點i、j。此時單元e分配到節(jié)點i、j的氣動剛度矩陣、氣動阻尼矩陣和氣動質(zhì)量矩陣作用于各Matrix27單元的氣動剛度矩陣、氣動阻尼矩陣和氣動質(zhì)量矩陣可以分別為:

(20)

圖1 ANSYS中自激力分析示意圖

因此,根據(jù)上述分析,利用ANSYS中提供的APDL語言和應(yīng)用MATLAB編制的自激力傳遞函數(shù)擬合程序在ANSYS中能夠?qū)崿F(xiàn)顫振時域時程分析程序。

3 算 例

3.1 具有理想平板截面的簡支梁

圖2 理想平板簡支梁的顫振時域分析有限元模型

圖3 理想平板簡支梁擬合、實際顫振導(dǎo)數(shù)曲線對比

0°風(fēng)攻角時,風(fēng)速分別為135.00、137.50、140.00 m/s作用下簡支梁顫振響應(yīng)如圖4所示。

圖4d～圖4f為豎向位移時程的快速傅里葉變換(fast Fourier transform,FFT)分析結(jié)果。理想平板簡支梁顫振時域、頻域分析的誤差見表1所列。從圖4、表1可以看出，結(jié)構(gòu)在風(fēng)速為137.50 m/s的均勻風(fēng)作用下,處于顫振臨界狀態(tài),頻率為0.391 4 Hz,與頻域分析結(jié)果較為接近,驗證了本文分析方法在顫振臨界風(fēng)速和顫振頻率上均具有足夠的精度和可靠性,并具有非線性計算的能力。

圖4 均勻風(fēng)3種風(fēng)速作用下理想平板簡支梁的顫振響應(yīng)

表1 理想平板梁顫振時域、頻域分析誤差

3.2 馬鞍山長江大橋右汊橋

馬鞍山長江大橋右汊橋(簡稱該橋為“大橋”)為主跨2×1 080 m三塔懸索橋,跨徑布置為360 m+1 080 m+1 080 m+360 m=2 880 m,加勁梁采用閉口扁平鋼箱梁,加勁梁高3.5 m寬38.5 m,加勁梁設(shè)上、下斜腹板構(gòu)成導(dǎo)風(fēng)嘴。索塔總高178.3 m,2條主纜橫向間距為35.8 m。橋塔主體混凝土澆鑄,成H型橋塔,中塔采用擴大三角支撐。大跨度三塔懸索橋與兩塔單跨懸索橋相比,結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜,其中塔塔梁固結(jié),全橋的振動響應(yīng)與兩塔單跨懸索橋有很大區(qū)別。建模采用單主梁模型,如圖5所示,主要構(gòu)件截面特性部分參數(shù)見表2所列,加勁梁泊松比為0.3,橫向慣性矩為207.04 m4,豎向慣性矩為3.22 m4,質(zhì)量慣性矩為2.59×106kg·m。

圖5 馬鞍山長江大橋右汊橋全橋有限元模型

表2 大橋主要構(gòu)件截面特性部分參數(shù)

大橋斷面氣動力傳遞函數(shù)系數(shù)擬合結(jié)果如圖6所示。

圖6中,離散數(shù)據(jù)為主梁節(jié)段風(fēng)洞試驗取得的顫振導(dǎo)數(shù)試驗值。

根據(jù)橋梁場地情況,離地高度約為z=57.8 m,地面粗糙長度z0取0.01 m,假定所有的模態(tài)阻尼比為0.005。添加402個Matrix27單元模擬大橋自激氣動力,其中134個Matrix27單元模擬氣動剛度,134個Matrix27單元模擬修正氣動阻尼,134個Matrix27單元模擬修正氣動質(zhì)量。

圖6 大橋斷面氣動傳遞函數(shù)系數(shù)擬合結(jié)果

0°風(fēng)攻角下,風(fēng)速分別為60.0、64.0、69.0 m/s作用下大橋的顫振響應(yīng)如圖7所示。圖7b、圖7d、圖7f為位移時程的FFT分析結(jié)果。大橋時域、頻域的分析誤差見表3所列。從圖7、表3可以看出，結(jié)構(gòu)在風(fēng)速為64.0 m/s的均勻風(fēng)作用下,處于顫振臨界狀態(tài),頻率為0.207 4 Hz,同頻域分析結(jié)果較為接近。

由于該橋的顫振導(dǎo)數(shù)數(shù)量相對較少且連續(xù)性較差,與具有理想平板截面的簡支梁的結(jié)果相比,該橋時域、頻域顫振分析結(jié)果的相對誤差較大,可見顫振導(dǎo)數(shù)連貫性對顫振臨界風(fēng)速和顫振頻率的分析影響較大。

圖7 均勻風(fēng)3種風(fēng)速作用下大橋的顫振扭轉(zhuǎn)響應(yīng)

表3 大橋的時域、頻域顫振分析誤差

4 結(jié) 論

(1) 本文采用三維空間內(nèi)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)描述自激力的方法,改進傳遞函數(shù)最小二乘法的擬合方法,并從自激力時域描述公式中分離出氣動質(zhì)量,使得公式中的時間歷程與當前時間無關(guān),消除了迭代計算中由自激力時域公式引起的荷載非線性,提高了計算速度和計算精度。

(2) 對具有理想平板截面的簡支梁顫振時域分析結(jié)果表明，本文分析方法在顫振臨界風(fēng)速和顫振頻率上均具有足夠的精度和可靠性,并具有非線性計算的能力。

(3) 以馬鞍山長江大橋右汊橋(三塔兩跨懸索橋)為例,進行顫振的時域數(shù)值計算,結(jié)果表明時域、頻域計算結(jié)果較為接近,但是相對誤差較具有理想平板截面的簡支梁有所擴大。實際工程中顫振導(dǎo)數(shù)連貫對傳遞系數(shù)的擬合有重要的影響,顫振導(dǎo)數(shù)連貫性對時域內(nèi)顫振臨界風(fēng)速和顫振頻率的分析影響較大。