數(shù)形結合方法在高中數(shù)學教學中的應用

數(shù)和形是數(shù)學中的兩個基本概念，一切數(shù)學問題的討論都是由數(shù)與形的提煉、發(fā)展和演變而展開的，因此，數(shù)形結合在數(shù)學教學過程中有著重要作用。數(shù)形結合是把數(shù)或數(shù)量關系與圖形對應起來，利用數(shù)量關系來研究圖形的性質或者借助圖形來研究數(shù)量關系的一種重要的數(shù)學思想方法?！皵?shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，數(shù)與形相互印證轉換，人們通過形來觀察數(shù)的問題，從而揭示出數(shù)的幾何意義，同時也需要利用數(shù)分析圖形的代數(shù)意義，從而將數(shù)量和圖形結合在一起，最終找到解決數(shù)學問題的辦法。在高中階段的數(shù)學教學中，數(shù)形結合可以將抽象問題具體化、復雜問題簡單化，同時，數(shù)形結合能夠鍛煉學生雙向思維的能力，幫助學生建立知識聯(lián)系，并深刻揭示數(shù)學問題本質的方法。

一、多維度探討數(shù)形結合思想

數(shù)形結合的實質就是把抽象的數(shù)字和具體的圖形結合起來，教師要引導學生依據(jù)數(shù)與形既對立又統(tǒng)一的特點，通過觀察圖形的方式，剖析數(shù)與式的構造，從而引發(fā)聯(lián)想，使數(shù)學問題變得更簡單易懂。

（一）從新課程標準對思維能力的要求看數(shù)形結合

《高中數(shù)學新課程標準》指出，探究型課程概念的提出為高中數(shù)學教學打開了新思路。數(shù)形結合方法與探究性課程的結合，能夠促使學生主動探索多種解題思路，擺脫固化的解題套路，這有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維：一是數(shù)形相融，教師要指導學生將形象思維和抽象思維結合起來，做到“先具象后抽象”，這樣既可以加深學生對數(shù)與形概念的理解，又可以培養(yǎng)學生的辯證思維；二是教師要引導學生從多個角度、多層次進行數(shù)學思考，建立遞進式的思維習慣；三是教師可以運用將數(shù)字與圖形結合的教學方式，幫助學生建立由靜止到動態(tài)的思考模式，即從運動、變化和聯(lián)系的角度思考問題，從而掌握數(shù)與形的本質。從這三點可以看出，將探究型課程與數(shù)形結合方法結合，并將其融入高中數(shù)學教學過程中，可以更大程度地發(fā)揮出數(shù)形結合方法在教學中的優(yōu)勢。

（二）從高考題設計背景來看數(shù)形結合

隨著數(shù)學教學改革的深入，高考數(shù)學命題呈現(xiàn)出多元化的特點，增設了開放型、情境型、探究型等試題類型?！镀胀ǜ叩葘W校招生全國統(tǒng)一考試大綱》指出，數(shù)學學科的命題要在考查數(shù)學基本知識的基礎上，注重對學生數(shù)學思想和解題方法的考查，更要注重對學生數(shù)學能力的考查。數(shù)形結合類型的題目在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，數(shù)形結合的運用不僅能看出學生對數(shù)學的符號語言的理解和應用能力，也能體現(xiàn)出學生對數(shù)學的綜合運用能力。因此，教師要多將數(shù)形結合的思想用于實際教學中，注重對學生數(shù)學創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，并對學生知識理解的精確性、深刻性、全面性進行考查，幫助學生掌握不同數(shù)學知識之間內在的聯(lián)系。

二、數(shù)形結合方法優(yōu)勢分析

（一）提高數(shù)學認識，加強知識掌握

在高中數(shù)學教學過程中，教師要充分、有效地運用數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，讓學生樹立全面、科學的數(shù)學觀念。概念是數(shù)學的重要組成部分，是經(jīng)過大量的邏輯推導得出的結論，這些抽象性的數(shù)學概念給學生的學習造成了一定阻礙，數(shù)與形的結合可以幫助學生更好地掌握數(shù)學概念，加深對數(shù)學本質的認識。教師指導學生掌握數(shù)形結合的方法，可以讓學生對數(shù)學的抽象概念進行更深刻地理解，幫助學生系統(tǒng)地建立起高中數(shù)學知識體系和框架，從而更好地掌握數(shù)學知識，減少對數(shù)學學習的畏難情緒。

（二）銜接知識內容，促使學生思考

數(shù)形結合方法有利于學生將不同階段所學的數(shù)學知識銜接起來。高中數(shù)學的教學內容比較復雜和抽象，對學生的思維、計算、空間想象、數(shù)學語言等方面的能力有更高的要求。從高中數(shù)學的教學內容來看，數(shù)形結合由抽象到具體的轉變過程與學生對數(shù)學的認識規(guī)律相吻合，所以，教師要在教學過程中將二者有機地結合，促使學生主動進行數(shù)學思考，使學生具有更靈活的數(shù)學思維。

（三）激發(fā)學習興趣，提高驗算能力

在教學過程中，教師可以用數(shù)字和圖形向學生描述代數(shù)的概念，讓他們更好地理解問題的實質，激發(fā)他們對數(shù)學的興趣。另外，盡管教師反復強調答題后要仔細驗算檢查，但部分學生還是沒能養(yǎng)成良好的驗算習慣。數(shù)形結合方法不僅能幫助學生更快地解題，還能促使學生養(yǎng)成良好的解題習慣，幫助學生樹立驗算意識，提高學生的做題準確率。

（四）促進數(shù)學教學發(fā)展

“形”能將數(shù)字具體化，學生只有掌握了較為科學的數(shù)學思維，才能更好地將數(shù)與形有機地聯(lián)系在一起，并正確地推斷出數(shù)與形的關系?？梢哉f，數(shù)形結合的運用，對數(shù)學學科的蓬勃發(fā)展起到了很大的促進作用。

三、數(shù)形結合在高中數(shù)學的實際應用

數(shù)形結合要充分發(fā)揮“形”的直觀性和“數(shù)”的精確性，二者互為補充。其具體運用有兩種情況：一是利用數(shù)字的精確性，說明圖形的性質；二是通過圖形的直觀性，厘清數(shù)量關系。

（一）以形助數(shù)

以形助數(shù)，即把抽象問題具體化，它是利用圖形直觀地解釋數(shù)字間的關系，例如以函數(shù)的圖形來表示函數(shù)的特性。學生可以通過細心觀察和學習圖形的方式，理解其內部的數(shù)量關系。

1.在函數(shù)中的應用。很多數(shù)學問題都能運用數(shù)軸解決，而數(shù)軸就是“形”的一種。在高中數(shù)學教學過程中，教師可以通過建立數(shù)軸的方式，使學生進一步理解函數(shù)深層的含義，發(fā)現(xiàn)其數(shù)值意義，如交點、極值等。教師要指導學生運用數(shù)形結合的方法，通過坐標軸來表示函數(shù)意義，使學生更好地了解函數(shù)。比如，在學習三角函數(shù)的過程中，教師會指導學生建立一個坐標軸，幫助學生了解相關問題的含義，從而縮短學生解題的時間，提高解題的效率。

2.構建立體幾何模型研究代數(shù)的問題。幾何知識是高中數(shù)學的重要學習內容之一，學生要充分掌握幾何模型和代數(shù)轉換的相關知識。在教學過程中，如果教師只是簡單地講解教材內容，就會導致學生對幾何問題難以理解，在后續(xù)學習過程中引發(fā)一系列的問題。因此，教師要在教學中運用數(shù)形結合的方法，使幾何模型與代數(shù)轉換的關系更為清晰，從而使學生精確地掌握相關知識點，同時可以有效地提高教學效率，使學生的數(shù)學水平得到明顯提高。

3.解決含有參數(shù)的不等式、最值問題。函數(shù)的單調性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的升、降；奇偶性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的對稱性；最值（值域）經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的最高點、最低點的縱坐標。學生在解含有參數(shù)的不等式時，由于要設置參數(shù)，往往需要大篇幅地推演，導致演算過程煩瑣冗長。所以在解不等式問題時，教師要引導學生學會聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點，選擇適當?shù)膬蓚€或多個函數(shù)，利用兩個或多個函數(shù)圖象的上、下位置關系轉化數(shù)量關系來解決不等式的解題問題，這樣就可以幫助學生將煩瑣的運算過程簡化，從而準確、高效地解答問題。

（二）以數(shù)解形

以數(shù)解形是指通過數(shù)的變式運算，將直觀圖形數(shù)量化，以求形變得更為準確，如用代數(shù)、解析和三角的方法來說明形的幾何特性，這樣規(guī)律性較強，讓學生解題時思路更清晰，能夠快速找到解題方法。

1.代數(shù)法。學生在解答關于度量關系的幾何問題時，可以通過設未知數(shù)來表示有關線段、角度和面積，根據(jù)題中給出的已知條件和幾何定理建立與之對應的關系式，最后用代數(shù)中的恒等變換方法解方程得出結果。

2.三角法。運用三角法的題型一般是求三角函數(shù)形成的表達式的值、求三角形的角或邊長，此時學生可以將線段與角的關系轉化為三角函數(shù)關系，再通過三角恒等變化、正余弦定理、解三角方程公式法和證明三角不等式等方式來完成幾何問題的運算。

3.解析法。運用解析法解幾何問題的優(yōu)勢主要體現(xiàn)在解題過程的規(guī)范化，學生解題思路更清晰。其解題步驟主要是通過建立直角坐標系，設置未知數(shù)，列出已知圖形上相關點的坐標和曲線的方程后，即可將幾何問題轉化為代數(shù)問題，求解后賦予代數(shù)結果幾何意義，從而得出幾何問題的解答。由于解析法有規(guī)可循，教師要指導學生避免或少用在圖形中添加輔助線的方式，這樣可以降低錯誤輔助線對圖形的影響，避免干擾學生解題思路。教師在運用解析法時要注意，對直角坐標系的選取和建立要恰當，否則會加大運算的難度。

4.復數(shù)法。復數(shù)法是指將復數(shù)作為溝通數(shù)與形之間的紐帶，進行數(shù)與形的相互轉化，利用復數(shù)知識幫助解題。復數(shù)的代數(shù)運算具有特定的幾何意義，其基本思路是：先從問題的特點出發(fā)，例如在幾何中線段建立復平面，選取相應的復數(shù)表示形式，然后再根據(jù)問題設置已知條件，將幾何問題轉化為復數(shù)問題，通過復數(shù)的推理計算最終完成題目的解答。

5.向量法。利用向量方法解決幾何問題是目前高中數(shù)學中一種新穎、活躍且經(jīng)常被教師探討的解題方式，因為向量能夠真實、深刻地描繪出現(xiàn)實數(shù)學世界的空間形式，是溝通代數(shù)和圖形內在聯(lián)系的工具。用向量法解立體幾何題時，教師要注意建立恰當?shù)目臻g直角坐標系。在解題訓練時，教師要注重鍛煉學生的空間想象能力，幫助學生學會熟練運用向量公式。

四、運用數(shù)形結合方法開展教學的注意事項

（一）不能過于重“形”

在數(shù)字與圖形的展示中，部分教師過于注重繪制精美的圖形，使畫面色彩鮮艷，以強化對學生視覺的刺激，但實際上，過度的視覺刺激會分散學生的注意力，影響學生的思考和理解，這與原本的教學目的背道而馳。教師在課上進行圖形展示的目的是更好地輔助學生學習，幫助學生了解數(shù)學的概念，所以用作說明的圖形需要簡潔明了。

（二）要培養(yǎng)學生的數(shù)形結合思想

由于每版教材的更新周期較長，部分教師習慣運用以往的教學經(jīng)驗教學，還停留在固化老套的數(shù)學教學思維中，懈怠于創(chuàng)新題型和解題方法，這類教師在實際教學中僅在講解固定題型時運用數(shù)形結合方法，沒有發(fā)揮數(shù)形結合在其他題型中的解題優(yōu)勢，也就難以培養(yǎng)學生應用數(shù)形結合解題的思維習慣。教師在教學中應通過多種途徑培養(yǎng)學生的數(shù)形結合思想，具體來講，可以通過推理論證、借助具體而經(jīng)典的事例、對數(shù)學現(xiàn)象進行梳理和歸納等方法，來激活學生思維，幫助學生找到解題路徑，培養(yǎng)學生的數(shù)形結合思想。

（三）要創(chuàng)新教學方法

在教學過程中，部分教師對教學內容和解題方法形成了固化的思維和教學習慣，沒有探究新的解題思路和解題方法，忽略了對圖像的運用。在這種教學方式下，學生會對數(shù)學課堂失去興趣，甚至產生抗拒情緒。在高中數(shù)學教學中，教師應充分利用數(shù)形結合的教學形式，增強數(shù)學課堂的趣味性，創(chuàng)新課堂教學方法。這可以拉近師生之間的距離，充分調動學生積極性，有助于教師打造高效課堂。

總之，由于高中數(shù)學知識涉及范圍較廣，抽象概念較多，內容多而復雜，這給學生學習帶來了較大難度。教師需要指導學生在解題過程中恰當運用數(shù)形結合方法，建立由具象到抽象的數(shù)學思維，提高學生學習數(shù)學的興趣，幫助學生搭建起聯(lián)系代數(shù)與幾何的橋梁，轉換運算思維，理解抽象概念，從而將數(shù)學知識化難為易，利于學生理解和掌握。

（作者單位：甘肅省金昌市永昌縣第一高級中學）