鉸接車輛模型識別粗糙橋梁頻率和振型的數(shù)值分析

張文武，亓興軍，肖志全，亓 圣，王珊珊

(1. 山東高速集團有限公司，山東濟南 250098； 2. 山東建筑大學(xué)交通工程學(xué)院，山東濟南 250101)

0 引 言

橋梁健康監(jiān)測在交通基礎(chǔ)設(shè)施的維護和評估中起著重要的作用。視覺檢測是最常用的方法，由于橋梁健康狀況的任何變化都會導(dǎo)致其動態(tài)特性的變化[1]，因此基于振動試驗確定橋梁的模態(tài)參數(shù)(固有頻率、阻尼比、振型)的方法近年來引起了人們廣泛的關(guān)注。

Yang等[2]在2004年基于車橋耦合理論提出了通過車輛響應(yīng)識別橋梁模態(tài)參數(shù)的間接測量法。推導(dǎo)出了理論解析解，并通過數(shù)值模擬方法驗證了理論的正確性。通過分析檢測車垂直方向的響應(yīng)，即可得出橋梁的頻率信息，從而規(guī)避了車橋耦合時變系統(tǒng)有載頻率變化的限制[3]。隨后Lin等[4]在2005年通過現(xiàn)場試驗驗證了該方法的有效性，說明了間接測量法識別橋梁頻率的可行性。Zhang等[5-6]在2012年從移動車輛的動態(tài)響應(yīng)中提取出了振型的平方用來識別損傷。

基于間接測量法識別橋梁頻率解析解公式，Yang等[7]在2014年做了進(jìn)一步的拓展，推導(dǎo)出粗糙橋面下通過間接測量法識別橋梁頻率的解析解，并利用希爾伯特變換識別出了簡支梁橋的振型，推導(dǎo)出識別橋梁振型的解析解，粗略討論了橋面粗糙度、車流、車速對橋梁第1階振型的影響，得到車流基本不會影響振型識別精度，粗糙度對第1階振型識別影響嚴(yán)重，勻低速行進(jìn)能夠獲得更為精準(zhǔn)的低階振型。Malekjafarian等[8-9]對駛過橋梁的雙軸車輛振動響應(yīng)進(jìn)行研究，將前后2輛拖車對應(yīng)車軸的響應(yīng)相減，根據(jù)測量車的軸距對橋梁進(jìn)行分段，利用短時頻域分解與重新調(diào)節(jié)技術(shù)從車軸的加速度響應(yīng)中提取出橋梁的模態(tài)振型。Obrien等[10-11]分別在2016、2017年基于間接測量法，將改進(jìn)的短時頻域分解方法應(yīng)用于實測車輛響應(yīng)，提取出了高空間分辨率的簡支梁橋第1階振型，用以識別損傷，并利用雙軸半車模型進(jìn)行了數(shù)值模擬驗證；賈寶玉龍[12]在2016年基于間接測量法從車輛響應(yīng)中識別出了簡支梁橋的前3階振型，利用第1階振型進(jìn)行了損傷識別。Qi等[13]在2017年提出了在沖擊激勵下通過車輛動力響應(yīng)識別橋梁振型的方法，在存在白噪聲和低等級橋面粗糙度的條件下，利用單軸車在低車速下識別到了連續(xù)梁橋的前3階振型。謝天宇[14]利用間接測量法識別出了簡支梁橋的前3階振型，并進(jìn)行了變車速、車輛阻尼等相關(guān)影響參數(shù)的討論。Kong等[15-17]用2輛沿橋縱向一定距離行駛的車輛提取了振型的平方，用來識別損傷；針對橋面粗糙度對振型識別等不利因素，通過數(shù)值模擬研究了利用從大小相同的雙檢測車過橋時采集的加速度信號進(jìn)行差值提取橋梁振型的可行性。Yang等[18]發(fā)表了橋梁間接測量法的回顧文章，闡明了間接測量法在實際工程應(yīng)用上的便利性以及研究的不足，特別是在車輛模型上的局限性，指出了實橋試驗及實驗室模擬存在的困難。賀文宇等[19]基于間接測量法理論，在橋面平整條件下利用識別到的前2階振型進(jìn)行損傷識別；陽洋等[20-21]基于間接測量法在橋面粗糙狀態(tài)下得到橋梁第1階振型，進(jìn)而識別了損傷。

關(guān)于間接測量法已有大量的研究，由于其較大的便利性和經(jīng)濟性，該方法的發(fā)展前景廣闊。然而研究的橋梁形式多為簡支梁橋，對于振型識別一般局限在低車速、較低階振型范圍，車輛模型多為單軸車輛模型且多是平整橋面下的研究。

針對以上研究的不足，本文基于間接測量法，選用實際工程中某3跨連續(xù)梁橋進(jìn)行數(shù)值模擬分析；通過使用漢寧窗抑制高頻信號的泄露，突破低車速識別的限制條件；改進(jìn)車輛建模方式，利用2輛單軸1/4車輛模型模擬測試車輛，1輛雙軸半車模型模擬牽引車輛并對橋梁提供額外激勵，三車鉸接以便于實際應(yīng)用；對前后車測試出的加速度數(shù)據(jù)進(jìn)行相減處理以消除橋面粗糙度的影響。本研究可進(jìn)一步完善間接測量法識別橋梁頻率和振型的相關(guān)理論，推動間接測量法識別頻率和振型在實際工程中的應(yīng)用。

1 理論基礎(chǔ)

橋面不平整度是一種零均值、各態(tài)經(jīng)歷的平穩(wěn)高斯隨機過程，通常使用功率譜來描述。參照《機械振動 道路路面譜測量數(shù)據(jù)報告》，公路路面功率譜密度擬合函數(shù)為

(1)

式中：m0為參考空間頻率；m為空間頻率；Gx(m0)為參考空間頻率m0下的路面功率譜密度值，稱為路面不平整度系數(shù)，它取決于路面等級；ω為頻率指數(shù)，取值為2。

每一類粗糙度的振幅d為

(2)

式中：Δm為空間頻率的采樣間隔。

路面粗糙度疊加r(x)為

(3)

式中：ms,i為第i個空間頻率；di和θi分別為第i個余弦函數(shù)的振幅和相位角。

圖1 單自由度車輛通過橋梁簡圖Fig.1 Schematic Diagram of Single-degree-of-freedom Vehicle Passing Through a Bridge

采用有限元方法將橋梁離散化，車輛振動方程可以表示為

(4)

橋梁的運動方程可列為

(5)

式中：qv(t)為車體的豎向位移，值得注意的是對于車體的豎向位移，本文是從車體平衡位置起算的，抵消了車體重力的作用；δ為單位脈沖函數(shù)。

接觸力fc(t)為

fc(t)=-mvg+kv[qv(t)-ub(x,t)|x=vt]-

kv[r(x)|x=vt]

(6)

式中：g為重力加速度。

(7)

(8)

由于粗糙度引起的車輛懸架彈性力和車輛慣性力對橋梁響應(yīng)貢獻(xiàn)較小，因此式(8)簡化為

(9)

對于零初始條件，求解式(6)得

(10)

式中：Δst,n為車輛質(zhì)量引起的橋梁靜態(tài)撓度，Δst,n=-2mvgL3/(n4π4EI)；Sn為量綱一的速度參量，Sn=nπv/(Lωb,n)。

將式(10)代入式(7)，得到橋梁的豎向位移為

Snsin(ωb,nt)]}

(11)

對于車輛，式(7)的運動方程可以改寫為

(12)

將式(11)和式(3)代入式(12)，通過帶哈密積分得到車輛豎向位移為

(13)

對式(13)進(jìn)行2次微分得到車輛的加速度響應(yīng)為

ns,ivωvsin(θi)sin(wvt)]

(14)

粗糙度引起的車輛加速度響應(yīng)為式(11)的后半部分。車輛的加速度響應(yīng)主要由4種不同類型的頻率余弦波疊加組成，分別為車輛的固有頻率ωv、驅(qū)車頻率(n±1)πv/L、橋梁的左移頻率ωb,n-nπv/L和右移頻率ωb,n+nπv/L。通過恰當(dāng)?shù)臑V波技術(shù)(比如快速傅里葉變換FFT、希爾伯特轉(zhuǎn)換HT等)，橋梁的n階頻率所對應(yīng)的信號信息可以從車輛的振動加速度響應(yīng)中提取出來。

為了提取出橋梁振型，采用帶通濾波數(shù)據(jù)處理手段從車輛的振動響應(yīng)中提取出與第n階振型橋頻對應(yīng)的分量響應(yīng)。根據(jù)式(14)得到與第n階模態(tài)相關(guān)聯(lián)的橋頻分量響應(yīng)Rb為

(15)

對式(15)整理得橋梁振動響應(yīng)的瞬時振幅解析解A(t)為

(16)

通過式(16)可以看出，A(t)為一個常量Am與橋梁模態(tài)函數(shù)sin(nπx/L)絕對值的乘積，所以A(t)仍是橋梁的模態(tài)函數(shù)。以此可以得出，只要從車輛豎向振動響應(yīng)中分解出對應(yīng)于橋梁某階頻率的振動響應(yīng)，那么就得到了相應(yīng)的瞬時振幅振蕩曲線，曲線的外包絡(luò)線則代表了橋梁相對應(yīng)的某階振型。由于測試車通過了橋上的每一個點，因此可以保證此方法提取振型具有較高的空間分辨率。

2 識別流程與模型參數(shù)

2.1 識別流程

通過試驗車輛的動力響應(yīng)識別相應(yīng)的橋梁頻率和振型步驟如下：

步驟1：通過在測試車上放置加速度傳感器測得車輛的豎向加速度振動響應(yīng)。

步驟2：對提取出的車輛加速度時程響應(yīng)進(jìn)行快速傅里葉變換識別出橋梁頻率。

步驟3：通過帶通濾波器與漢寧窗將不同橋頻的響應(yīng)從車輛振動響應(yīng)中分離得到相應(yīng)的橋頻分量響應(yīng)。

步驟4：運用希爾伯特變換獲取相應(yīng)橋頻分量瞬時振幅曲線，應(yīng)用此曲線重構(gòu)橋梁振型，瞬時振幅曲線在絕對值上代表了橋的相應(yīng)振型，振型的正負(fù)需要根據(jù)工程實際進(jìn)行判斷。

2.2 模型參數(shù)

基于分離法原理與車輛動力學(xué)理論,將車輛模型與橋梁模型分別建模，利用約束方程實現(xiàn)任意時刻車輪和橋面接觸點的位移協(xié)調(diào)關(guān)系，車輛與橋梁2個獨立子體系之間的耦合關(guān)聯(lián)作用是通過輪橋接觸點的相互作用力相聯(lián)系(相應(yīng)的力平衡關(guān)系自動滿足)，通過APDL編程實現(xiàn)車輛過橋的耦合動力時程響應(yīng)分析。本文選取實際工程中某3跨連續(xù)梁橋進(jìn)行數(shù)值模擬分析。

2.2.1 橋梁建模

工程實例為濟南市政某28 m+45 m+28 m連續(xù)梁橋，橋面寬度為8 m，上部結(jié)構(gòu)為單箱單室主梁。全橋主梁采用C50預(yù)應(yīng)力混凝土，彈性模量EC=3.45×104MPa。因為是用單梁模擬主梁，橫向剛度擴大1 000倍，濾除扭轉(zhuǎn)對橋梁模態(tài)識別的影響。橋梁橫截面如圖2所示。橋梁縱梁相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 橋梁縱梁參數(shù)Table 1 Parameters of Bridge Longeron

圖2 橋梁橫截面(單位：cm)Fig.2 Cross Section of Bridge (Unit:cm)

應(yīng)用以上相關(guān)橋梁參數(shù)，使用有限元軟件建立橋梁模型，運用模態(tài)分析模塊得到自振頻率和振型，如表2所示。

表2 橋梁自振頻率與振型特征Table 2 Natural Vibration Frequency and Mode Characteristics of Bridge

2.2.2 車輛建模

車輛模型采用鉸接車輛模型，讓其勻速駛過橋梁，車輛實際模型及車輛有限元建模如圖3所示。

圖3 鉸接車輛模型示意圖(單位:m)Fig.3 Schematic Diagram of Articulated Vehicle Model (Unit:m)

2輛單軸測試車質(zhì)量M1各為1 t；雙軸牽引車質(zhì)量M2為30 t；牽引車點頭剛度Iv為1×104kg·m2；單軸車豎向剛度K1為1.7×105kN·m-1;雙軸車前軸豎向剛度K3為1.11×106kN·m-1；后軸豎向剛度K2為7.4×105kN·m-1。

牽引車通過雙軸半車模型模擬，測試車通過單軸1/4車輛模型模擬，車體之間通過鉸連接。相比于單軸1/4車輛模型，雙軸半車又添加了車體質(zhì)量點的轉(zhuǎn)動剛度，因此多了一個轉(zhuǎn)動頻率。通過理論公式計算得到車橋模型中的單軸1/4車和雙軸半車豎向振動頻率ωv分別為1.22、2.08 Hz，雙軸半車轉(zhuǎn)動頻率ωθ為2.17 Hz。雙軸半車豎向振動頻率和轉(zhuǎn)動頻率計算公式如式17所示。

(17)

3 不同不平整度等級下頻率和振型的識別

橋面不平整度是橋梁間接識別方法在實際應(yīng)用中無法避免的一個重要影響因素。Chang等[22]提出了使用2個單自由度車輛模型勻速通過粗糙橋面，然后對得到的2條加速度時程曲線分別進(jìn)行快速傅里葉變換，將得到的2個頻譜圖進(jìn)行相減，以達(dá)到消除橋面不平整度對間接測量法的影響。Elhattab等[23]提出采用2個單自由度車輛模型勻速通過粗糙的橋面，得到前后2輛車在過橋階段的加速度時程曲線，然后選取它們在橋面同一位置時的加速度數(shù)值相減，使用加速度差值曲線進(jìn)行模態(tài)分析，進(jìn)而消除橋面不平整度對識別結(jié)果的影響。本文采用后者原理進(jìn)行模擬分析。

參照《機械振動 道路路面譜測量數(shù)據(jù)報告》，路面(橋面)按照功率譜密度可以分為8級，前3個等級如表3所示。

表3 路面等級Table 3 Road Level

采用簡諧波疊加法(三角級數(shù)法)，在車速10 m·s-1時，使用MATLAB程序生成101 m長路面(橋面)A、B、C級的不平整度系數(shù)，進(jìn)而進(jìn)行計算。C級不平整度MATLAB核心代碼示例為

qkc(i,:)=Xkc(i)*sin(0.1*pi*fk(i)*

dL+faik(i))

101 m長橋面不平整度模擬如圖4所示。

圖4 橋面不平整度模擬Fig.4 Bridge Deck Roughness Simulation

3.1 頻率識別

對橋面分別施加A、B、C級不平整度，通過前后測試車加速度做差得到差值加速度，對差值加速度進(jìn)行快速傅里葉變換，其頻譜圖如圖5所示。

圖5 鉸接車輛識別頻譜Fig.5 Articulated Vehicle Identification Spectrum

根據(jù)式(14)，其解析解中包含與粗糙度相關(guān)的頻率、驅(qū)車頻率、測試車自振頻率、橋梁左移和右移頻率，可以認(rèn)為橋梁左移和右移頻率的均值為橋頻。對前后測試車加速度數(shù)據(jù)進(jìn)行差值處理能夠有效消除粗糙度相關(guān)頻率信息，顯著降低驅(qū)車頻率振動峰值，因此從頻譜圖只能看出測試車自振頻率及橋梁前3階頻率信息。隨著不平整度等級的增加，2階、3階等較高階橋頻分辨率略有下降，但仍能夠清晰辨別，說明采用鉸接車輛模型進(jìn)行差值處理能夠較好克服粗糙度的影響。

表4為不同橋面不平整度等級下頻率識別值，由表4可知，橋梁頻率識別相對誤差都能控制在1%以內(nèi)，滿足工程精度要求。

表4 不同橋面不平整度等級下頻率識別值Table 4 Identification Frequency Values of Different Bridge Deck Roughness Levels

3.2 振型識別

通過帶通濾波器與漢寧窗數(shù)據(jù)處理技術(shù)將不同橋頻的響應(yīng)從車輛振動響應(yīng)中分離得到相應(yīng)的橋頻分量響應(yīng)。A級不平整度下橋頻分量響應(yīng)如圖6所示；B級不平整度下橋頻分量響應(yīng)如圖7所示；C級不平整度下橋頻分量響應(yīng)如圖8所示；對橋頻分量響應(yīng)的外包絡(luò)線重構(gòu)得到橋梁的識別振型。

圖6 A級不平整度下橋頻分量響應(yīng)Fig.6 Bridge Frequency Component Response Under Class A Roughness

圖7 B級不平整度下橋頻分量響應(yīng)Fig.7 Bridge Frequency Component Response Under Class B Roughness

圖8 C級不平整度下橋頻分量響應(yīng)Fig.8 Bridge Frequency Component Response Under Class C Roughness

橋頻分量響應(yīng)邊界處有少量異常點是因為使用漢寧窗后旁瓣衰減所致，可以在數(shù)據(jù)處理時人為去除。另外邊跨外包絡(luò)線誤差較大，這是由車輛上橋下橋時在兩鉸接小車長度范圍內(nèi)無有效的加速度差值數(shù)據(jù)導(dǎo)致，后期振型處理時應(yīng)當(dāng)做適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)修正。將識別振型與有限元模態(tài)分析得到的理論振型最大值歸一化處理后進(jìn)行對比分析，討論其識別精度。橋梁前3階振型如圖9所示，其中相對位移為橋梁單元之間的相對位移。

圖9 橋梁振型Fig.9 Bridge Vibration Mode

利用此數(shù)值模擬方法得出的識別振型與橋梁有限元模型模態(tài)分析得出的理論振型進(jìn)行對比，分析此數(shù)值模擬方法的準(zhǔn)確性，衡量標(biāo)準(zhǔn)采用振型模態(tài)保證準(zhǔn)則，模態(tài)保證準(zhǔn)則(MAC)定義為

(18)

式中：M為MAC值；φa和φb分別為提取的模擬振型向量和理論振型向量。

粗糙度對振型識別影響較大，由于粗糙度與橋梁一起充當(dāng)了激勵源，因此車輛振動信息中包含了粗糙度與橋梁振動的信息，加速度差值可以減弱粗糙度的干擾但并不能完全去除其影響。當(dāng)橋面粗糙度較大，而車輛對橋梁的激勵不足時，粗糙度信號會掩蓋橋梁信號導(dǎo)致橋梁振型難以識別。本節(jié)探討了不同等級不平整度對橋梁振型識別的影響，采用質(zhì)量較大的牽引車增加對橋梁的激勵，通過前后測試車響應(yīng)數(shù)據(jù)差值消除橋面粗糙度的不利影響，總體上取得了較好的橋梁振型識別效果。

振型曲線有突變是因為振型曲線的正負(fù)根據(jù)工程實際處理所致。從圖9可以看出：振型識別誤差主要來源于2個邊跨區(qū)段，隨著橋梁振型階次的升高，邊界異常效應(yīng)愈加明顯；第3階振型的橋梁中跨跨中位置識別誤差較大，其根本原因來源于2階橋頻信號的污染以及振型最大值歸一化時邊跨區(qū)段的影響。表5為不同橋面不平整度等級下振型識別MAC值，通過表5可以看出：橋梁振型前2階MAC值基本都在0.97以上；1階MAC值較2階MAC值低，原因為橋梁振型1階模態(tài)信息受車輛高能量信號的污染；3階MAC值在0.94以上，能夠滿足工程精度要求。

表5 不同橋面不平整度等級下振型識別MAC值Table 5 MAC Value of Vibration Mode Recognition Under Different Bridge Surface Roughness Levels

4 結(jié)語

(1)本文對車橋耦合振動計算得到的車輛響應(yīng)采用帶通濾波與漢寧窗相結(jié)合的處理方法，解決了間接測量法識別振型必須保持低速條件的限制，使得較高車速下能夠較為準(zhǔn)確識別到橋梁第3階振型。

(2)橋面不平整度是車輛響應(yīng)中重要的不利激勵源，本文采用鉸接車輛模型，利用質(zhì)量較大的牽引車作為社會車輛對橋梁施加額外激勵，通過對被拖引的前后測量車響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行差值處理，克服了橋面粗糙對橋梁頻率振型識別的不利影響，數(shù)值分析結(jié)果顯示在A、B、C級橋面不平整度條件下，采用鉸接車輛模型識別出的橋梁前3階頻率相對誤差均在1%以內(nèi)，對加速度時程響應(yīng)數(shù)據(jù)加窗處理后識別出的橋梁前3階振型MAC值均在0.95以上，滿足工程精度需求。

(3)利用此鉸接車輛模型的振動響應(yīng)識別橋梁振型不需要在橋上設(shè)置傳感器，只需要在鉸接的測試車輛上各安裝1個傳感器即可測量識別得到橋梁頻率和橋梁的連續(xù)分布振型，其振型曲線相當(dāng)于在橋梁上直接安裝無限個傳感器得到的實測振型，因此具有經(jīng)濟且快速的優(yōu)勢，應(yīng)用前景廣闊，但是相關(guān)研究工作仍然不夠完善，比如忽略了橋梁阻尼和車輛阻尼的影響，另外現(xiàn)場測量白噪聲也是不可忽略的因素，因此對于在工程上的應(yīng)用還需要進(jìn)一步的理論和現(xiàn)場試驗研究。