基于LMI的DC/DC變換器魯棒模型預(yù)測控制

王曉蘭，賈啟明

(蘭州理工大學(xué)電氣與控制工程國家級實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，甘肅 蘭州 730050)

DC/DC變換器通過開關(guān)器件的導(dǎo)通與關(guān)斷來實(shí)現(xiàn)電壓變換，作為直流電源、負(fù)荷、儲能與直流母線間的重要媒介，DC/DC變換器的輸出電壓紋波小、狀態(tài)穩(wěn)定是衡量控制器的重要性能指標(biāo)之一。在系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行過程中存在干擾因素，導(dǎo)致輸出電壓的狀態(tài)不穩(wěn)定或有較大的紋波，輸出電壓質(zhì)量不高，非常不利于后級載荷的安全穩(wěn)定運(yùn)行[1-4]。

針對控制DC/DC變換器的問題，文獻(xiàn)[5-7]采用傳統(tǒng)的比例積分(proportional integral，PI)控制方法，通過電壓、電流雙閉環(huán)的控制策略實(shí)現(xiàn)直流變換器控制，同時根據(jù)主要參數(shù)的設(shè)計(jì)與選擇實(shí)現(xiàn)直流增益優(yōu)化。Kothare于1996年提出一種基于線性矩陣不等式(linear matrix inequality，LMI)的魯棒模型預(yù)測控制(robust model predictive control，RMPC)綜合方法,使得整個控制系統(tǒng)在受到干擾時仍能保持比較穩(wěn)定的狀態(tài)[8]。針對系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行時不可測因素對輸入量帶來影響的問題，文獻(xiàn)[9]提出RMPC策略，通過對系統(tǒng)進(jìn)行分析，將影響輸入量的因素進(jìn)行優(yōu)化，將優(yōu)化結(jié)果帶入系統(tǒng)模型中進(jìn)行控制，可以提高對系統(tǒng)狀態(tài)的跟蹤能力，并且有效降低系統(tǒng)誤差。針對復(fù)雜環(huán)境下系統(tǒng)的模型精度低、魯棒性差等問題，文獻(xiàn)[10]設(shè)計(jì)了一種基于自適應(yīng)模型預(yù)測理論的軌跡跟蹤控制策略，分析約束條件，設(shè)計(jì)預(yù)測時域內(nèi)的代價函數(shù)，保證系統(tǒng)的時效性?？紤]在實(shí)際運(yùn)行中干擾因素對系統(tǒng)的影響，文獻(xiàn)[11]對約束條件進(jìn)行優(yōu)化，使運(yùn)行狀態(tài)收斂到期望的平衡點(diǎn)，該控制策略保證了對系統(tǒng)中由干擾因素帶來影響的有效補(bǔ)償。針對系統(tǒng)運(yùn)行中由不確定性因素造成的狀態(tài)時滯問題，文獻(xiàn)[12]設(shè)計(jì)一種新的模型預(yù)測控制器來近似時滯延遲，在系統(tǒng)建模時考慮時滯系統(tǒng)的上下界，保證了閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒性。針對系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行狀態(tài)與理想狀態(tài)的相關(guān)性以及運(yùn)行效率的問題，文獻(xiàn)[13]提出基于RMPC的彈性運(yùn)行策略，建立優(yōu)化決策模型，再求解最小-最大問題。針對模型不確定性問題，文獻(xiàn)[14-15]設(shè)計(jì)一種RMPC策略，將含不確定性約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為最小-最大問題的求解，并最終將其轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃問題來求解。針對線性系統(tǒng)的不確定性的問題，文獻(xiàn)[16]提出一種RMPC方法，對控制系統(tǒng)施加一些穩(wěn)定性限制，將其包含在RMPC策略處理的一組約束中，從而使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。文獻(xiàn)[17]對模型估計(jì)程序的數(shù)據(jù)施加一些特定條件，限制了數(shù)據(jù)的實(shí)際使用條件，為此，提出一種新的數(shù)據(jù)驅(qū)動控制方法，即將數(shù)據(jù)驅(qū)動的概念集成到RMPC架構(gòu)中，由此實(shí)現(xiàn)遞歸可行性和穩(wěn)定性。針對一類線性離散時滯系統(tǒng)的問題，文獻(xiàn)[18]提出具有主動補(bǔ)償機(jī)制的RMPC方法，通過Lyapunov穩(wěn)定性理論來解決一組線性基質(zhì)不平等問題；此外還考慮了不確定性問題，可大大降低控制器的保守性，保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[19]采用基于LMI的離線輸出反饋魯棒預(yù)測算法對系統(tǒng)進(jìn)行控制，這種控制策略可以減少在線運(yùn)算量，并且通過狀態(tài)重構(gòu)形成新的狀態(tài)變量，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)控制快速性，保證系統(tǒng)的魯棒性。

以上文獻(xiàn)所采用的RMPC方法對受未知擾動的系統(tǒng)均能進(jìn)行有效控制，但難以建立考慮系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中受擾動因素的模型[20]。因此，本文設(shè)計(jì)反饋控制，即將DC/DC變換器的狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)化為對應(yīng)目標(biāo)函數(shù)的狀態(tài)變量模型，再通過LMI[21]使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，以消除系統(tǒng)中存在的穩(wěn)態(tài)誤差；針對系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行時存在的干擾因素設(shè)計(jì)觀測器，并結(jié)合原系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)建立估計(jì)模型，使干擾因素帶來的不利影響逐漸趨于0；設(shè)計(jì)一種將觀測器嵌入反饋控制的控制器，利用MATLAB對該控制器進(jìn)行數(shù)值仿真，以驗(yàn)證所提控制策略的可行性。

1 Boost變換器狀態(tài)空間平均模型

Boost變換器如圖1所示，其中：uin為輸入電壓；C為電容；R為電阻；L為電感；iL為電感電流；uo為輸出電壓；VT為開關(guān)管；VD為二極管。

圖1 Boost變換器Fig.1 Boost converter

令D為Boost變換器的占空比，根據(jù)在1個周期Ts中的運(yùn)行狀態(tài)列寫狀態(tài)方程。

(1)

式中t為時間。

b)在DTs

(2)

將狀態(tài)方程經(jīng)平均化處理后表示為：

(3)

式(3)可以寫成

(4)

2 設(shè)計(jì)基于LMI的RMPC

圖2 控制結(jié)構(gòu)Fig.2 The control structure

首先在原控制系統(tǒng)基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)反饋控制，并建立目標(biāo)函數(shù)求取可行解；然后通過可行解證明本文所設(shè)計(jì)控制器的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性；最后設(shè)計(jì)控制對象的觀測器，并將其帶入反饋控制中，保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2.1 設(shè)計(jì)系統(tǒng)反饋控制律

圖3 反饋控制結(jié)構(gòu)Fig.3 Feedback control structure

運(yùn)用狀態(tài)反饋控制對變換器實(shí)際輸出電壓與理論值的偏差不斷進(jìn)行修正，使其實(shí)際輸出更接近理論值，從而對變換器進(jìn)行控制。

通過建立模型預(yù)測控制的目標(biāo)函數(shù)，求解控制對象在約束條件下的可行解或者在可行域內(nèi)的最優(yōu)解。對式(4)系統(tǒng)建立如下目標(biāo)函數(shù)

u(k+i|k)TRu(k+i|k)].

(5)

式中：Q1為對稱半正定矩陣或正定矩陣；R為正定矩陣；x(k+i|k)表示基于k時刻的k+i時刻狀態(tài)的預(yù)測值；u(k+i|k)表示在k時刻優(yōu)化的控制輸入在k+i時刻的值。

定義Lyapunov函數(shù)

V(x)=xTPx.

(6)

式中P為半正定矩陣。

通過選擇Lyapunov函數(shù)，滿足xTPx是目標(biāo)函數(shù)的一個上界，即

(7)

狀態(tài)反饋u=Kx使得Af=A+BK是漸近穩(wěn)定的，可滿足矩陣中全部元素的最大值λmax(Af)≤γ，其中γ為目標(biāo)函數(shù)的性能指標(biāo)上界。

假定系統(tǒng)狀態(tài)的精確測量值在每個采樣時刻k都是可用的，即

x(k|k)=x(k)

(8)

成立，那么可以得到

V(x(k|k))=V(x(k)).

(9)

令Q=γP-1，運(yùn)用Schur補(bǔ)定理將λmax(Af)≤γ與V(x(k))結(jié)合之后轉(zhuǎn)化為

(10)

在采樣時刻k，對于線性時不變系統(tǒng)可以使V(x(k))滿足下列魯棒穩(wěn)定性約束不等式：

V(x(k+i+1|k))-V(x(k+i|k))≤-J∞(k).

(11)

推導(dǎo)得到相應(yīng)的狀態(tài)反饋控制律

u(k+i|k)=Kx(k+i|k).

(12)

當(dāng)不等式

(A+BK)TP(A+BK)-P+KTRK+Q1≤0

(13)

成立時，令P=γQ-1,K=YQ-1，根據(jù)Schur補(bǔ)定理轉(zhuǎn)化計(jì)算得到

(14)

式中I為單位矩陣。

通過將Q1矩陣與R矩陣帶入黎卡提矩陣方程中，可以計(jì)算得到矩陣P，即

ATP+PA-PBR-1BTP+Q1=0.

(15)

2.2 證明閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性

為了分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，首先需要證明系統(tǒng)狀態(tài)的精確測量值在k時刻的可行解，在t>k時依然是可行的。

根據(jù)式(8)，同理可以得到在k+1時刻對應(yīng)的等式

x(k+1|k+1)=x(k+1).

(16)

結(jié)合式(4)、(7)、(16)，計(jì)算得到

x(k+1|k+1)=x(k+1|k).

(17)

式(17)說明系統(tǒng)狀態(tài)的精確測量值在k時刻的可行解，在t>k時依然可行。

對式(6)系統(tǒng)建立函數(shù)

V(x(k|k))=x(k|k)TPkx(k|k).

(18)

式中Pk為k時刻的最優(yōu)解，且Pk>0，參照式(16)的說明，Pk也是k+1時刻優(yōu)化問題的可行解。

在式(18)基礎(chǔ)上建立k+1時刻對應(yīng)的函數(shù)

V(x(k+1|k+1))=

x(k+1|k+1)TPk+1x(k+1|k+1).

(19)

結(jié)合式(18)、(19)，根據(jù)最優(yōu)解與可行解的關(guān)系可以推算得到

x(k+1|k+1)TPk+1x(k+1|k+1)≤

x(k+1|k+1)TPkx(k+1|k+1).

(20)

結(jié)合式(17)、(18)、(20)，推導(dǎo)計(jì)算得到

x(k+1|k)TPkx(k+1|k)≤

x(k|k)TPkx(k|k).

(21)

結(jié)合式(20)、(21)，推算得出

x(k+1|k+1)TPk+1x(k+1|k+1)<

x(k|k)TPkx(k|k).

(22)

式(22)成立，說明閉環(huán)系統(tǒng)Lyapunov二次函數(shù)隨著t的增長而嚴(yán)格遞減，由此證明閉環(huán)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

2.3 設(shè)計(jì)帶觀測器的反饋控制

對式(4)系統(tǒng)，建立對應(yīng)觀測器的模型

(23)

對式(23)系統(tǒng)，設(shè)計(jì)帶觀測器的反饋控制結(jié)構(gòu)，如圖4所示。

圖4 帶觀測器的反饋控制結(jié)構(gòu)Fig.4 Feedback control structure with the observer

定義誤差估計(jì)模型

(24)

結(jié)合式(4)、(23)、(24)，推算出誤差估計(jì)模型

(25)

狀態(tài)觀測器是通過極點(diǎn)配置來設(shè)計(jì)增益矩陣的，這就需要觀測器的極點(diǎn)可以任意配置，條件是原被控系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀。運(yùn)用LMI工具箱計(jì)算得到

(26)

3 仿真結(jié)果分析

為評估所設(shè)計(jì)基于LMI的RMPC系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)性能以及運(yùn)行過程中的魯棒穩(wěn)定性，在MATLAB/Simulink仿真環(huán)境中搭建圖1所示變換器的仿真模型，電路參數(shù)見表1。對基于LMI的RMPC策略與傳統(tǒng)的PI控制進(jìn)行仿真，并對比分析仿真結(jié)果。

表1 系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 System parameters

3.1 電感電流和輸出電壓的響應(yīng)性能

給定電源電壓為24 V，輸出電壓參考值為100 V，并且保持負(fù)載電阻5 Ω不變。分別采用基于LMI的RMPC策略與PI控制，得到變換器電感電流和輸出電壓的響應(yīng)性能如圖5、圖6所示。

圖5 電感電流的響應(yīng)性能Fig.5 Response performance of inductive current

圖6 輸出電壓的響應(yīng)性能Fig.6 Response performance of output voltage

從圖5可以看出：基于LMI的RMPC策略下，Boost變換器電感電流經(jīng)過0.04 s逐漸上升至穩(wěn)定值83.34 A，無超調(diào)，系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)后，輸出電壓無明顯振蕩；在PI控制下，Boost變換器的電感電流最大值為108.9 A，最小值為80 A，經(jīng)過0.12 s到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)，超調(diào)量為33.7%，電感電流振蕩區(qū)間為83.1～83.3 A。

從圖6可以看出：基于LMI的RMPC策略下，Boost變換器的輸出電壓經(jīng)過0.03 s逐漸上升至輸出電壓參考值100 V，無超調(diào)，穩(wěn)定后輸出電壓無明顯波動；在PI控制下，Boost變換器的輸出電壓最高值為108.58 V，最低值為98.88 V，經(jīng)過0.1 s恢復(fù)到輸出電壓目標(biāo)值100 V，超調(diào)量為8.58%；輸出電壓振蕩區(qū)間為99.8～100.15 V。

與PI控制相比，基于LMI的RMPC策略下，電感電流和輸出電壓的超調(diào)量小，到達(dá)穩(wěn)態(tài)的時間短，動態(tài)響應(yīng)快，輸出電壓紋波小。因此，采用所提策略的控制系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)性能更好。

3.2 考慮負(fù)載擾動時的響應(yīng)性能

通過給負(fù)載施加階躍擾動進(jìn)行仿真，測試所提策略的抗干擾能力，同時與PI控制仿真結(jié)果對比。在保持輸入電壓24 V和輸出電壓參考值100 V不變的情況下，當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行到0.2 s時，Boost變換器的負(fù)載由5 Ω突變?yōu)? Ω，得到如圖7、圖8所示的電感電流和輸出電壓波形。

圖7 負(fù)載擾動時電感電流波形Fig.7 Inductive current waveforms under load disturbance

圖8 負(fù)載擾動時輸出電壓波形Fig.8 Output voltage waveforms under load disturbance

從圖7可以看出，擾動發(fā)生后：在所提策略下，Boost變換器的電感電流經(jīng)過0.03 s恢復(fù)到新的穩(wěn)定值69.5 A，沒有超調(diào)量，受擾后動態(tài)響應(yīng)快，系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)后電感電流無明顯振蕩；在PI控制下，Boost變換器的電感電流下降至63.35 A，經(jīng)過0.15 s后恢復(fù)到穩(wěn)定值69.5 A，超調(diào)量為8.8%，受擾后動態(tài)響應(yīng)快，系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)后電感電流振蕩區(qū)間為69.3～69.6 A。

從圖8可以看出，擾動發(fā)生后：在所提策略下，Boost變換器的輸出電壓升高至112.24 V，然后恢復(fù)到輸出電壓參考值100 V，擾動后到達(dá)穩(wěn)態(tài)時間為0.07 s，輸出電壓無超調(diào)，系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)后輸出電壓無明顯振蕩；在PI控制下，Boost變換器的輸出電壓升高至129 V，最小值為96.79 V，擾動后到達(dá)穩(wěn)態(tài)時間為0.15 s，穩(wěn)定后的輸出電壓值為參考值100 V，超調(diào)量為29%，輸出電壓振蕩區(qū)間為99.8～100.15 V。

對比圖7、圖8可以看出，在基于LMI的RMPC策略作用下，電感電流無超調(diào)，輸出電壓超調(diào)較小，輸出電壓紋波小，擾動后重新達(dá)到穩(wěn)態(tài)時間短，動態(tài)響應(yīng)快。因此，采用所提策略的控制系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性更好。

3.3 輸入電壓擾動情況下的響應(yīng)性能

給變換器施加輸入電壓擾動，保持負(fù)載電阻5 Ω、輸出電壓參考值100 V不變的情況下，在0.2 s時變換器輸入電壓由24 V變?yōu)?9 V，分別采用基于LMI的RMPC策略與PI控制進(jìn)行仿真，得到輸入電壓變動情況下輸出電壓的響應(yīng)性能如圖9所示。

圖9 輸入電壓擾動情況下的響應(yīng)性能Fig.9 Response performance under output voltage fluctuation

從圖9可以看出：在0.2 s時加入輸入電壓擾動，輸出電壓隨著增大；采用基于LMI的RMPC策略時，輸出電壓最大上升至104 V，超調(diào)量為4%，穩(wěn)定后無明顯波動，受到擾動后0.02 s到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)；采用PI控制時，輸出電壓最大上升至107.15 V，最小為97.65 V，超調(diào)量為7.15%，波動范圍為99.9～100.1 V，到達(dá)穩(wěn)態(tài)的時間為0.15 s。

與PI控制相比，所提策略的輸出電壓紋波小，超調(diào)量小，受擾后重新到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)的時間更快。在實(shí)際應(yīng)用中，輸出電壓的紋波數(shù)值越小表示輸出電壓質(zhì)量就越高，對比可以看出，基于LMI的RMPC策略比PI控制方法的輸出電壓質(zhì)量高。系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)這一性能主要體現(xiàn)在系統(tǒng)運(yùn)行過程中到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)的時間和受擾動后重新到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)的時間，時間越短表明控制性能越好，同樣可以看出，所提策略比PI控制方法的控制性能好。

4 結(jié)束語

本文旨在解決DC/DC變換器在實(shí)際運(yùn)行情況下輸出電壓狀態(tài)不穩(wěn)定、紋波大、質(zhì)量較低導(dǎo)致系統(tǒng)性能較差的問題，提出一種基于LMI的RMPC策略，通過將觀測器嵌入反饋控制來降低系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行中由電磁干擾等因素帶來的誤差影響，在使變換器輸出電壓質(zhì)量滿足要求的同時，保證系統(tǒng)在受到擾動時依舊能保持穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)。運(yùn)用MATLAB對所提策略進(jìn)行仿真，并與PI控制的仿真進(jìn)行對比，結(jié)果表明其控制性能更好，可以保證系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。