經(jīng)歷探究過程 滲透轉(zhuǎn)化思想

劉升寧 鄧馬麗

【摘 要】課標(biāo)指出，讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)，能夠獲得適應(yīng)未來社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識以及基本的數(shù)學(xué)思想方法。轉(zhuǎn)化這一數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)在各個階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，運(yùn)用廣泛，尤其在數(shù)學(xué)問題的解決中，學(xué)生經(jīng)常會用到這一數(shù)學(xué)思想。學(xué)生所學(xué)的新知識，都是由已學(xué)知識發(fā)展而來的。一些數(shù)學(xué)問題可以通過轉(zhuǎn)化找到合適的方法，將難題轉(zhuǎn)化成簡單的問題來解決。在新知識教學(xué)中，教師應(yīng)綜合考慮教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，循序漸進(jìn)地將轉(zhuǎn)化思想滲透給學(xué)生，讓學(xué)生學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想去遷移類推，分析并解決遇到的新問題。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想 剪拼 轉(zhuǎn)化

【教學(xué)目標(biāo)】

1.熟練掌握平行四邊形的面積計算公式，會正確運(yùn)用計算公式解決實際問題。

2.通過觀察、合作、思考、歸納整理，自主探索并推導(dǎo)平行四邊形的面積計算公式，感受轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。

3.通過一系列數(shù)學(xué)活動，提升解決實際問題的能力，并在這一過程中感受數(shù)學(xué)的魅力。

【教學(xué)重點】

熟練掌握并能正確運(yùn)用平行四邊形的面積計算公式。

【教學(xué)難點】

平行四邊形的面積計算公式的推導(dǎo)。

【學(xué)情分析】

小學(xué)高年級的學(xué)生已具備一定獨(dú)立思考的能力，并且他們非常樂意交流分享自己獨(dú)特的見解，可以和同學(xué)一起合作，有較好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。在此之前，學(xué)生已經(jīng)知道長方形的面積計算公式及它的推導(dǎo)過程，并能正確地計算長方形的面積，對平行四邊形的相關(guān)內(nèi)容也有所掌握，這些都是本節(jié)課的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。學(xué)生在生活中接觸過關(guān)于平行四邊形的感性例子，但不會注意到怎樣計算平行四邊形的面積，新授時完全接受起來有一定的難度。

【教學(xué)過程】

一、遷移類推，初識轉(zhuǎn)化

1.課件出示：每個小正方形代表1平方厘米，圖1的面積是多少平方厘米？

（1）學(xué)生想法一：數(shù)一數(shù)，一共有12個正方形，所以是12平方厘米。

（2）學(xué)生想法二：把左邊凸出的小正方形剪下來，再拼到右邊空的那個地方。（此時，教師課件演示動態(tài)剪拼的過程，揭示并板書：剪拼）

（3）教師提出問題：我們?yōu)槭裁匆羝矗?/p>

（學(xué)生回答后，教師板書：轉(zhuǎn)化 長方形）同時，教師引導(dǎo)學(xué)生將剪拼的方法和數(shù)方格的方法互相印證。

（4）讓學(xué)生說出自己的解決方法。（略）

2.課件出示：圖2的面積是多少平方厘米？

3.通過求上面兩個圖形的面積，我們發(fā)現(xiàn)可以用剪拼的方法來做什么？

（學(xué)生回答后，教師多媒體動態(tài)展示：將沒有學(xué)習(xí)過的圖形剪拼“轉(zhuǎn)化”成學(xué)過的圖形）

教師進(jìn)行方法的強(qiáng)調(diào)：用剪拼的方法把我們沒有學(xué)過的圖形“轉(zhuǎn)化”成學(xué)習(xí)過的圖形，是我們研究平面圖形面積的最常用，也是最實用的一種方法。

學(xué)生通過將上圖中兩個不規(guī)則的圖形進(jìn)行剪拼，使其變成規(guī)則的已知圖形，進(jìn)而求出它們的面積。在自己動手操作的過程中，學(xué)生對轉(zhuǎn)化有了初步的感知，并隨之產(chǎn)生將未知轉(zhuǎn)化成已知的解決問題意識，為后面學(xué)習(xí)平行四邊形的面積推導(dǎo)公式做好了充分的鋪墊。

二、操作探究，感悟轉(zhuǎn)化

（一）創(chuàng)設(shè)情境，出示問題

學(xué)校組織美化校園活動，給每個班分配了一塊花卉種植地。五（1）班分到一塊長方形種植地，而一塊平行四邊形種植地則分給了五（2）班，兩個班的同學(xué)都覺得分得不平均。瞧，他們都覺得自己的種植地更小而爭吵了起來，同學(xué)們可以幫助他們解決這個難題嗎？

師：你會算長方形種植地的面積嗎？（長×寬=長方形的面積）那五（2）班的種植地面積，你也能計算出來嗎？這節(jié)課，我們就一起進(jìn)入平行四邊形面積計算公式的探究世界吧。

學(xué)生們都非常樂意幫助別人，通過創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉又感興趣的分配種植地的情境，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣一下得到了激發(fā)，同時，其求知欲也被激發(fā)出來。教師引導(dǎo)學(xué)生回想并復(fù)習(xí)長方形面積的計算公式，為接下來的遷移轉(zhuǎn)化以及新知的學(xué)習(xí)做好充分的鋪墊，與此同時，把問題拋向?qū)W生，讓學(xué)生順其自然地進(jìn)入新課學(xué)習(xí)。

（二）初步驗證，感悟方法

師：請同學(xué)們回憶一下，長方形的面積公式是怎樣推導(dǎo)出來的？一開始，我們采取的是什么方法？你認(rèn)為這個方法也可以應(yīng)用于平行四邊形的面積計算嗎？

（教師課件出示方格圖，請學(xué)生用同樣的數(shù)方格的方法計算平行四邊形的面積，不滿一格就都按半格計算）

生1：我數(shù)的是21平方米，我是先數(shù)整格的，再把不是整格的拼成整格的。

生2：我數(shù)的也是21平方米，我是把左邊的三角形平移到右邊，拼成長方形之后再數(shù)的，所以，根據(jù)長方形的面積計算公式，得出3×7=21。

生3：只有沿著高的直角三角形，才可以拼成長方形。

師：為什么要拼成長方形？

生：拼成長方形好數(shù)。

師：把難數(shù)的圖形轉(zhuǎn)化成容易數(shù)的，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，再計算長方形的面積，那我們得到的這個長方形的面積和原來平行四邊形的面積有什么關(guān)系呢？

生：它們的面積相等。雖然平行四邊形被切下來一部分移到另一個位置，但是面積沒有缺掉，根本沒有變化。

師：哇，同學(xué)們太厲害啦！老師明白了，只要將平行四邊形“轉(zhuǎn)化”成長方形，就可以計算出面積了。所有的平行四邊形能否都轉(zhuǎn)化成長方形呢？這個圖形可以用底×高來計算面積，那所有的平行四邊形面積都可以用底×高來計算嗎？我們?nèi)绻挥脭?shù)格子這一種方法來驗證，還不具有說服力。大家想不想自己動手剪一剪、拼一拼？

通過具體操作體驗如觀察、數(shù)、算再進(jìn)行比較，學(xué)生對平行四邊形和長方形之間的關(guān)系就有了初步的感知，在將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形方面也有了初步的體驗。接著，教師引發(fā)思維碰撞：所有的平行四邊形都可以轉(zhuǎn)化成長方形嗎？僅靠數(shù)格子這種單一的途徑驗證缺乏說服力，再次引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。最后，放手讓學(xué)生去探索、研究、比較，驗證自己的猜想。

（三）自主探究，推導(dǎo)公式

1.小組合作，動手操作。

師：任何一個平行四邊形是否都可以轉(zhuǎn)化成長方形呢？

（每個組運(yùn)用手中不盡相同的平行四邊形進(jìn)行動手操作，教師巡視）

2.剪拼轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

生1：我們小組是沿著平行四邊形的一條高剪下一個直角三角形，然后將剪下來的這個直角三角形放到右邊，就拼成了一個長方形。（如圖3）

生2：我們小組也是沿著高剪開，剪下一個三角形，再拼。（如圖4）

生3：我們小組也是沿著高剪開，剪下ー個直角梯形。（如圖5）

師：同學(xué)們?yōu)槭裁炊颊f要沿著高剪呢？

生：因為只有沿著平行四邊形的高剪開，才可以得到一個直角，才能拼成我們想要的長方形。

師：哦，原來沿著高剪開，才是剪拼成長方形的關(guān)鍵。

師：看來，再特殊的平行四邊形也可以通過剪、拼轉(zhuǎn)化成長方形。但老師有點不明白，為什么一定得剪拼成長方形呢？其他圖形可以嗎？

生：因為我們學(xué)過長方形的面積計算公式。

十個隨性、自由、零散的行動不如一個理性、正確、系統(tǒng)的思想，學(xué)生能在教師的引導(dǎo)下說出解決問題的方法，這足以說明教學(xué)成功了一半。教師將問題“任意一個平行四邊形是否都可以轉(zhuǎn)化成長方形”直接拋向?qū)W生，給予學(xué)生充分的思考空間，這就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。要回答這個完全未知的問題，學(xué)生只有先將頭腦中儲存的與平行四邊形相關(guān)的所有知識及經(jīng)驗儲備喚醒，才能進(jìn)一步找到可能的方法來解決問題。要把平行四邊形轉(zhuǎn)化成學(xué)生熟悉的長方形，關(guān)鍵是要利用轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)用好剪、拼的方法。學(xué)生完成后，與全班一起交流剪、拼的方法，可以進(jìn)一步理解剪、拼的本質(zhì)，同時，促進(jìn)思維的靈活發(fā)展，通過語言描述，提升邏輯思維能力。整個操作和交流的過程，加強(qiáng)了學(xué)生對轉(zhuǎn)化思想的認(rèn)識、理解，讓學(xué)生初步感知底×高就可以得出平行四邊形的面積，為后面的面積計算公式的推導(dǎo)起到了鋪墊作用。

（四）觀察比較，推導(dǎo)公式

師：原來是用舊知識去解決新問題，同學(xué)們是把平行四邊形轉(zhuǎn)化成之前學(xué)過的長方形，那通過剪、拼轉(zhuǎn)化得到的長方形和原來的平行四邊形有什么關(guān)系？

生1：我發(fā)現(xiàn)它們的面積一樣。

生2：轉(zhuǎn)化后的長方形的長就是原來平行四邊形的底。

生3：轉(zhuǎn)化后的長方形的寬就是原來平行四邊形的高。

生4：因為長方形的面積=長×寬，所以，平行四邊形的面積就等于底×高。

師：如果平行四邊形的面積用字母S表示，底用字母a表示，a底邊上的高用h表示，由此得出S=ah。

（五）學(xué)生嘗試運(yùn)用計算公式

師：我們推導(dǎo)出來的這個平行四邊形面積的計算公式，可以應(yīng)用到任何一個平行四邊形的面積計算中嗎？看來，我們可以幫助五（1）班和五（2）班的同學(xué)解決難題了，請你用面積公式幫五（2）班同學(xué)計算出他們所分到的平行四邊形種植地的面積，再比較這樣計算面積的計算結(jié)果是否和數(shù)方格的結(jié)果一樣，比較計算結(jié)果與數(shù)方格求得的面積結(jié)果是否一樣。

學(xué)生獨(dú)立完成（說明格式要求）。

新授知識的教學(xué)由學(xué)生猜測、驗證、應(yīng)用三個步驟組成，符合學(xué)生的心智發(fā)展和學(xué)習(xí)的一般認(rèn)知規(guī)律。學(xué)生經(jīng)歷一系列的操作活動，如數(shù)一數(shù)、猜一猜、剪一剪、拼一拼等，這些過程，就是學(xué)生經(jīng)歷新知形成的過程，學(xué)生在掌握所學(xué)新知識的同時，又能體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。學(xué)生在親歷操作和沉浸式體驗中，充分展現(xiàn)了自主學(xué)習(xí)和探究性學(xué)習(xí)的精神。

通過教師引導(dǎo)和學(xué)生的思考，學(xué)生能探索用轉(zhuǎn)化的方法將未知的平行四邊形面積轉(zhuǎn)化成學(xué)過的長方形的面積來計算。但在學(xué)生轉(zhuǎn)化之前，教師首先應(yīng)讓學(xué)生充分理解一些問題。第一，將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形的這一過程，只是將平行四邊形通過剪、拼轉(zhuǎn)化成了長方形，其面積不變，即轉(zhuǎn)化后的長方形和轉(zhuǎn)化前的平行四邊形面積大小是一樣的。在這一基礎(chǔ)上，學(xué)生通過觀察、對比平行四邊形和長方形，得出轉(zhuǎn)化后得到的長方形的長就是原來平行四邊形的底，長方形的寬就是原來平行四邊形的高，因此推導(dǎo)出平行四邊形的面積就等于底×高。第二，在學(xué)生操作、活動等過程中，教師應(yīng)將轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想滲透到學(xué)生的心中。在學(xué)生成功完成轉(zhuǎn)化之后，教師應(yīng)適時引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么要將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形？思考這一問題的目的是讓學(xué)生理解：因為求長方形的面積是我們已經(jīng)能解決的問題，將未知的平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化成長方形的面積，就是將未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題，從而解決新問題。教學(xué)中，我們應(yīng)特別注意的是，轉(zhuǎn)化不應(yīng)該是教師提出的要求，而應(yīng)該成為學(xué)生在解決問題過程中迫切的內(nèi)在需要。否則，整堂課中，學(xué)生的動手操作、思考都將處于被教師牽著鼻子走的被動狀態(tài)，學(xué)生對轉(zhuǎn)化的理解也就只能停留于表面。

三、學(xué)以致用，解決問題

師：經(jīng)過計算，我們發(fā)現(xiàn)五（1）班和五（2）班分到的種植地面積相等。下面請同學(xué)們運(yùn)用這節(jié)課所學(xué)知識計算下列平行四邊形的面積。（如圖6）

師：老師為大家的進(jìn)步感到高興，再出道題考考你們吧，可以怎樣計算下面平行四邊形（如圖7）的面積？（強(qiáng)調(diào)：平行四邊形的面積=底×底邊對應(yīng)的高）

師：比較下面a、b、c三個平行四邊形（如圖8）面積的大小。你發(fā)現(xiàn)了什么？（等底等高的兩個平行四邊形面積相等）

學(xué)生在層次鮮明、形式多樣化的練習(xí)中，有效地鞏固了本節(jié)課所學(xué)的知識，并在一定程度上提高了應(yīng)用技能。教師通過讓學(xué)生解決實際問題，增強(qiáng)了學(xué)生的應(yīng)用意識，培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、表達(dá)想法、闡明道理的能力，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活、運(yùn)用于生活。

四、總結(jié)全課，拓展提升

師：這節(jié)課，我們將未知的平行四邊形，通過剪、拼等方法，轉(zhuǎn)化成我們已知的長方形，成功推導(dǎo)出平行四邊形的面積計算公式，用字母表示是S=ah。像這樣把未知的知識轉(zhuǎn)化成學(xué)過的與之關(guān)系密切的舊知識來進(jìn)行研究，就是數(shù)學(xué)上常用的轉(zhuǎn)化思想。希望大家在今后的學(xué)習(xí)中能夠舉一反三，運(yùn)用遷移類推、轉(zhuǎn)化等思想解決更多的數(shù)學(xué)問題和生活問題。

在此前的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師能將轉(zhuǎn)化思想隨教學(xué)內(nèi)容滲透給學(xué)生，使學(xué)生對轉(zhuǎn)化有了簡單的認(rèn)識，只是還停留在初識階段。所以，在本節(jié)課的教學(xué)中，教師應(yīng)讓學(xué)生深刻體會運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解決問題的優(yōu)勢，進(jìn)而加深其對轉(zhuǎn)化思想的認(rèn)識，并會加以運(yùn)用，讓轉(zhuǎn)化的思想在學(xué)生學(xué)習(xí)中綻放美麗的數(shù)學(xué)之花。

最重要的是，在相關(guān)的知識教學(xué)中，如平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形的教學(xué)，在操作探究后，教師要讓學(xué)生自主探討、思考，從而得出正確的結(jié)論。教師在教學(xué)中，首先，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生重點關(guān)注平行四邊形和長方形的面積計算公式以及圖形之間的變換等，即新舊知識之間的聯(lián)系，什么不變，如何轉(zhuǎn)化等。其次，教師應(yīng)讓學(xué)生在解決問題的過程中體會轉(zhuǎn)化思想，掌握轉(zhuǎn)化思想的方法。比如，教師可以在知識的鞏固和運(yùn)用階段，巧妙地設(shè)計一些與新知相關(guān)的練習(xí)，讓學(xué)生在實際問題的解決中進(jìn)一步體會轉(zhuǎn)化思想。