數(shù)學(xué)模型視角下的“正比例圖像”教學(xué)

顧麗英

【摘 要】在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生可以變得更加聰明，究其原因是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以引導(dǎo)學(xué)生在建模的視角下去觀察事物，這樣可以更加便于學(xué)生抓住事物的本質(zhì)。這也是數(shù)學(xué)建模思想的建立在數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值所在。本文以“正比例圖像”教學(xué)為例，借助操作讓學(xué)生在將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型的過程中進(jìn)行解釋和應(yīng)用。教學(xué)中，教師既要引導(dǎo)學(xué)生從“境”到“型”，又要引導(dǎo)學(xué)生從“型”到“境”，讓學(xué)生經(jīng)歷真實(shí)的探究過程，在“境”和“型”之間實(shí)現(xiàn)自由轉(zhuǎn)換。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)模型 圖像 教學(xué)

本文以蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)“正比例圖像”一課教學(xué)為例，在數(shù)學(xué)模型視角下，從不同角度創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生從感知平面坐標(biāo)系模型到感受數(shù)的二維表達(dá)方式，再到感悟平面坐標(biāo)系模型的形成過程，從中學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度分析問題、解決問題，從而達(dá)到架構(gòu)數(shù)學(xué)新知結(jié)構(gòu)、提高數(shù)學(xué)思維能力的目的。

一、親歷畫圖，在由“數(shù)”到“型”的演繹中建立正比例圖像模型

學(xué)生的“已有經(jīng)驗(yàn)”在學(xué)生的認(rèn)知過程中起著非常重要的作用。在教學(xué)中，教師要充分了解學(xué)生原有的生活經(jīng)驗(yàn)及數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)，要采取各種有效的手段喚醒學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備，并在這個(gè)基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型。對(duì)于小學(xué)生來說，關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)大多數(shù)建立在已有生活經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上。在實(shí)際教學(xué)中，教師要善于捕捉學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)中有利于學(xué)生學(xué)習(xí)新知的素材，然后以此為資源創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)。這樣，教師就能夠幫助學(xué)生順利建模。

小學(xué)階段，教材中對(duì)于“正比例”的概念是用具體的實(shí)例來進(jìn)行描述的。其中蘊(yùn)含了函數(shù)概念的兩個(gè)重要特征：第一，兩個(gè)變量是相互聯(lián)系的，一個(gè)變化時(shí)，另一個(gè)也隨之變化;第二，函數(shù)與自變量之間是單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，自變量的值確定后，函數(shù)的值也就唯一確定。因此，在“正比例圖像”一課的教學(xué)中，教師必須關(guān)注以下三點(diǎn)：（1）在一個(gè)變化的過程中，有兩個(gè)變量;（2）這兩個(gè)變量存在一定的關(guān)系;（3）這兩個(gè)變量存在單值對(duì)應(yīng)關(guān)系。從學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā)，教師可以選取典型的具體實(shí)例，再由數(shù)到形，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行自主探索，引導(dǎo)歸納、概括等活動(dòng)。

（一）運(yùn)用生活實(shí)例情境，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)的二維表達(dá)方式

師：同學(xué)們，看！“水漲船高”這個(gè)詞語你們見過嗎？誰愿意來分享一下你的理解？

生：水位升高，船只就會(huì)隨著抬高。這是生活中兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的事物的實(shí)例。

師：其實(shí)，數(shù)學(xué)中也有這樣的例子，兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，比如路程和時(shí)間，你能說說它們之間的關(guān)系嗎？

生：時(shí)間越長(zhǎng)，路程就越長(zhǎng)。

師：你能舉個(gè)例子嗎？

生：比如速度為每小時(shí)80千米的汽車，行駛1小時(shí)，路程是80千米;行駛2小時(shí)，路程是160千米;行駛3小時(shí)，路程是240千米……

[出示幾組路程與時(shí)間相對(duì)應(yīng)的比，算出比值，引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較，發(fā)現(xiàn)比值不變。

路程/時(shí)間=速度（一定），得出結(jié)論：行駛路程和時(shí)間成正比例關(guān)系]

生：比如購(gòu)買單價(jià)為20元的筆記本，購(gòu)買1本，總價(jià)是20元;購(gòu)買2本，總價(jià)是40元;購(gòu)買3本，總價(jià)是60元……

[舉例幾組相對(duì)應(yīng)的總價(jià)與數(shù)量的比，求出比值，通過比較同樣可以發(fā)現(xiàn)，比值不變。

總價(jià)/數(shù)量=單價(jià)（一定），得出結(jié)論：總價(jià)和數(shù)量成正比例關(guān)系]

師（小結(jié)）：兩種相關(guān)聯(lián)的量，它們的比值一定，我們就說這兩種量成正比例關(guān)系。

（二）運(yùn)用趣味故事情境，引導(dǎo)學(xué)生抽象平面坐標(biāo)系模型

師：我們已經(jīng)從“數(shù)”的角度（見表1）研究了正比例的意義，其實(shí)，我們還可以從“形”的角度來研究這個(gè)正比例關(guān)系。

師：我們知道，數(shù)學(xué)中的每一個(gè)數(shù)都可以在數(shù)軸上找到相對(duì)應(yīng)的位置點(diǎn)。比如，在這條數(shù)軸上，我們可以這樣表示1、2、3、4、5、6、7、8小時(shí)。（見圖1）

師：那么，我們剛才研究的表格里每列里的兩個(gè)數(shù)能在這樣的數(shù)軸上用一個(gè)點(diǎn)來表示嗎？

生1：用一條數(shù)軸表示，似乎有點(diǎn)不清晰。

生2：我們能從兩個(gè)維度來思考嗎？好像有點(diǎn)難度。

師：著名的數(shù)學(xué)家笛卡兒小時(shí)候也遇到了這樣的難題，我們來看看他是怎么解決的：

有一天，笛卡兒生病在床，心中卻在思考著數(shù)學(xué)問題：如何把數(shù)和點(diǎn)聯(lián)系起來？突然看見屋頂角上有一只蜘蛛，拉著絲垂下來，一會(huì)兒工夫，又慢慢地順著絲，爬了上去，在上邊左右拉絲?？戳恕爸┲搿钡谋硌?，笛卡兒思路突然豁然開朗，能不能用兩面墻的交線來確定位置呢？于是，他畫了兩條互相垂直的數(shù)軸，并在這個(gè)區(qū)域畫上很多的交線，這就是笛卡兒的平面坐標(biāo)系。（見圖2）

師：我們就可以用橫軸來表示“時(shí)間/時(shí)”，用縱軸來表示“路程/千米”。

生：在坐標(biāo)圖中用一個(gè)點(diǎn)表示是兩個(gè)數(shù)量。

師：把表格里的所有對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)都用點(diǎn)表示出來。（見圖3）你發(fā)現(xiàn)了什么？

師：是的。每個(gè)點(diǎn)都是表示一組對(duì)應(yīng)的數(shù)量，而且它們的比值都是80。

我們說，數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)不僅需要量的積累，還需要型的感悟。在以上的學(xué)習(xí)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生從一維到二維，從“算術(shù)知識(shí)”逐漸向“代數(shù)知識(shí)”的轉(zhuǎn)變，這是學(xué)生從理解“數(shù)量”到探索“關(guān)系”的明顯轉(zhuǎn)折點(diǎn)。從“數(shù)”到“型”的轉(zhuǎn)變，其實(shí)已經(jīng)可以讓學(xué)生感受到從“靜態(tài)”到“動(dòng)態(tài)”的轉(zhuǎn)變，為數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。

二、比較分析，在“離散”到“連續(xù)”的遞進(jìn)中理解正比例圖像的模型

師：同學(xué)們，這里的點(diǎn)如果連起來，想象一下，會(huì)怎樣？（見圖4）

（生畫一畫）

師：這些點(diǎn)都在一條直線上，我們來找這條直線上的任意一個(gè)點(diǎn)，你能來說說它表示的含義嗎？

師（小結(jié)）：我們從圖中可以發(fā)現(xiàn)，這些點(diǎn)都在這條直線上，而且，我們讀圖還可以發(fā)現(xiàn)：時(shí)間增加，路程也隨之增加，這個(gè)和表格中呈現(xiàn)出來的規(guī)律是一樣的。在這樣的圖上，我們既能看出每個(gè)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)，又能看出時(shí)間與路程這兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量的變化是有規(guī)律的，更能感受到每一個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的路程與時(shí)間的比值是固定不變的。所以，我們可以確認(rèn)這是正比例圖像。

師：回顧一下我們是怎樣形成這幅正比例圖像的。

生：橫軸找點(diǎn)畫垂線，縱軸找點(diǎn)畫垂線，相交描點(diǎn)再連線。

師：在這幅正比例圖像中，除了能找到6組對(duì)應(yīng)的數(shù)量，還能找到其他對(duì)應(yīng)的數(shù)量嗎？比如，汽車1.5小時(shí)行駛了多少千米？你是怎么看出來的？

生：我先在橫軸上找到1.5小時(shí)的位置，再在直線上縱向找出所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并且從這個(gè)點(diǎn)出發(fā)，橫向找到縱軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，是120千米。

師：那么280千米呢？（行駛280千米需要多少小時(shí)？）

生：可以先在縱軸上找到280千米，橫向找到直線上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，然后從這個(gè)點(diǎn)出發(fā)，縱向找到橫軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，是3.5小時(shí)。

師：還能這樣繼續(xù)找下去嗎？可以找到多少個(gè)？

生：無數(shù)個(gè)。

師（小結(jié)）：確實(shí)，這條直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，能找到無數(shù)組和它們相對(duì)應(yīng)的數(shù)量以及他們之間的關(guān)系。

師：既然如此，你們能把下面兩張表格里的數(shù)量（見表2、表3）畫在下面坐標(biāo)圖中（見圖5、圖6）嗎？

師：看了這兩張圖，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：前面表格中每一組數(shù)據(jù)圖的每一個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在一條直線上，后面表格中每組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，不在一條直線上。

師：這說明什么？

生：前面表格中的路程和時(shí)間成正比例，后面表格中的路程和時(shí)間不成正比例。

師：你為什么這么說？他們不都是一個(gè)量在變化，另一個(gè)量也隨之變化嗎？

生：比值不一定。（計(jì)算，確認(rèn)，見表4）

師（小結(jié)）：兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，比值一定，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上，路程和時(shí)間成正比例;比值不一定，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不在一條直線上，路程和時(shí)間不成正比例。

師：如何修改，這兩個(gè)量能成正比例。（見表5）

師：我們把三張正比例圖像合并在一起（見圖7），你又能發(fā)現(xiàn)什么？

生1：①號(hào)、②號(hào)、③號(hào)都是直線，行駛路程隨著時(shí)間變化而變化，而且行駛路程與時(shí)間相對(duì)應(yīng)的比的比值是一定的，路程和時(shí)間都成正比例。

生2：三條直線，③號(hào)比①號(hào)平一些，②號(hào)比①號(hào)陡一些。

師：這是什么原因呢？

生：比值不同，其實(shí)就是速度不同，比值越大，速度越快，直線就越陡;比值越小，速度越慢，直線就越平。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，所謂數(shù)學(xué)模型，就是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，去抽象地、概括地表征所研究對(duì)象的主要特征關(guān)系所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。模型思想和數(shù)形結(jié)合思想是用函數(shù)研究變化問題過程的共同思想，函數(shù)建模的實(shí)質(zhì)是建立刻畫運(yùn)動(dòng)變化過程的數(shù)學(xué)模型。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，教師通過笛卡兒的故事引出直角坐標(biāo)系，讓學(xué)生感受像數(shù)學(xué)家那樣探究數(shù)學(xué)知識(shí)的過程，再通過引導(dǎo)學(xué)生描點(diǎn)，在坐標(biāo)系中找每一組數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，連點(diǎn)成線，讓學(xué)生形象地體驗(yàn)到，在圖像模型中，我們不僅可以看到每一個(gè)點(diǎn)都表示一組對(duì)應(yīng)的數(shù)量，而且因?yàn)槊恳唤M數(shù)量的比值是一定的，所以，所有的點(diǎn)都在一條直線上。隨著數(shù)學(xué)表象不斷豐富，學(xué)生便能夠開展自主探究，在這樣的探究過程中其數(shù)學(xué)建模思想也將得到發(fā)展。

三、讀圖應(yīng)用，在由“型”到“數(shù)”的具象中深化正比例圖像模型

師：剛才，我們?cè)谧鴺?biāo)系中畫出了三組成正比例關(guān)系的量，并且知道了直線上每一個(gè)點(diǎn)都有一組路程和時(shí)間與其一一對(duì)應(yīng)，那么，你能根據(jù)圖像，找出相對(duì)應(yīng)的量嗎？

（學(xué)生找出后，互相核查）

師：這樣的直線除了可以表示路程與時(shí)間成正比例，你覺得還可以表示怎樣的兩個(gè)成正比例的量。

生1：總價(jià)與彩帶的米數(shù)。

生2：打字的總量與時(shí)間。

生3：朗讀的字?jǐn)?shù)與時(shí)間。

生4：總價(jià)與足球的個(gè)數(shù)。

生5：總價(jià)與象棋的盒數(shù)。

師：請(qǐng)你選擇一組成正比例的量，并且列舉數(shù)據(jù)，在坐標(biāo)系中畫出圖像。

（學(xué)生畫圖像，交流）

任何一個(gè)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)都需要數(shù)學(xué)的語言符號(hào)的支撐。語言符號(hào)作為數(shù)學(xué)語言的表象符號(hào)，它本身就是人類理性思維的產(chǎn)物，間接性、抽象性、概括性等都是它的特點(diǎn)。當(dāng)學(xué)生心中的正比例函數(shù)的圖像模型已經(jīng)建立時(shí)，教師需要做的就是引導(dǎo)學(xué)生如何讀圖，如何用數(shù)學(xué)的語言來解讀正比例圖像模型。

通過畫正比例函數(shù)圖像，學(xué)生就可以看出圖上的每一個(gè)點(diǎn)都表示路程和時(shí)間的對(duì)應(yīng)數(shù)量。教師進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考，符合這一變化規(guī)律的表示路程和時(shí)間的對(duì)應(yīng)點(diǎn)一定在圖像上。所以，根據(jù)圖像，我們就可以估算任何一個(gè)時(shí)間對(duì)應(yīng)的路程，或者根據(jù)路程就可以估算任何路程對(duì)應(yīng)的時(shí)間。這樣，根據(jù)正比例圖像進(jìn)行估算的實(shí)踐應(yīng)用，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步感悟在數(shù)量關(guān)系中自變量與因變量對(duì)應(yīng)的思想。

學(xué)生透過圖像看到了成正比例的圖像的本質(zhì)，并用語言表述。這是學(xué)生構(gòu)建函數(shù)圖像模型過程中最高層次的理解。

綜上所述，數(shù)學(xué)建模不僅是一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法和策略，還是一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思想。借助操作，教師可以讓學(xué)生在將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型的過程中，進(jìn)行解釋與應(yīng)用。教學(xué)中，教師一定要引導(dǎo)學(xué)生從“境”到“型”，再引導(dǎo)學(xué)生從“型”到“境”，在這樣真實(shí)的探究過程中，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“境”和“型”的自由轉(zhuǎn)換。