關(guān)于韋達定理法中直線方程的設(shè)法探究

苗媛媛

摘 要：直線與圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)中最重要的模塊之一，歷年的高考題都會出現(xiàn)它的身影，但是從實際教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，在解決直線與圓錐曲線相交問題時很多同學(xué)不會觀察，解題思路不清晰，計算能力弱等方面的原因?qū)е聛G分.本文針對高中數(shù)學(xué)中直線與圓錐曲線相交時運用韋達定理中直線方程的設(shè)法進行探究，希望可以提高相應(yīng)的教學(xué)效果.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);韋達定理;直線與圓錐曲線相交;直線設(shè)法

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）10-0030-03

平面解析幾何的本質(zhì)，是通過用代數(shù)方法來解決平面幾何問題.高中數(shù)學(xué)中，直線與圓錐曲線的相交問題是解析幾何模塊中的難點，也是新高考中對學(xué)生高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，深受師生的關(guān)注.在處理直線與圓錐曲線問題時，通常有三種方法：韋達定理法、點差法和幾何法.在解析幾何教學(xué)過程中，教師需要注意在多種解題方法中培養(yǎng)學(xué)生自主總結(jié)運算技巧和優(yōu)化總結(jié)方法的能力.

1 韋達定理法中直線方程設(shè)法介紹

直線是平面幾何中最基本的幾何圖形之一，直線方程有多種不同的形式.在解決直線與圓錐曲線的相交問題時，我們通過設(shè)直線方程，將直線與圓錐曲線聯(lián)立得到一個關(guān)于x或y的一元二次方程，然后由韋達定理得兩者之間關(guān)系，然后將已知和所求都轉(zhuǎn)化為坐標關(guān)系進行求解弦長、面積、向量等問題.這種方法，稱之為韋達定理法.其中，選取直線方程的形式至關(guān)重要，直線方程選取不當會直接導(dǎo)致計算過程繁瑣，甚至結(jié)果出錯.因此，在使用直線方程時，要注意不同直線方程中的限制條件：如點斜式方程的限制條件是直線必須存在斜率;截距式方程的限制條件是兩截距都存在且不為零;兩點式的限制條件是直線不與坐標軸垂直等.但是在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時通常會看到直線方程的另外一種形式，即直線的斜率不為零時，可設(shè)直線方程為x-x0=m（y-y0）（m≠0）.這樣不僅可以避免討論直線斜率是否存在，而且有時還可以大大地簡化計算量.

我們首先來研究一下直線方程x-x0=m（y-y0）（m≠0）的特征：（1）該直線表示過定點（x0，y0）的直線，且直線的斜率為1m（m≠0）;（2）該直線方程能表示與x軸垂直的直線，此時x=x0（m=0），但不能表示與y軸垂直的直線;（3）當定點位于x軸上時，即定點為（n，0）時，方程可表示為x-n=m（y-0），即x=my+n（m≠0），此時n為橫截距.

2 例舉不同的直線方程設(shè)法在圓錐曲線教學(xué)中的應(yīng)用

對于直線方程x-x0=m（y-y0）（m≠0），多數(shù)同學(xué)剛接觸時還是比較陌生，如何選取合適的直線方程形式，下面我們通過例題來研究直線x-x0=m（y-y0）（m≠0）在解決直線與圓錐曲線相關(guān)問題中的應(yīng)用.

例1 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的長軸長為4，且短軸的兩個端點與右焦點是一個等邊三角形的三個頂點，O為坐標原點.過橢圓的右焦點F作直線l與橢圓相交于A，B兩點.求△OAB面積的最大值，并求此時直線l的方程.

解法1 由題知，橢圓方程為x24+y2=1.

設(shè)A，B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2）.因為直線l與橢圓交于A，B兩點且構(gòu)成三角形，所以直線l的斜率不為零.

設(shè)直線AB：x=my+3，

聯(lián)立直線AB與橢圓方程，得

x=my+3，x2+4y2=4，消去x，得

（m2+4）y2+23my-1=0.

其中Δ=（23m）2+4（m2+4）>0恒成立.

由韋達定理，得

y1+y2=-23mm2+4，y1·y2=-1m2+4.

此時S△OAB=12·OF·y1-y2

=32（y1+y2）2-4y1y2

=23·m2+1m2+4.

令t=m2+1≥1，

所以

m2=t2-1.

所以S△OAB=23tt2+3=23t+3t≤1（當且僅當m=±2時取“=”）.

綜上，當直線方程為x±2y-3=0時，三角形的面積取得最大值1.

解法1使用的直線方程是x-x0=m（y-y0）（m≠0），對于本題容易發(fā)現(xiàn)直線的斜率不為零，且與橢圓聯(lián)立后是消x留y，最后再利用橢圓中三角形面積公式求得最終結(jié)果.實際批改過程中，雖然有知識積累，大多數(shù)同學(xué)們還是在使用直線的縱截距方程，下將此方法解答過程詳解呈現(xiàn)出來，與解法1進行比較.

解法2 ①當斜率不存在時，不妨設(shè)A（3，12），B（3，-12）.

所以AB=1，S△OAB=12×3×1=32.

②當斜率k存在時，設(shè)A，B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），設(shè)直線AB方程為：y=k（x-3），聯(lián)立直線AB與橢圓方程，得y=k（x-3），x2+4y2=4.

化簡，得

（1+4k2）x2-83k2x+12k2-4=0.

其中Δ=（83k2）2-4（1+4k2）（12k2-4）>0.

由韋達定理，得

x1+x2=83k21+4k2，x1·x2=12k2-41+4k2.

所以AB=1+k2·（x1+x2）2-4x1·x2

=41+k2·1+k2（1+4k2）2.

點O到直線AB的距離d=3k1+k2.

所以S△OAB=12·AB·d

=23·k·1+k2（1+4k2）2? =23k4+k216k4+8k2+1.

令t=1k2（t>0），則

S△OAB=23·1+tt2+8t+16

=23·t+1（t+1）2+6（t+1）+9

=23·1（t+1）+6+9t+1.

又t+1>1，故t+1+9t+1≥2（t+1）·9t+1=6，當且僅當t+1=9t+1取“=”，也即k=±22時取“=”.此時△OAB的面積取得最大值1，直線l的方程為x±2y-3=0.

3 思考解答過程，總結(jié)不同直線方程設(shè)法的選取優(yōu)勢

雖然兩種方法均可以將本題解決，但是用時和計算量上存在較大差異.雖然看起來解法2的設(shè)法更常規(guī)，帶來的是求三角形面積中參數(shù)k增多，運算處理繁瑣.而解法1抓住直線過x軸上的點，這樣不僅簡單，而且在假設(shè)直線方程時就可以把所有與橢圓相交的直線全部包括進去，做到了“設(shè)線”的完備性.同時，在下面表示三角形面積過程中使得運算都相當簡潔.因此，對于解析幾何中的各種基本方程要弄清內(nèi)涵、挖掘本質(zhì)、靈活運用.通過比較這兩種方法，我們能夠發(fā)現(xiàn)選擇設(shè)哪種直線方程主要取決于以下幾個方面：

（1）要設(shè)的直線斜率若存在就考慮直線的縱截距方程，若斜率不為零就考慮直線的橫截距方程;

（2）與圓錐曲線相交的直線方程所過定點是否在x軸，若是，則設(shè)為x=my+n的形式;

（3）在最終目標求弦長、面積、向量問題時是需要消x還是y.

高考數(shù)學(xué)中，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是經(jīng)久不衰的熱門考點，而這其中最大的難點在于：不知從何做起;計算量繁瑣“永無止盡”.要突破這兩點就要膽大心細、腳踏實地去細細品味例題，總結(jié)出自己的思路與思想.在使用韋達定理法設(shè)直線方程時，學(xué)生習(xí)慣于使用直線的斜率截距式方程.但直線方程y-y0=k（x-x0）不能表示與x軸垂直的直線，故在答題時，往往需要對斜率進行討論.但若設(shè)直線方程為x-x0=m（y-y0）（m≠0），則能有效地避免計算上的繁瑣.并且此方法在解決直線與圓錐曲線的相交問題中更能表現(xiàn)出超強的優(yōu)越性.不同程度的學(xué)生因為計算能力，知識綜合能力，熟練程度的不同，對不同方法的理解也不一樣，我們應(yīng)該在教學(xué)初期讓學(xué)生有自己對于題目的感受，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用.

參考文獻：

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[責(zé)任編輯：李 璟]