電科專業(yè)“數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)”課程教學(xué)反思

江 貝，陳 雪

（1.湖北大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430062；2.深圳大學(xué)微納光電子學(xué)研究院，廣東 深圳 518060）

引言

數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)這門課程在電科專業(yè)一般是作為一門專業(yè)選修課程來開展，課時(shí)較短，為32 學(xué)時(shí)。這門課程連接了基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程和高級(jí)專業(yè)物理課程，在基礎(chǔ)課程和專業(yè)課程之間承擔(dān)了融合銜接的作用?？梢哉f，數(shù)學(xué)物理方法這門課程是大學(xué)生由基礎(chǔ)課轉(zhuǎn)向?qū)I(yè)課程的必經(jīng)之路。所以說這門課程是一門很基礎(chǔ)但又很重要的課程，也是一門學(xué)生難學(xué)老師難講的課程。課堂第一章就會(huì)給學(xué)生用牛頓第二定律推導(dǎo)出波動(dòng)方程，推導(dǎo)所需知識(shí)點(diǎn)并不難，但是過程有些煩瑣，那么老師想要給學(xué)生講清楚方程怎么來的就必須要做公式推導(dǎo)，做公式推導(dǎo)學(xué)生就容易覺得枯燥，容易走神。這門課程由于他的課程內(nèi)容決定了課程從頭到尾基本是被推導(dǎo)公式貫徹始終的，而且，最終得到的數(shù)學(xué)解一般是一個(gè)比較復(fù)雜的積分加求和的形式，難以和物理的現(xiàn)象進(jìn)行聯(lián)系融合，這也是為什么說這門課程老師難講。那么學(xué)生難學(xué)則體現(xiàn)在了課程的割裂性上，單獨(dú)作為一門課程，與專業(yè)課程割裂開來，學(xué)生不明白學(xué)習(xí)的意義，同時(shí)，由于推導(dǎo)過多，難以集中注意力，課堂中容易走神。其次雖然課程解決的是物理問題，但是面對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言，過于抽象，不能很好地與物理現(xiàn)象相互聯(lián)系。加上課程時(shí)長(zhǎng)短，內(nèi)容多，使得老師和學(xué)生疲于教與學(xué)，課堂上的互動(dòng)交流比較少，這就導(dǎo)致了這門基礎(chǔ)課程被公認(rèn)為本科階段教和學(xué)難度比較高的課程之一。

1 反思

筆者既作為學(xué)生學(xué)習(xí)過這門課程，也作為教師教授過這門課程，在課程的教學(xué)過程中，總結(jié)了四點(diǎn)教與學(xué)的反思。第一點(diǎn)反思是，第一章的小細(xì)節(jié)需要講授得十分透徹，才能讓學(xué)生更好地理解，后續(xù)學(xué)習(xí)才能夠跟上。

對(duì)于電科專業(yè)的學(xué)生，課程內(nèi)容精簡(jiǎn)了許多，核心內(nèi)容為三類方程，四種解法。三類方程指的是波動(dòng)方程，輸運(yùn)方程和穩(wěn)定方程。這三類方程已經(jīng)可以覆蓋大部分學(xué)生有可能會(huì)遇到的物理問題，足夠工科學(xué)生后期專業(yè)課上使用。定解問題是由泛定方程和定解條件組成的，相對(duì)于泛定方程的一般規(guī)律性，定解條件的具體細(xì)節(jié)對(duì)學(xué)生而言是一大挑戰(zhàn)。在具體問題具體分析的過程中，學(xué)生并不能很好地掌握定解條件。對(duì)某一具體的物理問題寫出定解條件是最能體現(xiàn)出學(xué)生的物理和數(shù)學(xué)功底的。定解問題主要討論初始條件和邊界條件。初始條件數(shù)量對(duì)應(yīng)用于泛定方程中未知函數(shù)u 對(duì)時(shí)間t 的微分階數(shù)。時(shí)間t 的n階方程需要n 個(gè)條件，對(duì)應(yīng)到不同的方程中不同物理量會(huì)有不同的物理含義。對(duì)應(yīng)到輸運(yùn)方程中，描述的就是初始的溫度或者濃度。此處需要特別強(qiáng)調(diào)的地方在于，對(duì)于穩(wěn)定場(chǎng)問題，因?yàn)槲锢砹坎⒉浑S時(shí)間變化，所以穩(wěn)態(tài)方程中不含有時(shí)間參數(shù)，所以是沒有初始問題的。這個(gè)地方需要多對(duì)學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)調(diào)，經(jīng)常在講完這一章后，依然會(huì)有同學(xué)對(duì)這個(gè)問題犯迷糊。初始條件必須可以描繪整個(gè)系統(tǒng)初始的狀態(tài)，這句話強(qiáng)調(diào)了兩點(diǎn)。第一點(diǎn)是初始，也就是說初始條件描繪的是t=0 時(shí)的系統(tǒng)狀態(tài)，這個(gè)地方需要結(jié)合定解問題中位置和時(shí)間的取值范圍來講解。例如，對(duì)于這樣一個(gè)定解問題：一彈性桿原長(zhǎng)為l，一端固定，另一端拉離平衡位置b 而靜止，放手任其振動(dòng)，請(qǐng)給出定解問題。這個(gè)題目的定解問題會(huì)寫成這樣：

那么初始條件強(qiáng)調(diào)一個(gè)初始，也就是t=0，那么什么時(shí)候t 開始計(jì)時(shí)就是一個(gè)很重要的問題了。這個(gè)時(shí)間開始計(jì)時(shí)的時(shí)候往往都是課堂講解中最容易忽略的點(diǎn)，也是最容易使學(xué)生犯迷糊的地方。教師在常年的課堂講解中由于十分熟悉時(shí)間t 的概念，再加上這個(gè)實(shí)際是一個(gè)十分小的細(xì)節(jié)，很容易在課堂講解中忽略過去，直接告訴學(xué)生放手任其振動(dòng)，這時(shí)t 開始計(jì)時(shí)，但是對(duì)于學(xué)生而言，這些知識(shí)點(diǎn)都是他們第一次學(xué)習(xí)，這個(gè)小細(xì)節(jié)的忽略很容易造成學(xué)生對(duì)初始條件的不理解，不明白為什么是放手開始計(jì)時(shí)，如果換個(gè)題干，又該是什么時(shí)候開始計(jì)時(shí)呢？因此，這里需要和學(xué)生講解清楚，時(shí)間t 是屬于泛定方程的一個(gè)自變量，所以時(shí)間開始計(jì)算的時(shí)候應(yīng)該是物理現(xiàn)象可以用波動(dòng)方程描述的時(shí)候，波動(dòng)方程是用來描述振動(dòng)的，那么在這個(gè)例題中，這根桿在放手后才開始振動(dòng)，也就是說，此時(shí)波動(dòng)方程對(duì)這個(gè)桿的振動(dòng)才是適用的，所以在放手的同時(shí)，屬于波動(dòng)方程的自變量的時(shí)間t 開始計(jì)時(shí)，在放手之前通通屬于t=0 的時(shí)刻。這也是為什么在定解問題中泛定方程后會(huì)跟一個(gè)t>0 的時(shí)間范圍，意思就是滿足泛定方程時(shí)，開始計(jì)時(shí)的意思，初始時(shí)刻是不滿足泛定方程的。第二點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的是整個(gè)系統(tǒng)。這里也是很多同學(xué)會(huì)在給出初始條件時(shí)容易犯的錯(cuò)誤。很多同學(xué)在給出初始條件時(shí)非常容易將位置參數(shù)也一起固定下來。實(shí)際上初始條件只能固定時(shí)間t=0。初始條件強(qiáng)調(diào)要描繪整個(gè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)，不僅要描述系統(tǒng)內(nèi)部，也要描述到系統(tǒng)的邊界，這一點(diǎn)在例題定解問題的初始條件后的位置參數(shù)的范圍是有所體現(xiàn)的。很明顯，例題中的初始條件給出了t=0 時(shí)刻，系統(tǒng)任意位置的某一點(diǎn)的位移和速度，桿有多長(zhǎng)，x 可以取多大，包括邊界0 和l。對(duì)于邊界條件也是一樣，邊界條件只確定了一個(gè)變量，即位置，并沒有確定時(shí)間，此時(shí)的時(shí)間取值范圍要求是在t>0 時(shí)刻，也就是說邊界條件描述的是桿在振動(dòng)時(shí)的邊界情況。但是在課堂教學(xué)和書本中，側(cè)重點(diǎn)一般都會(huì)傾向于泛定方程和定解條件，方程和定解條件的取值范圍并不會(huì)進(jìn)行解釋，取值范圍出現(xiàn)在書本中實(shí)際上是十分突兀的，在定解問題講完后就直接出現(xiàn)了，十分容易被忽略。實(shí)際上，這些對(duì)應(yīng)方程和條件的取值范圍對(duì)學(xué)生理解定解問題是有很大幫助的，它能夠很好地幫助學(xué)生掌握和理解初始條件和邊界條件的注意要點(diǎn)。課堂中，通過將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，寫成定解問題，再將定解問題轉(zhuǎn)化為語(yǔ)言描述的過程中，對(duì)應(yīng)的取值范圍描述都是十分重要的，對(duì)學(xué)生理解物理語(yǔ)言和數(shù)學(xué)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化是有巨大的幫助作用的。所以在定解問題講完后，教師需要細(xì)致地講解一下方程組中出現(xiàn)的取值范圍，將整個(gè)第一章定解問題的注意要點(diǎn)都串聯(lián)起來，來幫助學(xué)生理解。

在邊界問題上需要給學(xué)生講清楚外法線向量的問題。很多同學(xué)在這一部分會(huì)搞不清楚什么是外法線向量。法線就是垂直于面的直線，有方向之分。對(duì)于立體表面而言，法線是有方向的：一般來說，由立體的內(nèi)部指向外部的是法線正方向即外法線，反過來的是法線負(fù)方向。很多同學(xué)沒有辦法正確區(qū)分這個(gè)由里指向外，尤其是在后期的格林函數(shù)法中，因?yàn)檩o助函數(shù)V 不能使r 等于0，所以要在區(qū)域中，以M0 為中心，r 為半徑挖去這個(gè)球（三維）或者圓（二維）區(qū)域。此時(shí)，一個(gè)實(shí)心的區(qū)域就變成了一個(gè)腔體，這個(gè)時(shí)候雖然那個(gè)挖去的區(qū)域在視覺上是在區(qū)域內(nèi)的，但是這個(gè)空腔內(nèi)部的空心區(qū)域?qū)嶋H是屬于外界區(qū)域了，定解問題和輔助函數(shù)共同有意義的區(qū)域是- 。其他區(qū)域全部都屬于外界區(qū)域，只有- 區(qū)域是里，此時(shí)空腔內(nèi)部的邊界上的外法線向量應(yīng)該是由- 區(qū)域的里指向空心區(qū)域的外，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言應(yīng)該是-r。這個(gè)地方是許多學(xué)生會(huì)出現(xiàn)疑問的地方，需要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)清楚。

第二點(diǎn)反思是，不要將課堂時(shí)間浪費(fèi)在給學(xué)生補(bǔ)基礎(chǔ)上。例如，邊界條件，分別為第一類邊界條件，第二類邊界條件和第三類邊界條件。第一類邊界條件是未知函數(shù)在邊界的值，第二類邊界條件是未知函數(shù)法向?qū)?shù)在邊界的值，第三類邊界條件是未知函數(shù)在邊界的值和法向?qū)?shù)在邊界的值的線性組合。在邊界條件的提出中，會(huì)用到物理方面的知識(shí)，如在弦振動(dòng)問題中，弦的一端與彈簧相連，這時(shí)就需要用到胡克定律，教師在課堂教學(xué)時(shí)需要將胡克定律的定義和公式給學(xué)生寫出來。課堂教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)該集中于數(shù)理方程上，課程時(shí)間寶貴，不能浪費(fèi)時(shí)間到不屬于此門課程的知識(shí)點(diǎn)中，此刻就需要教師在課前做好準(zhǔn)備工作，在需要的時(shí)候直接將物理知識(shí)點(diǎn)拿出來讓學(xué)生使用。再比如二階常微分方程的通解，實(shí)際上學(xué)生在高等數(shù)學(xué)中是有學(xué)過對(duì)應(yīng)的課程的，但是由于不經(jīng)常練習(xí)，需要用時(shí)，大部分學(xué)生都處于不記得的狀態(tài)，所以這個(gè)時(shí)候要提前給出通解，讓學(xué)生記下來。二階常微分方程的通解，可以說是貫穿著整個(gè)分離變量法的。

第三點(diǎn)反思是推導(dǎo)在課堂教學(xué)中需要掌握一個(gè)度。推導(dǎo)是理解這門課程的重要過程，公式推導(dǎo)在數(shù)理方程課程中是必不可少的，但是推導(dǎo)過多又容易導(dǎo)致教學(xué)的效果變差，所以推導(dǎo)在教學(xué)過程中的比例需要教師自行掌握，要做到張弛有度。如果因?yàn)橥茖?dǎo)枯燥就減少推導(dǎo)內(nèi)容，很容易導(dǎo)致課程內(nèi)容銜接不上，學(xué)生無法理解。比如第一章的數(shù)理方程的引出，如果不進(jìn)行那一系列的推導(dǎo)，那么方程的提出將會(huì)受到很大的質(zhì)疑，無法與之前的基礎(chǔ)銜接上。學(xué)生根本無法理解為什么波動(dòng)方程是一個(gè)2 階偏微分方程。但是如果全是推導(dǎo)，在學(xué)生沒有提前復(fù)習(xí)的前提下，大部分學(xué)生是無法跟上老師推導(dǎo)的步驟的。而且一個(gè)完整的知識(shí)點(diǎn)的推導(dǎo)實(shí)際上是十分煩瑣且步驟很多的，一般是可以寫滿整塊黑板的，這種情況下，跟不上的學(xué)生是很容易決定跳過步驟直接背結(jié)果，但是跳過不聽的結(jié)果就是那個(gè)結(jié)果他看不懂，不知道公式里面的符號(hào)到底代表什么，連帶著后續(xù)的求解他也跟不上。這樣子很容易打擊學(xué)生上課學(xué)習(xí)的熱情和信心，所以老師在教學(xué)中要靈活安排推導(dǎo)在課堂教學(xué)之中的比例，要控制在能給學(xué)生都帶到，又不會(huì)讓學(xué)生覺得太難而放棄，這就需要用到教師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。同時(shí)教師也要學(xué)會(huì)適當(dāng)?shù)亟o學(xué)生留白，上課不能講得過分細(xì)致，面面俱到很容易導(dǎo)致學(xué)生沒有重點(diǎn)，失去主動(dòng)學(xué)習(xí)的自主能動(dòng)性。

第四點(diǎn)反思是課堂教學(xué)需要一些可視化的東西。課程名叫數(shù)學(xué)物理方程，說明這門課程屬于交叉學(xué)科，是數(shù)學(xué)和物理的一個(gè)結(jié)合課程。我們需要將物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為定解問題，然后求解得到數(shù)學(xué)結(jié)果，再將數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)化為物理意義。定解問題的解隨著邊界條件的改變而改變，而且寫出來一般會(huì)是比較復(fù)雜的形式。例如，行波法解決無限域的波動(dòng)問題時(shí)，答案實(shí)際上是兩個(gè)波動(dòng)方程相加，一個(gè)是左行波，一個(gè)是右行波。那么為了達(dá)到更好的課堂效

果，像這一類的數(shù)學(xué)解可以采用MATLAB，Mathematica或者COMSOL 等模擬軟件來進(jìn)行可視化展現(xiàn)，畢竟對(duì)于物理而言，圖像更能生動(dòng)形象地進(jìn)行物理結(jié)果的展示，數(shù)學(xué)物理方程解定解問題最終還是要回歸到解決物理問題上。通過改變定解條件，得到不同的解，通過圖像或者動(dòng)畫更直觀地表現(xiàn)出定解條件對(duì)物理問題的影響，可以讓學(xué)生對(duì)結(jié)果有一個(gè)直觀深刻的印象，能夠更好地將數(shù)學(xué)和物理結(jié)合起來。這就需要老師在課堂外多下功夫多花時(shí)間。

2 結(jié)語(yǔ)

本文通過對(duì)數(shù)學(xué)物理方法與特殊函數(shù)的教授和學(xué)習(xí)的回顧，總結(jié)了四點(diǎn)教學(xué)上的反思，希望通過這四點(diǎn)反思來達(dá)到更好的課程講授效果。當(dāng)然僅僅這四點(diǎn)教學(xué)反思還是不夠的，課堂講授效果實(shí)際上還可以進(jìn)一步提升。如何將這門課程講好，讓學(xué)生學(xué)懂將會(huì)是筆者今后一直努力的目標(biāo)。