總體最小二乘在沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)中的應(yīng)用研究

胡俊凱，馮杭華

（1.浙江華東測繪與工程安全技術(shù)有限公司，浙江 杭州 310014）

隨著3S等測繪科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，高精度的測量數(shù)據(jù)處理技術(shù)得到日益重視。考慮到誤差會不可避免地存在于觀測數(shù)據(jù)中，在復(fù)雜的觀測數(shù)據(jù)中得到高精度的模型估計參數(shù)是目前研究的難點[1]。測量平差的基本任務(wù)就是處理一系列帶有誤差的觀測值，求出未知參數(shù)的最優(yōu)估值，并評定參數(shù)精度[2]。對于Guass-Markov方程的求解，最小二乘法(least squares,LS)是一種經(jīng)典的方法。然而，在實際建模中，當(dāng)觀測向量包含誤差時，由觀測向量一次累加而形成的系數(shù)矩陣同樣包含誤差，如果再使用LS求解，計算出的未知參數(shù)是有偏差的[3]，全誤差模型(errors-in-variables,EIV)將觀測向量誤差和系數(shù)矩陣誤差納入誤差模型，其獨特的優(yōu)勢已經(jīng)引起大量學(xué)者的研究?？傮w最小二乘(total least squares,TLS)算法兼顧系觀測矩陣和系數(shù)矩陣的誤差，TLS解被證明具有漸進無偏性[4-6]。本文詳細論述了Guass-Markov方程的最小二乘和總體最小二乘解法，并利用路基沉降分析實例，具體分析了2種解法下的預(yù)測結(jié)果。

1 LS和TLS參數(shù)求解

1.1 最小二乘參數(shù)求解

Guass-Markov方程L=AX是測量中常用的觀測方程，作為經(jīng)典平差，其處理理論也較為成熟，若僅考慮觀測誤差的影響，其誤差方程為[7]：

1.2 總體最小二乘求解

最小二乘估計只能保證在某個方向上方差最小，而不能保證在整個方程中最優(yōu)。當(dāng)誤差方程系數(shù)矩陣中含有誤差時，直接采用LS方法得到的參數(shù)估值不再具有無偏性、方差最小的特性，為了得到最優(yōu)估值，需要采用顧及系數(shù)矩陣誤差的總體最小二乘方法。

最小二乘估計方法同總體最小二乘估計方法的最大區(qū)別是，總體最小二乘估計方法將系數(shù)矩陣作為未知量。全誤差EIV模型的思想可以歸納為：不僅白化微分方程中觀測向量L包含誤差eL，同時系數(shù)矩陣A同樣包含誤差EA[8]。Guass-Markov方程的EIV模型為[9]：

其隨機模型為

式中，vec(·)表示矩陣?yán)边\算；vec(EA)表示將改正項EA從左至右逐列拉直的向量；表示單位權(quán)中誤差；QL表示觀測向量協(xié)方差矩陣；QA表示系數(shù)協(xié)方差矩陣；QLA表示觀測向量同系數(shù)矩陣的誤差關(guān)系，且，一般情況下不考慮觀測向量同系數(shù)矩陣的誤差關(guān)系，即

求解上述方程求解可轉(zhuǎn)化為約束優(yōu)化問題：

約束條件：L+eL∈Range(A+eA)，式中‖·‖F(xiàn)是矩陣的Fronenius范數(shù)。

Euler-Lagrange逼近參數(shù)求解方法：

公式(4)可轉(zhuǎn)化為：

其誤差隨機模型為：

在上式中，符號?表示Kronecker-Zehfuss積，總體最小二乘的平差準(zhǔn)則為：

在上述模型中，方程中的參數(shù)個數(shù)不等于方程個數(shù)。為求解模型中未知參數(shù)X，需構(gòu)造Lagrange目標(biāo)函數(shù)：

式中，λ為維數(shù)為Lagrange因子；其中EA·X=(XT?In)·vec(EA)，對其求偏導(dǎo)可得：

在上述方程中，未知參數(shù)個數(shù)等于方程個數(shù)，方程具有唯一解。將公式11-12代入式(13)整理可以得：

因為原始方程為非線性方程，最為常用的方法為迭代法，具體解算過程如下：

步驟1：通過最小二乘方法計算出參數(shù)X的初值

步驟2：Lagrange因子λ。

該方法方差為：

則單位權(quán)方差的中誤差為

2 工程實例驗證

灰色理論對小樣本、非等間隔時間序列的處理有一定的優(yōu)勢，它能深入挖掘數(shù)據(jù)內(nèi)部隱含的信息，在路基沉降數(shù)據(jù)處理中具有良好的預(yù)測精度[10-12]。為比較灰色理論的最小二乘估計同總體最小二乘估計的預(yù)測精度，選用貴廣高鐵路基沉降數(shù)據(jù)進行分析。高速鐵路建設(shè)需嚴(yán)格控制工后沉降，路基沉降觀測是確保高速鐵路正常運營的重要部分。本高鐵路基沉降觀測項目應(yīng)業(yè)主要求，在鋪軌前6個月對路基進行沉降觀測。沉降數(shù)據(jù)取至路基沉降中后期，監(jiān)測儀器為TrimbleDi Ni03電子水準(zhǔn)儀，并選用配套的銦鋼精密條碼水準(zhǔn)尺，儀器標(biāo)稱精度符合要求，監(jiān)測標(biāo)準(zhǔn)為國家二等水準(zhǔn)要求，監(jiān)測點上使用沉降板進行覆蓋，沉降板埋設(shè)于基床底中心，并隨基床施工高度增加，接管連續(xù)觀測。本文以某沉降監(jiān)測點A為例進行沉降分析與評估，A點監(jiān)測周期是7 d，監(jiān)測時間為1 a，共獲得了52期觀測數(shù)據(jù)。圖1描述了A點本期沉降觀測值和總沉降量。在路基沉降評價體系中需要根據(jù)觀測數(shù)據(jù)做多種回歸曲線，當(dāng)曲線回歸的相關(guān)系數(shù)不低于0.92時，預(yù)測方程才可用于沉降預(yù)測。

圖1 A沉降點本期沉降觀測值和總沉降量變化圖

由圖1可知，A沉降點在前期下沉速率較快，后期趨于穩(wěn)定，具有飽和發(fā)展過程。受觀測條件的影響，觀測數(shù)據(jù)中會包含噪聲，因此，在路基沉降觀測后期，觀測值仍在不斷波動。在數(shù)據(jù)處理中，文章首先對前15期數(shù)據(jù)進行GM(1,1)模型，采用最小二乘和總體最小二乘估計方法分別求解模型未知參數(shù)，然后預(yù)測沉降觀測數(shù)據(jù)。前15期的沉降預(yù)測數(shù)據(jù)見表1。

由表1可知，隨著路基沉降值得增大，GM(1,1)的預(yù)測值同樣也增大，并且增大的幅度同路基沉降速率差不多，這說明GM(1,1)用于路基沉降預(yù)測是可行的，具有良好的預(yù)測精度。在GM(1,1)預(yù)測殘差中，GM(1,1)中LS估計最大殘差絕對值為1.064 mm，而GM(1,1)中TLS估計最大殘差絕對值為0.994 mm，小于GM(1,1)-LS估計；GM(1,1)-LS估計和GM(1,1)-TLS估計殘差平方和分別為3.602 mm2、3.305 mm2。這說明在此次沉降預(yù)測中，GM(1,1)-TLS估計的預(yù)測穩(wěn)定性高。于GM(1,1)-LS估計。圖2描繪了2種方法的殘差值具體變化。

表1 不同估計方法擬合數(shù)據(jù)精度對比

圖2 GM(1,1)-LS估計同GM(1,1)-TLS預(yù)測殘差對比圖

由圖2可知，GM(1,1)-LS估計和GM(1,1)-TLS估計都圍著零點上下波動，在前5期中，GM(1,1)-TLS偏離程度大于GM(1,1)-LS，但在后期預(yù)測中，預(yù)測精度明顯高于GM(1,1)-LS。由表1和圖2可知，GM(1,1)-TLS估計擬合預(yù)測精度要高于GM(1,1)-LS估計，采用TLS估計，預(yù)測穩(wěn)定，預(yù)測精度高。路基沉降各期預(yù)測值，如圖3所示。

由圖3可知，GM(1,1)-LS估計和GM(1,1)-TLS估計在后期都趨于穩(wěn)定，同路基先沉降速率加快，之后逐漸減慢，最后趨于穩(wěn)定的變化趨勢相符，這說明GM(1,1)預(yù)測方法可以應(yīng)用于路基沉降預(yù)測。在路基沉降后期階段，GM(1,1)-LS預(yù)測值同觀測值的偏離程度大于GM(1,1)-TLS預(yù)測值，這說明對GM(1,1)白化微分方程采用總體最小二乘估計預(yù)測精度高于最小二乘預(yù)測，因此，兼顧系數(shù)矩陣和觀測向量誤差的總體最小二乘估計方法有利于提高預(yù)測精度。綜上分析可知，GM(1,1)總體最小二乘估計方法預(yù)測穩(wěn)定，預(yù)測精度高，可以廣泛應(yīng)用于路基沉降預(yù)測。

圖3 GM(1,1)-LS，TLS估計方法預(yù)測數(shù)據(jù)對比圖

3 結(jié)語

總體最小二乘方法是最近出現(xiàn)的可以同時顧及系數(shù)矩陣誤差額觀測值誤差的一種數(shù)據(jù)處理方法，在信號處理、測量平差等領(lǐng)域得到了廣泛的研究和應(yīng)用。目前，總體最小二乘方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換、大地測量反演、工業(yè)測量、GPS數(shù)據(jù)處理、攝影測量、室內(nèi)定位、天文學(xué)等。通過路基沉降預(yù)測的實例，結(jié)果表明總體最小二乘算法在路基沉降預(yù)測中也有較好的應(yīng)用效果。