基于數(shù)據(jù)插值預(yù)測路基沉降及誤差分析

宋光浩

（1.河北省地質(zhì)礦產(chǎn)勘查開發(fā)局第八地質(zhì)大隊，河北 秦皇島 066000）

沉降預(yù)測的常用方法是選取擬合模型，通過實測數(shù)據(jù)計算擬合參數(shù)，根據(jù)擬合參數(shù)預(yù)測未知點沉降狀態(tài)，這種預(yù)測方法計算快捷、原理簡單，但限制于擬合模型的特點，將已知數(shù)據(jù)代入模型中依然存在誤差，在預(yù)測已知點之間的沉降情況時效果通常不好[1-8]。數(shù)據(jù)插值法具有與已知點完全符合的特性，很多研究對插值法在沉降預(yù)測中的適用性展開了探討，李諄[9]提出一種基于三次樣條插值和灰色GM（1，1）模型的組合預(yù)測算法，通過三次樣條插值法處理原始非等間距數(shù)據(jù)，將其轉(zhuǎn)變?yōu)榈乳g距序列，繼而用傳統(tǒng)GM（1，1）模型進(jìn)行預(yù)測，克服了單一預(yù)測模型的局限性；王征博[10]建立基于分形插值的預(yù)測模型，并將此算法應(yīng)用于橋墩沉降數(shù)據(jù)的預(yù)測中；王彥之[11]分別采用三次樣條插值技術(shù)和1stOpt軟件進(jìn)行仿真插值，并對結(jié)果進(jìn)行比較。上述研究缺少對常用插值方法適用性的總結(jié)，尤其是在內(nèi)插預(yù)測中插值方法的優(yōu)劣比較，因此本文使用幾種數(shù)據(jù)插值方法進(jìn)行沉降預(yù)測研究，探討插值法在預(yù)測沉降中的適用性與精度，并與常見的2種擬合方法進(jìn)行對比[12-15]。

1 常用的插值法

設(shè)一組二維數(shù)據(jù)，自變量xi(i=0，1，2，3，…，n)，因變量yi(i=0，1，2，3，…，n)，插值函數(shù)為f(x)，其中n為已知數(shù)據(jù)的個數(shù)。

1）線性插值。線性插值表達(dá)形式比較簡單，其系數(shù)僅為一次，可以認(rèn)為是一次多項式插值法，其求解式如式（1）所示：

2）三次樣條插值。三次樣條插值中，將區(qū)間[a，b]分成n個區(qū)間，[(x0，x1)，(x1，x2)，…，，(xn-1，xn)]，共有n+1個點，其中區(qū)間[a，b]的端點即為x0和xn，三次樣條方程滿足以下3個條件：在每個小區(qū)間上f(x)都是一個三次方程；f(x)與已知數(shù)據(jù)相符合；f(x)曲線光滑，f(x)與其一次二次導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的；則此三次方程可以組成如式（2）所示的形式：

4）三次多項式插值。三次插值多項式的一般形式如式（4）所示：

式中，αi為待定系數(shù)，可由2個端點的函數(shù)值及其導(dǎo)數(shù)值列4個方程聯(lián)立求解。

5）拉格朗日插值。拉格朗日插值多項式的基本形式如式（5）所示：

式中，lk(xj)表示自變量x取第j個時的第k個插值基函數(shù)，具體形式如式（6）所示：

6）牛頓插值。牛頓插值法公式如式（7）所示：

式中，f(x0，x1)表示差商，例如，

2 路基沉降案例驗證

路基沉降案例使用文獻(xiàn)[16]的實測數(shù)據(jù)。圖中可知路基沉降共有380 d，其中0~120 d為路基的填筑期，120~220 d為恒載期，220~380 d為穩(wěn)定期，本次計算選用K12+505樁號的斷面進(jìn)行計算，由20 d起始，每間隔40 d作為已知數(shù)據(jù)，則已知數(shù)據(jù)由20 d至380 d共計10組，將空缺的9組數(shù)據(jù)作為模型內(nèi)插的已知數(shù)據(jù)，分別使用線性插值、三次樣條插值、分段三次埃爾米特插值、三次多項式插值、拉格朗日插值和牛頓插值法進(jìn)行內(nèi)插預(yù)測。已知數(shù)據(jù)如表1所示，其中備注為已知點的是作為已知數(shù)據(jù)的10組點，備注未知點式作為待內(nèi)插數(shù)據(jù)的9組點。

表1 已知數(shù)據(jù)

根據(jù)已知點對待定點進(jìn)行插值，列舉成果時略過10組已知點，僅比較9組未知點，為方便比較，將文獻(xiàn)[16]中的GM（1,1）與Verhulst的成果也合并列出，內(nèi)插成果表如表2所示。

表2 內(nèi)插成果對比/mm

由上表可知，插值法內(nèi)插成果明顯優(yōu)于擬合方法的擬合成果，內(nèi)插成果與真值相差維持在3 mm以內(nèi)，但擬合成果在許多時間上與真值出入較大，例如第40 d。幾種內(nèi)插方法中，拉格朗日與牛頓插值成果在小數(shù)點后兩位相同，其實際計算結(jié)果并不相同，但其區(qū)別很小，在小數(shù)點后10位才有所差別，在這種近似的誤差下，考慮到牛頓插值法對新引入數(shù)據(jù)的差商接續(xù)性，應(yīng)當(dāng)舍棄拉格朗日插值的預(yù)測方法（拉格朗日插值對新數(shù)據(jù)沒有接續(xù)性，加入新數(shù)據(jù)就需要重新計算參數(shù)，牛頓插值法由于存在差商表，繼續(xù)沿表計算即可獲得加入新數(shù)據(jù)的內(nèi)插結(jié)果）；線性插值精度較于其他幾種內(nèi)插方法精度明顯偏低，三次樣條插值、分段三次埃爾米特插值及三次多項式插值精度區(qū)別不大，因此引入平均相對誤差進(jìn)一步評價其精度。相對誤差成果如表3所示，其中最后一行為平均相對誤差；表3成果曲線如圖1所示，其中縱軸為相對誤差，橫軸為天數(shù)。

圖1 相對誤差曲線

表3 平均相對誤差對比

由表3可見，內(nèi)插方法中三次樣條插值精度最高，平距相對誤差僅為0.55%，分段三次埃爾米特插值、拉格朗日插值與牛頓插值精度相對，均為0.61%~0.62%，三次多項式插值與線性插值精度最低（三次多項式插值本質(zhì)也是線性插值），說明線性插值方法不能很好地內(nèi)插預(yù)測沉降曲線；兩種擬合方法精度偏低，其平均相對誤差與內(nèi)插方法相差一個數(shù)量級。

3 結(jié)語

本文由實測數(shù)據(jù)等間隔分割得到實驗數(shù)據(jù)，對比了常用的數(shù)據(jù)內(nèi)插方法及文獻(xiàn)中的擬合成果，結(jié)果表明，數(shù)據(jù)內(nèi)插方法能夠比較準(zhǔn)確地預(yù)測路基沉降值，其中三次樣條插值精度最高，分段三次埃爾米特插值、牛頓插值和拉格朗日插值精度次之；數(shù)據(jù)內(nèi)插方法具備與已知點相符合的特性，其預(yù)測精度遠(yuǎn)高于常規(guī)擬合方法。推薦在實際應(yīng)用中高精度需要時選擇三次樣條插值，當(dāng)工程尚未結(jié)束時，考慮到數(shù)據(jù)的持續(xù)使用應(yīng)當(dāng)選擇牛頓插值或埃爾米特插值。

本文僅對比了數(shù)據(jù)內(nèi)插時的預(yù)測情況，驗證了內(nèi)插方法對比擬合方法具備的優(yōu)勢；后續(xù)研究將在有關(guān)數(shù)據(jù)外插方法與擬合模型的對比方面展開，當(dāng)數(shù)據(jù)外插時，插值法不再具備與已知數(shù)據(jù)符合的優(yōu)勢（外插數(shù)據(jù)在已知范圍以外），其與擬合方法的應(yīng)用取舍制需進(jìn)一步探討。