QMB125球籠溝道磨床幾何誤差建模與敏感度分析

王 勇，劉 洋，朱嘉敏，金 平

（1.合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽 合肥 230009；2.安徽力成機(jī)械裝備公司，安徽 池州 247100）

1 引言

機(jī)床的加工精度受諸多因素誤差源的影響，例如幾何誤差，熱誤差，運(yùn)動(dòng)誤差等等。其中幾何誤差作為機(jī)床加工精度的重要組成部分，機(jī)床的綜合空間幾何誤差又受其各個(gè)零部件誤差的影響，最后由被加工的工件上體現(xiàn)[1]，通過(guò)準(zhǔn)確建立起機(jī)床的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，可以反映出零部件精度與機(jī)床整體加工精度的關(guān)系。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外的許多研究學(xué)者在機(jī)床的精度設(shè)計(jì)方面做了相應(yīng)的研究也取得了一些成果。如采用多體系統(tǒng)理論及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行機(jī)床空間誤差建模[2]。但這些方法需要明確分析出所有的幾何誤差源且相應(yīng)的計(jì)算過(guò)程較為繁瑣，文獻(xiàn)[3]通過(guò)多體系統(tǒng)理論及敏感度分析來(lái)識(shí)別出相應(yīng)機(jī)床關(guān)鍵性的幾何誤差源，但在分析中忽略了作為幾何誤差源的機(jī)床組件之間垂直度的幾何誤差因素，針對(duì)這一現(xiàn)象文中以QMB125球籠溝道磨床為對(duì)象，建立起磨床整體幾何誤差傳遞模型，除機(jī)床部件幾何誤差外還考慮了磨床重要組件的垂直度誤差，通過(guò)計(jì)算出各幾何誤差源的誤差敏感度系數(shù)[4-5]用于指導(dǎo)機(jī)床精度設(shè)計(jì)。

2 QMB125球籠溝道磨床及其誤差分析

2.1 QMB125球籠溝道磨床

QMB125球籠溝道磨床適用于球籠鐘形殼弧球道粗精磨，其長(zhǎng)、寬、高尺寸分別為2.20m、1.80m、2.15m。QMB124球籠溝道磨床結(jié)構(gòu)，如圖1所示。該磨床主要有床身，擺動(dòng)回轉(zhuǎn)臺(tái)，主軸箱，砂輪及定位夾具組成。機(jī)床工作時(shí)，砂輪會(huì)隨著主軸箱在滑臺(tái)上進(jìn)給到給定位置，同時(shí)擺動(dòng)回轉(zhuǎn)臺(tái)會(huì)以固定角度來(lái)回旋轉(zhuǎn)，每當(dāng)加工完一個(gè)弧面，定位夾具旋轉(zhuǎn)一個(gè)工位繼續(xù)加工直至加工完成。

圖1 QMB125球籠溝道磨床Fig.1 QMB125 Cage Cage Grinder

2.2 QMB125球籠溝道磨床組件坐標(biāo)系及其誤差項(xiàng)

構(gòu)成機(jī)床的每一個(gè)零部件在其空間狀態(tài)包含6個(gè)方向自由度誤差，通過(guò)分析磨床的結(jié)構(gòu)及其相應(yīng)組件之間運(yùn)動(dòng)關(guān)系，總結(jié)出27項(xiàng)影響加工精度較大的幾何誤差項(xiàng)，其中包含3個(gè)垂直度誤差項(xiàng)，機(jī)床各組件坐標(biāo)系示意圖，如圖2所示。其中機(jī)床固定坐標(biāo)系與床身坐標(biāo)系重合，刀具坐標(biāo)系，工件坐標(biāo)系，主軸坐標(biāo)系和進(jìn)給坐標(biāo)系，其中機(jī)床進(jìn)給運(yùn)動(dòng)可以分解為沿著機(jī)床固定坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸方向運(yùn)動(dòng)。用δ和ε分別表示位移和旋轉(zhuǎn)偏差，機(jī)床主要的誤差項(xiàng)，如圖3所示。

圖2 機(jī)床組件坐標(biāo)系Fig.2 Machine Component Coordinate System

圖3 機(jī)床主要誤差項(xiàng)Fig.3 Machine Tool Main Error Term

3 基于多體系統(tǒng)理論的精度建模

3.1 多體系統(tǒng)理論

多體系統(tǒng)理論根據(jù)各組件之間的聯(lián)系利用低序體陣列的方式描述出各拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，然后根據(jù)齊次坐標(biāo)變換法，并結(jié)合各體之間的位姿狀態(tài)精確描述出各體實(shí)際情況的位姿狀態(tài)表達(dá)式[6]。

3.2 磨床拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的作用即為用來(lái)描述多體系統(tǒng)中各體之間的關(guān)聯(lián)性，在多體系統(tǒng)中，每一個(gè)構(gòu)成拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的作為一個(gè)單元體，根據(jù)休斯頓方法特點(diǎn)運(yùn)用低序體陣列來(lái)描述這些拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[7]。具體方法為首先選擇一個(gè)單元體作為初始參考體記為0，然后以逐步遠(yuǎn)離參考體的方向依次標(biāo)記每一個(gè)單元體1，2，3等等。以QMB125球籠溝道磨床建立的多體系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖，如圖4所示。

圖4 磨床拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖Fig.4 Topology of the Grinding Machine

該多體系統(tǒng)存在兩個(gè)分支，分別為床身到刀具（0→1→2）和床身到工件（0→3→4→5）。低序體陣列計(jì)算式為：

式中：L—低序體算子；

n—階數(shù)；

K、S—體的序號(hào)。

當(dāng)Ln(K)=S時(shí)，稱S為K的n階低序體或者K為S的n階高序體。根據(jù)式（1）可以列出磨床的低序體陣列及相鄰低序體的自由度、如表1、表2所示。

表1 QMB125球籠溝道磨床低序體陣列Tab.1 QMB125 Ball Cage Channel Grinding Machine Low-Order Body Array

表2 QMB125球籠溝道磨床相鄰低序體自由度Tab.2 QMB125 Ball Cage Channel Grinding Machine Adjacent Low-Order Body Degrees of Freedom

3.3 剛體的運(yùn)動(dòng)特征變換矩陣

在機(jī)床結(jié)構(gòu)中，任何組件的空間運(yùn)動(dòng)可以看成為相對(duì)參考原點(diǎn)的平移運(yùn)動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的合成，其中剛體的運(yùn)動(dòng)又分為理想狀態(tài)和實(shí)際狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)。

當(dāng)一個(gè)物體相對(duì)于另一物體在沿著x，y，z三軸方向均存在平移運(yùn)動(dòng)時(shí)，其坐標(biāo)變換為：

上式（2）即為理想狀態(tài)下的平移運(yùn)動(dòng)空間特征矩陣。

同樣當(dāng)一個(gè)物體相對(duì)于另一物體在沿著x，y，z三軸方向均存在轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)且考慮到α，β，γ均很小時(shí)，其坐標(biāo)變換為：

綜上所述六項(xiàng)誤差引起的綜合變換矩陣為：

除此之外，考慮到加工精度的精確性，將垂直度誤差項(xiàng)也考慮在內(nèi)，機(jī)床組件在x，y，z三軸方向存在的垂直度誤差可由變換矩陣如下分別表示：

式中：εxy、εxz、εyz—機(jī)床組件在x y、xz、yz三個(gè)方向存在的垂直度誤差。

綜上，剛體的空間狀態(tài)矩陣可由相鄰低序體經(jīng)過(guò)空間變換矩陣來(lái)描述，即：

式中：T KS—高序體K與相鄰低序體S之間空間變換矩陣；

P Ki—體K中任意一點(diǎn)Ki在體K中的位置坐標(biāo)；

—點(diǎn)Ki在體S中的坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)。

空間狀態(tài)變換矩陣之間可以相互傳遞，若Q為S的相鄰低序體，兩者間的空間變換矩陣為T QS，那么點(diǎn)Ki在體Q坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)為：

3.4 QMB125球籠溝道磨床幾何誤差綜合建模

根據(jù)磨床的結(jié)構(gòu)和各組件之間的關(guān)系從而在相鄰序體間建立起空間變換矩陣，QMB125球籠溝道磨床各相鄰序體之間的特征矩陣，如表3所示。

表3 QMB125球籠溝道磨床各相鄰序體之間的特征矩陣Tab.3 Characteristic Matrix Between Adjacent Sequences of QMB125 Ball Cage Channel Grinder

表4中p和s分別代表靜止?fàn)顟B(tài)特征矩陣和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)特征矩陣。相鄰體之間實(shí)際運(yùn)動(dòng)特征矩陣為：

由拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖可以知道基于多體系統(tǒng)理論的QMB125球籠溝道磨床存在兩個(gè)分支：分別是床身→砂輪分支和床身→工件分支。機(jī)床的加工精度最終由刀具成形點(diǎn)與工件成形點(diǎn)之間的相對(duì)位移來(lái)決定[8]，實(shí)際加工中，由于各種誤差的存在，刀具成形點(diǎn)和工件成形點(diǎn)不可避免的存在相對(duì)位移，從而造成加工誤差[9]，我們將工件成形點(diǎn)在其坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)設(shè)為P w=，刀具成形點(diǎn)在其坐標(biāo)系中位置坐標(biāo)設(shè)為P t=

從而QMB125球籠溝道磨床實(shí)際成形點(diǎn)與理想刀具成型點(diǎn)之間的空間綜合位置誤差為：

4 基于敏感度分析的誤差源識(shí)別

根據(jù)QMB125球籠溝道磨床的精度模型，利用矩陣微分化的思想建立起該磨床誤差敏感度分析的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)各個(gè)誤差源對(duì)空間總加工誤差影響程度的不同，識(shí)別出影響加工精度較大的各個(gè)幾何誤差源，從而對(duì)改進(jìn)機(jī)床結(jié)構(gòu)，提高加工精度提供了有效理論依據(jù)。

4.1 系統(tǒng)敏感度模型的建立方法

目前在工程計(jì)算領(lǐng)域系統(tǒng)敏感度模型的確定使用最多還是敏感度函數(shù)法，其具體方法為用變量表示系統(tǒng)的性能參數(shù)，用變量表示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)化，y與a存在如下關(guān)系

當(dāng)參數(shù)取初值a0，y的值記為y0，當(dāng)參數(shù)變化為a i=a0i+Δa i時(shí)，相應(yīng)的系統(tǒng)性能參數(shù)變?yōu)椋?/p>

則由于參數(shù)變化而造成的系統(tǒng)誤差為：

假設(shè)在a的初值a0處，y i對(duì)存在k階偏導(dǎo)數(shù)，利用多變量函數(shù)微分法及泰勒公式同時(shí)省去余項(xiàng)可得：

實(shí)際情況中，由于高階導(dǎo)數(shù)的求解比較復(fù)雜，適用性不高，故多采用一階敏感度函數(shù)分析，上式中k取1時(shí)所得到的一階偏導(dǎo)數(shù)即為一階敏感度函數(shù)，若F(x)可導(dǎo)，則F(x)的一階敏感度函數(shù)表達(dá)式為：

機(jī)床空間總誤差E與各幾何誤差項(xiàng)Δe i的一階敏感度函數(shù)為：

根據(jù)式（17）可以建立起一般的機(jī)床誤差數(shù)學(xué)模型，該模型可以顯性的表示為：

式中：L—所有幾何誤差項(xiàng)構(gòu)成的誤差矢量；

P w—被加工件在其坐標(biāo)系中的矢量；

U—機(jī)床各運(yùn)動(dòng)軸間位置矢量；

U w—工件位置矢量；

U t—刀具位置矢量。

根據(jù)式（18）可知F為連續(xù)可微函數(shù)，將其按一階泰勒級(jí)數(shù)展開并省略其高階項(xiàng)可得：

其中由于上式中的P w，U，U w，U t在實(shí)際分析中均可設(shè)為定值，固只考慮幾何誤差部分上式可簡(jiǎn)化為：

因此可得出機(jī)床誤差敏感度模型為：

4.2 QMB125球籠溝道磨床誤差項(xiàng)敏感度分析

機(jī)床的加工精度由其零部件各項(xiàng)幾何誤差的空間耦合而成，而各項(xiàng)幾何誤差對(duì)加工精度的影響程度不同，需要對(duì)其進(jìn)行敏感度分析，從而找出相對(duì)加工精度影響較大的幾何誤差項(xiàng)。

針對(duì)這里分析的QMB125球籠溝道磨床，考慮到其各部分組件相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系得到共27項(xiàng)幾何誤差項(xiàng)。根據(jù)上式（22）可以定義出機(jī)床空間總誤差E對(duì)機(jī)床各個(gè)幾何誤差項(xiàng)Δe i的一階偏導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值為該磨床加工中心的誤差敏感度：

以εx01為例，求解其誤差敏感度有：

具體的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以通過(guò)雙頻激光干涉儀器測(cè)量得到，雙頻激光干涉儀是通過(guò)計(jì)算頻率差的變化值來(lái)測(cè)量位移[10]，因其適應(yīng)外界環(huán)境因素較強(qiáng)，故可通過(guò)雙頻激光干涉儀測(cè)量該機(jī)床的直線誤差，旋轉(zhuǎn)誤差，垂直度誤差得到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，具體測(cè)量方法，如圖5所示。直線度誤差δx01、δy01、δz01等直線度誤差通過(guò)激光干涉儀在相應(yīng)的軸段上直接測(cè)量得到；旋轉(zhuǎn)誤差可以通過(guò)6條直線的定位誤差和直線運(yùn)動(dòng)誤差繼而聯(lián)系方程組求解［11］。

圖5 旋轉(zhuǎn)誤差的測(cè)量Fig.5 Measurement of Rotation Error

將測(cè)端分別在y=0、z=0；y=y0；z=0、y=0、z=z0三處直線沿1，2，3運(yùn)動(dòng)。測(cè)量直線上各點(diǎn)的直線度誤差，則直線度誤差δx01、δy01、δz01和旋轉(zhuǎn)誤差εx01、εy01、εz01存在以下關(guān)系：

因此可以聯(lián)立方程組求解相應(yīng)的各個(gè)旋轉(zhuǎn)誤差項(xiàng)；利用對(duì)角線法測(cè)量垂直度誤差，如圖6所示。

圖6 垂直度誤差的測(cè)量Fig.6 Measurement of the Verticality Error

控制滑座先后沿著AC，BD運(yùn)動(dòng)，l1和l2設(shè)為兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度，滑座在沿著兩條對(duì)角線運(yùn)動(dòng)時(shí)，在x，y方向的行程記為D x，D z，則在沿著兩條對(duì)角線運(yùn)動(dòng)時(shí)的位移差[12]為：

因而垂直度誤差：

通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量誤差數(shù)據(jù)，角誤差和線誤差結(jié)果在0.01左右，垂直度誤差在0.005°左右，考慮到機(jī)床允許幾何誤差值范圍不超過(guò)0.015，在滿足機(jī)床加工精度需求的前提下在下述計(jì)算中統(tǒng)一取磨床6方向自由度誤差值為0.01，三方向垂直度誤差值為0.005°。

分別將27項(xiàng)幾何誤差代入上式中計(jì)算得到x，y，z三方向敏感度分析情況，如表4、圖7～圖9所示。

圖7 E x方向上敏感度系數(shù)Fig.7 Sensitivity Coefficient in the Direction of E x

圖9 E z方向上敏感度系數(shù)Fig.9 Sensitivity Coefficient in the Direction of E z

表4 QMB125幾何誤差源敏感度分析表Tab.4 Sensitivity Analysis Table of QMB125 Geometric Error Source

由上圖6～圖8分析可得出如下結(jié)論：

圖8 E y方向上敏感度系數(shù)Fig.8 Sensitivity Coefficient in the Direction of E y

磨床加工的主要相對(duì)位置誤差主要存在于：

（1）床身與擺動(dòng)回轉(zhuǎn)臺(tái)之間，并且敏感度系數(shù)較大的是在繞z軸的相對(duì)角位移誤差。為減小該項(xiàng)誤差，可在機(jī)床設(shè)計(jì)時(shí)著重提高床身與擺動(dòng)回轉(zhuǎn)臺(tái)之間的連接穩(wěn)定性，避免其在z方向上的旋轉(zhuǎn)擺動(dòng)影響加工誤差。

（2）砂輪與主軸箱之間，并且敏感度系數(shù)較大的是在繞x軸的相對(duì)角位移誤差。為減小該項(xiàng)誤差，可在機(jī)床設(shè)計(jì)中著重優(yōu)化主軸箱與刀具間的緊固裝置，避免其在加工中由于砂輪的x方向旋轉(zhuǎn)振動(dòng)影響加工誤差。

5 結(jié)論

幾何誤差建模與敏感度分析是機(jī)床精度設(shè)計(jì)中的核心內(nèi)容之一，QMB125數(shù)控磨床為研究對(duì)象，基于多體系統(tǒng)理論，通過(guò)低序體陣列來(lái)描述磨床的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，建立起機(jī)床的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，對(duì)磨床的27項(xiàng)幾何誤差源進(jìn)行誤差取樣，同時(shí)利用矩陣微分法通過(guò)計(jì)算與分析誤差敏感度系數(shù)，對(duì)影響加工精度因素的重要度進(jìn)行篩選，從而有效識(shí)別出磨床關(guān)鍵性幾何誤差源，為合理經(jīng)濟(jì)的提高機(jī)床精度設(shè)計(jì)提供理論參考。