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    Stewart型六自由度并聯(lián)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)分析及仿真

    2022-04-27 06:17:02李海濤
    機(jī)械設(shè)計(jì)與制造 2022年3期
    關(guān)鍵詞:并聯(lián)坐標(biāo)系軌跡

    李海濤,馬 軍

    (陜西科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,陜西 西安 710021)

    1 引言

    并聯(lián)機(jī)器人,與串聯(lián)機(jī)器人相比,具有閉鏈約束是并聯(lián)機(jī)器人在結(jié)構(gòu)方面最大特點(diǎn),不僅抵消了誤差累積效應(yīng),且運(yùn)動(dòng)慣量低、負(fù)載能力強(qiáng)、剛度大,使并聯(lián)機(jī)器人成為潛在的高速度、高精度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)。六自由度平臺(tái)實(shí)物[1],如圖1所示。其結(jié)構(gòu),如圖2所示

    圖1 六自由度機(jī)械平臺(tái)實(shí)物圖Fig.1 Physical Drawing of 6-DOF Mechanical Platform

    圖2 機(jī)械平臺(tái)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structural Drawing of Mechanical Platform

    六自由度并聯(lián)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的空間解析正解的求解一直是一大難點(diǎn),至今仍不完善。當(dāng)下,并聯(lián)機(jī)器人正解常用解析法和數(shù)值法。文獻(xiàn)[2]只是對(duì)正解方法和現(xiàn)狀及原因做了簡(jiǎn)單的描述;文獻(xiàn)[3-8]等提出的求解方法存在適用性差、計(jì)算復(fù)雜、效率低、仿真模型不完整等缺點(diǎn)。文獻(xiàn)[9]采用雙鏈交叉算子的遺傳算法較精確地控制并聯(lián)機(jī)器人,但其實(shí)時(shí)性不強(qiáng),不能達(dá)到快速準(zhǔn)確的效果;文獻(xiàn)[10]采用粒子群算法求解正解,但較復(fù)雜,很難快速得到結(jié)果。

    六自由度并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)仿真,很多研究人員用的是AD‐MAS、Solidworks、UG等[11],但有建模復(fù)雜、運(yùn)動(dòng)參數(shù)調(diào)整不靈活等缺點(diǎn)。其次,MATALB自帶的Stewart仿真模型內(nèi)部系統(tǒng)設(shè)計(jì)復(fù)雜,運(yùn)算有延遲。

    鑒于此,采用隱函數(shù)圖解法編寫MATALB程序,進(jìn)而快速解算平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解,能在1s內(nèi)解算出結(jié)果,并且對(duì)比計(jì)算誤差僅在0.05%內(nèi)。又通過(guò)建立MATLAB∕SimMechanics模型進(jìn)行實(shí)例模擬,結(jié)果與預(yù)設(shè)軌跡基本吻合,進(jìn)一步驗(yàn)證了方法的正確性與可靠性,同時(shí)有助于對(duì)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)實(shí)時(shí)控制。

    2 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模與求解

    六自由度并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析包含坐標(biāo)變換及位姿正反解。

    2.1 移動(dòng)坐標(biāo)變換

    高度不變時(shí),上平臺(tái)從初始位置沿直線向任意方向平行移動(dòng)到某一個(gè)位置時(shí)六根支桿的長(zhǎng)度隨位移變化的情況。

    設(shè)分別沿X、Y、Z軸平移r、q、s,則平移后

    2.1.1 高度不變,已知移動(dòng)的中心點(diǎn)求桿長(zhǎng)—反解

    (1)建系:以固定平臺(tái)的中心為原點(diǎn),所在面為X O Y面,由右手定則Z軸向上。設(shè)定兩個(gè)距離近的萬(wàn)向節(jié)之間的夾角為θA,下固定平臺(tái)的半徑為R,上平臺(tái)的半徑為r。

    (2)固定平臺(tái)的6個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)空間坐標(biāo)分別為:

    (3)假定平臺(tái)高度為h,為便于建系,設(shè)定上下平臺(tái)連接的兩個(gè)萬(wàn)向節(jié)夾角為30°,用AutoCAD畫出上下平臺(tái)俯視圖,如圖3所示。對(duì)于上面的平臺(tái)的6個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)的空間坐標(biāo)分別為:

    圖3 上下平臺(tái)俯視圖Fig.3 Top View of Upper and Lower Platform

    (4)當(dāng)h不變及下平臺(tái)固定(下平臺(tái)固定中心坐標(biāo)為O A(0,0,0),上平臺(tái)原中心坐標(biāo)為O B(0,0,h))時(shí),上平臺(tái)水平向任意方向移動(dòng),如圖4所示。假設(shè)移至空間坐標(biāo)點(diǎn)O1(x0,y0,h),則方 向 向 量已 知,且 移 動(dòng) 距 離 為已 知 ,則且平移方向的夾角為

    圖4 平臺(tái)移動(dòng)圖Fig.4 Platform Mobility

    對(duì)于B1點(diǎn),設(shè)B'1(x1,y1,h),則x1=0+Ssin?,y1=-r+Scos?,h不變。故,

    (6)為避免公式推算繁瑣,利用MATLAB編程對(duì)實(shí)例進(jìn)行數(shù)值求解。編寫function函數(shù),theta_A=pi∕7,theta_B=pi∕7,h=15,R=20,r=10,x0=1,y0=0時(shí),L1=18.8921,L2=19.6445,L3=19.9897,L4=20.6488,L5=19.5517,L6=20.6766。

    2.1.2 高度不變,已知桿長(zhǎng)求移動(dòng)的中心點(diǎn)—正解

    利用MATLAB中的隱函數(shù)符號(hào)變量計(jì)算,但收斂速度慢,故修改solve的誤差限,用2.1.1中的桿長(zhǎng),求得中心坐標(biāo),如圖5所示。并對(duì)比正反解數(shù)據(jù),如表1所示。

    圖5 位置逆解隱函數(shù)圖Fig.5 Implicit Function Graph of Inverse Position Solution

    表1 正解精確度Tab.1 Precision of Positive Solution

    數(shù)據(jù)分析:在表1正反解結(jié)果對(duì)比中,由于計(jì)算數(shù)據(jù)保留精度的影響,保留4位小數(shù)得出的誤差僅在0.05%內(nèi),說(shuō)明方法可行,求解結(jié)果準(zhǔn)確度高。

    2.2 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換

    上平臺(tái)在初始狀態(tài)下與下平臺(tái)平行,描述在保持上平臺(tái)初始中心位置不變的情況下,向任意方向傾斜某一角度,此時(shí)六根支桿的長(zhǎng)度隨傾角變化的情況。

    畫出同一坐標(biāo)系中的原始坐標(biāo)和旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo),如圖6所示。

    圖6 坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)Fig.6 Coordinate Rotation

    繞Z軸旋轉(zhuǎn):原始坐標(biāo)為XOY,繞Z軸旋轉(zhuǎn)γ度得到坐標(biāo)系X'O Y'。Q'為坐標(biāo)變換Q對(duì)應(yīng)的點(diǎn),即Q'=R Z,γQ,則

    同時(shí),坐標(biāo)系繞X軸旋轉(zhuǎn)角度α的變換矩陣為:

    坐標(biāo)系繞Y軸旋轉(zhuǎn)角度β的變換矩陣為:

    故總坐標(biāo)系變換矩陣為:

    2.3 復(fù)合姿態(tài)

    復(fù)合姿態(tài)包含坐標(biāo)軸方向的運(yùn)動(dòng)、繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)及通過(guò)某一指定路徑實(shí)現(xiàn)該姿態(tài)。

    復(fù)合運(yùn)動(dòng)變換=旋轉(zhuǎn)矩陣+平移矩陣=R[x0,y0,z0]T+T,式中:T=[XT,Y T,ZT]T,XT,YT,Z T分別是沿X、Y、Z軸移動(dòng)距離。

    3 運(yùn)動(dòng)控制與MATLAB∕SimMechanics仿真

    SimMechanics擁有一系列的模塊庫(kù),機(jī)械模型和仿真工具。故采用科學(xué)計(jì)算軟件MATLAB中Simulink的SimMechanics對(duì)并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真。機(jī)器人仿真系統(tǒng)原理圖,如圖7所示。

    3.1 建立機(jī)械系統(tǒng)模型

    3D模型最終可視化動(dòng)畫化效果圖,如圖8所示??梢詮牟煌慕嵌瓤刂剖髽?biāo)進(jìn)行查看平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)。桿伸縮量結(jié)算模塊圖,如圖9所示。編寫function函數(shù)leg_length.m計(jì)算。其中,軌跡規(guī)劃部分,如圖10所示,軌跡規(guī)劃作為輸入,輸出為桿伸縮量。用Goto模塊(圖9)和From模塊(圖12)代替信號(hào)連接線。

    圖8 MATLAB仿真三維模型可視化Fig.8 Visualization of 3D in MATLAB Simulation

    圖9 桿伸縮量結(jié)算模塊Fig.9 Rod Expansion Settlement Module

    圖10 軌跡規(guī)劃器Fig.10 Trajectory Planner

    3.2 執(zhí)行機(jī)構(gòu)模型

    建立平臺(tái)與支鏈之間的機(jī)械關(guān)系,如圖11所示。上下平臺(tái)的參數(shù)通過(guò)編制m文件設(shè)置計(jì)算得出,并在CS1至CS6設(shè)定參數(shù)。運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的坐標(biāo)檢測(cè)傳感器用Body Sensor模塊,將其連接到剛體的附加輸出端,用以檢測(cè)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位置、速度等信息,并且可后接示波器顯示出來(lái)。Env模塊定義環(huán)境參數(shù)。

    圖11 執(zhí)行機(jī)構(gòu)Simulink模塊總圖Fig.11 General Drawing of Simulink Module of Actuator

    以桿4為例,桿件4支鏈模型,如圖12所示。上下桿用Body模塊表示為實(shí)體,Revolute模塊為轉(zhuǎn)動(dòng)副,約束兩個(gè)實(shí)體間只有轉(zhuǎn)動(dòng)。Cylindrical模塊為柱面副,代表缸(介質(zhì)為液或電或氣)內(nèi)既可以轉(zhuǎn)動(dòng)又可以移動(dòng)。

    圖12 桿4支鏈模型連接圖Fig.12 Connection Diagram of Rod 4 Branch Chain Model

    其中,S輸入模塊,如圖13所示。驅(qū)動(dòng)器Joint Actuator驅(qū)動(dòng)桿運(yùn)動(dòng)。

    圖13 S輸入驅(qū)動(dòng)模塊圖Fig.13 Input Driver Module Diagram

    3.3 數(shù)據(jù)模擬實(shí)證

    MATLAB仿真獲得的Y坐標(biāo)隨時(shí)間的變化曲線,如圖14所示。軌跡輸入為斜坡函數(shù),得到的軌跡與預(yù)設(shè)軌跡相符,說(shuō)明仿真結(jié)果和解算方法較為理想,軌跡跟蹤效果良好,滿足預(yù)設(shè)系統(tǒng)要求。

    圖14 數(shù)據(jù)實(shí)例模擬Fig.14 Data Instance Simulation

    4 結(jié)束語(yǔ)

    主要對(duì)Stewart型六自由度并聯(lián)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)正解研究,首先建立了運(yùn)動(dòng)平臺(tái)空間運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型,提出一種新的正解方法——隱函數(shù)圖解法,通過(guò)MATALB程序求解可快速獲得末端執(zhí)行器的位姿序列。通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證,結(jié)果表明,該方法運(yùn)算效率更高,且誤差在0.05%內(nèi)。之后,建立了MATLAB∕Sim‐Mechanics模型,設(shè)計(jì)了平臺(tái)軌跡規(guī)劃(即軌跡的設(shè)定與約束),其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)參數(shù)均可實(shí)現(xiàn)靈活調(diào)控,同時(shí)又可實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)姿態(tài)可視化,具有Solidworks等軟件不可比擬的優(yōu)越性,經(jīng)過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證,其軌跡與預(yù)設(shè)軌跡的一致性非常好,與傳統(tǒng)方法相比,其對(duì)平臺(tái)的實(shí)時(shí)控制更加高效準(zhǔn)確。該項(xiàng)研究對(duì)于并聯(lián)機(jī)器人的正解求解提供了新的思路,有助于這一難點(diǎn)的進(jìn)一步突破,對(duì)Stewart型平臺(tái)運(yùn)動(dòng)分析與控制具有很大的指導(dǎo)意義。

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