基于時間序列的網(wǎng)絡(luò)失效模型*

嚴(yán)玉為 蔣沅 楊松青 余榮斌 洪成

(南昌航空大學(xué)信息工程學(xué)院,南昌 330063)

隨著網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的發(fā)展,靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)已不能清晰刻畫網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)過程.在現(xiàn)實網(wǎng)絡(luò)中,個體之間的交互隨時間而快速演化.這種網(wǎng)絡(luò)模式將時間與交互過程緊密聯(lián)系,能夠清晰刻畫節(jié)點的動態(tài)過程.因此,如何更好地基于時間序列刻畫網(wǎng)絡(luò)行為變化是現(xiàn)有級聯(lián)失效研究的重要問題.為了更好地研究該問題,本文提出一種基于時間序列的失效模型.通過隨機攻擊某時刻的節(jié)點,分析了時間、激活比例、連邊數(shù)、連接概率4 個參數(shù)對失效的影響并發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)相變現(xiàn)象.同時為驗證該模型的有效性與科學(xué)性,采用真實網(wǎng)絡(luò)進行研究.實驗表明,該模型兼顧時序以及傳播動力學(xué),具有較好的可行性,為解釋現(xiàn)實動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)傳播提供了參考.

1 引言

隨著網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的進步,網(wǎng)絡(luò)已成為分析人類活動與自然現(xiàn)象的有力工具[1?3].隨機網(wǎng)絡(luò)模型、小世界網(wǎng)絡(luò)模型和以偏好連接的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型都是靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型.這些靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型適合捕捉網(wǎng)絡(luò)中的基本特征,但前提網(wǎng)絡(luò)節(jié)點之間的連接是長期存在的[4].然而,在現(xiàn)實生活中,個體之間的連接快速演變,例如交通網(wǎng)絡(luò)、社交網(wǎng)絡(luò)、通信網(wǎng)絡(luò).有必要利用一種有效模型來描述這些動態(tài)過程.Perra等[5]首次通過定義活動勢構(gòu)建活動驅(qū)動模型.Liao等[6]基于動態(tài)網(wǎng)絡(luò)提出節(jié)點重要度排序方法.Wang等[7]發(fā)現(xiàn)動態(tài)網(wǎng)絡(luò)在整個網(wǎng)絡(luò)過程中所需的能量以及軌跡數(shù)量少.目前時序網(wǎng)絡(luò)是新興方向,但是研究意義重大,與靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)相比,時序網(wǎng)絡(luò)從時間角度考慮節(jié)點間的交互,更加精準(zhǔn)反映交互過程.因此基于時序網(wǎng)絡(luò)的研究已然成為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的重要研究部分.而網(wǎng)絡(luò)健壯性[8?15]也是網(wǎng)絡(luò)安全的核心課題之一.級聯(lián)故障是現(xiàn)實生活中的常見現(xiàn)象,例如電網(wǎng)崩潰、交通網(wǎng)絡(luò)的中斷以及疾病傳播.級聯(lián)失效的原因是由于網(wǎng)絡(luò)中的故障節(jié)點通過滲流作用將失效傳遞到周圍節(jié)點從而造成大規(guī)模破壞.因此,研究級聯(lián)失效能更好理解網(wǎng)絡(luò)失效,進而更好地控制級聯(lián)失效.

在過去的一段時間,研究者們提出多種級聯(lián)失效模型.Motter 等[16]提出線性容量模型(ML 模型),通過模擬連鎖故障對網(wǎng)絡(luò)連通性進行評估.實驗結(jié)果表明,通過移除較高負(fù)載的節(jié)點可以造成網(wǎng)絡(luò)全局級聯(lián)失效.Dou 等[17]針對ML 模型提出一種更為靈活的非線性負(fù)載容量模型,進而研究網(wǎng)絡(luò)成本與魯棒性之間的關(guān)系.實驗表明此模型更加符合現(xiàn)實生活中負(fù)載與容量之間的關(guān)系.Wang[18]將邊的初始負(fù)載定義為節(jié)點度的函數(shù),當(dāng)一條邊的負(fù)載超過其自身容量時,邊不會從網(wǎng)絡(luò)中移除,而是將自身額外的負(fù)載向周圍邊進行傳遞.Li 等[19]將節(jié)點或邊的負(fù)載定義為節(jié)點或邊的最短路徑數(shù)量.Wang 等[20]構(gòu)建一種負(fù)載局部重分配的級聯(lián)失效模型,并考察無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)失效.Liu 等[21]提出一種基于多變負(fù)載的負(fù)載分配策略.通過將節(jié)點剩余容量充分利用從而減少網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效.唐亮等[22]構(gòu)建一種故障概率傳播的級聯(lián)失效模型,節(jié)點故障概率隨故障次數(shù)的增加而減少,網(wǎng)絡(luò)失效規(guī)模減少.Duan 等[23]提出全局分配策略的級聯(lián)失效模型.Hao 等[24]提出過載級聯(lián)失效模型,并指出網(wǎng)絡(luò)節(jié)點超出一定容量后并不會失效而是處于過載狀態(tài).

綜上所述,現(xiàn)有級聯(lián)失效的研究停留在靜態(tài)網(wǎng)絡(luò),而在現(xiàn)實生活中,事件的發(fā)生與時間緊密聯(lián)系,無論是社交網(wǎng)絡(luò)還是交通網(wǎng)絡(luò),這些網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的接觸都是不斷變化.基于此,本文構(gòu)建具有時間戳的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),并以此探討時間參數(shù)T、激活比例pactive、連接邊數(shù)M、連接概率pcon對網(wǎng)絡(luò)的影響,此模型更加符合現(xiàn)實網(wǎng)絡(luò)中失效情況,對進一步研究級聯(lián)失效具有很強的實用性和現(xiàn)實意義.

2 時序網(wǎng)絡(luò)的失效模型

2.1 時序網(wǎng)絡(luò)建模

探討時序網(wǎng)絡(luò)下級聯(lián)失效的前提是對時序網(wǎng)絡(luò)進行建模.我們僅考慮網(wǎng)絡(luò)中邊的增加與移除,并不考慮節(jié)點的出現(xiàn)與消失,也就是說在時序網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點數(shù)目不變,連邊隨時間的推移而動態(tài)變化.將其表示為G=(vi,vj,t),其中vi和vj分別表示網(wǎng)絡(luò)源節(jié)點與目標(biāo)節(jié)點,t表示兩個節(jié)點之間的接觸時刻.將網(wǎng)絡(luò)各個接觸時刻當(dāng)成一個快照,即快照反映某一時刻發(fā)生的所有事件.在此基礎(chǔ)上,通過聚合所有快照進而得到時間聚合圖.其時序網(wǎng)絡(luò)快照以及時間聚合圖如圖1 所示.從圖1 可以看出,節(jié)點在不同時刻產(chǎn)生的交互次數(shù)以及交互對象不同.在時刻T=1 時(見圖1(a)),節(jié)點(vA,vB),(vA,vD),(vB,vD),(vD,vC)之間產(chǎn)生連邊.而在時刻T=2 時,節(jié)點vA不在與節(jié)點vB,vD產(chǎn)生交互,而當(dāng)時刻T=3 時,節(jié)點(vB,vD)之間不在交互,取而代之的則是(vB,vC)之間的交互.以此類推直到時間結(jié)束.

圖1 時序網(wǎng)絡(luò)圖 (a)T=1;(b) T=2;(c) T=3;(d) T=4;(e) T=5;(f) T=6;(g) T=AllFig.1.Sequential network:(a) T=1;(b) T=2;(c) T=3;(d) T=4;(e) T=5;(f) T=6;(g) T=All.

在時序網(wǎng)絡(luò)初始階段中,首先選取部分節(jié)點作為初始傳播節(jié)點.在時刻1 中(見圖2(a)),每個活躍節(jié)點以一定概率隨機向M個節(jié)點進行連接.隨后從時刻1 中激活的節(jié)點再次選取一定比例的節(jié)點作為第2 時刻的初始活躍節(jié)點(見圖2(b)).以此進行迭代,直到網(wǎng)絡(luò)達到時間最大值或網(wǎng)絡(luò)中沒有后繼節(jié)點進行傳播,其時序傳播示意如圖2 所示.

圖2 時序網(wǎng)絡(luò)傳播示意圖 (數(shù)字表示節(jié)點編號) (a) T=1;(b) T=2;(c) T=3Fig.2.Propagation of sequential network (number indicates the node number):(a) T=1;(b) T=2;(c) T=3.

2.2 時序網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效

級聯(lián)失效是指失效節(jié)點引發(fā)其他節(jié)點失效的一種級聯(lián)現(xiàn)象,常見于電力網(wǎng)絡(luò)、交通網(wǎng)絡(luò)等.為此在本文時序網(wǎng)絡(luò)中,通過隨機攻擊某時刻的節(jié)點,來觀察時序網(wǎng)絡(luò)的失效情況.同時,本文分別給出靜態(tài)圖和時序圖的級聯(lián)失效,以此顯示靜態(tài)圖與時序圖級聯(lián)失效差異,從而更好地說明研究時序下級聯(lián)失效的必要性.圖3(a)表示靜態(tài)網(wǎng)絡(luò),在靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)中,當(dāng)某節(jié)點失效時,失效節(jié)點會將自身周圍邊進行無差別斷開.例如當(dāng)節(jié)點vc遭受損壞時,節(jié)點vc會將自身邊進行無差別斷開,其網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淙鐖D3(b)所示.而在時序圖中網(wǎng)絡(luò)被賦予了時間概念,不僅要考慮節(jié)點失效,而且還要考慮節(jié)點的失效時刻.例如在圖3(c)中節(jié)點vA經(jīng)歷的時刻T=2,4,6 如果節(jié)點vA在時刻T=6 失效,那么只會影響節(jié)點vB,不影響節(jié)點vC,而當(dāng)節(jié)點vA在時刻T=2 失效,其節(jié)點vA在T≥2 時都會傳輸錯誤信息進而影響對應(yīng)時刻的節(jié)點.在靜態(tài)圖中,規(guī)定節(jié)點失效條件為受到攻擊或者脫離巨連通網(wǎng)絡(luò),如圖3(b)所示,當(dāng)節(jié)點vC受到攻擊時,網(wǎng)絡(luò)破碎成3 個簇結(jié)構(gòu)(A,B),(D,E),(F,G),通過選擇節(jié)點數(shù)最多的簇作為巨連通網(wǎng)絡(luò)(如果簇大小相同則隨機選擇),其他節(jié)點失效.而在時序圖中,節(jié)點并不會移除與增加,當(dāng)一個節(jié)點在某一時刻受攻擊時,該節(jié)點只會對以后時刻產(chǎn)生影響而不會影響之前時刻.同時,注意到在時序網(wǎng)絡(luò)中一個節(jié)點vI在某一時刻會同時接收一定數(shù)量的錯誤信息NTfail與正確信息NTcorrect,如圖3(c)所示,假設(shè)節(jié)點vC在時刻3 受到攻擊,則節(jié)點vG在時刻5 分別收到節(jié)點vF,vC,vE傳來的信息.其中節(jié)點vE受到節(jié)點vC的影響導(dǎo)致節(jié)點vE在時刻5 傳輸錯誤信息,而節(jié)點vF則不受節(jié)點vC影響,其傳輸正確信息.因此節(jié)點vG在時刻5 接受了1 個正確信息,2 個錯誤信息.其在時刻5 失效概率為pfail=0.64.因此,利用一個概率函數(shù)p進行模擬節(jié)點容錯能力:

圖3 靜態(tài)圖與時序網(wǎng)絡(luò)圖 (a) 靜態(tài)圖;(b) 靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)失效圖;(c) 時序圖Fig.3.Static diagram and sequential network diagram:(a) Static diagram;(b) static network failure diagram;(c) sequential network.

其中,NTcorrect表示節(jié)點在T時刻接受的正確信息數(shù)量;NTfail表示節(jié)點在T時刻接受的錯誤信息數(shù)量.

2.3 時序網(wǎng)絡(luò)抗級聯(lián)失效魯棒性測試

本文將網(wǎng)絡(luò)魯棒性度量指標(biāo)設(shè)為節(jié)點在受到攻擊以后執(zhí)行的交互次數(shù)N′與時間聚合窗口內(nèi)節(jié)點進行的交互總數(shù)N之比.即G=N′/N.其中G值越大說明網(wǎng)絡(luò)損壞程度越大,說明此時網(wǎng)絡(luò)的魯棒性越差.

3 仿真結(jié)果及分析

首先構(gòu)建時序網(wǎng)絡(luò):在初始時刻,選取一定比例的初始節(jié)點,以連接概率隨機激活M個節(jié)點,隨后從上一階段激活的節(jié)點中選取一定比例的節(jié)點作為傳播節(jié)點進行下一時刻的傳遞,直到時間結(jié)束或者沒有后繼節(jié)點.本文設(shè)網(wǎng)絡(luò)具有200 節(jié)點,通過對網(wǎng)絡(luò)進行隨機攻擊來觀察網(wǎng)絡(luò)的失效程度,為了避免實驗的隨機性,所有結(jié)果均運行500 次并取平均值.

3.1 激活參數(shù)pactive 對網(wǎng)絡(luò)的影響

為了探索激活參數(shù)對時序網(wǎng)絡(luò)的影響,令連邊概率pcon=0.3,時間T=5,連邊數(shù)M=5,攻擊比例p從0 開始,以此來觀察網(wǎng)絡(luò)魯棒性的變化.取pactive=0.1,0.2,0.3,0.5,0.6,1.0 時的仿真結(jié)果如圖4 所示.

圖4 不同激活參數(shù)的網(wǎng)絡(luò)魯棒性Fig.4.Robustness of networks under different activation parameters.

從圖4 可以看出,網(wǎng)絡(luò)失效程度隨激活參數(shù)的增大而減小.在時序網(wǎng)絡(luò)中,激活參數(shù)影響每次迭代時間步內(nèi)節(jié)點活躍度.節(jié)點活躍度高的節(jié)點會向下激活節(jié)點活躍度低的節(jié)點.當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點活躍度高的數(shù)目較高時,信息衰減率就更低,節(jié)點交互數(shù)目變大.從圖4 中得知,雖然網(wǎng)絡(luò)魯棒性隨著活躍參數(shù)的增大而增大,但是抗毀性的變化卻不是線性的.其中pactive從0.2 到0.5 變化時,網(wǎng)絡(luò)抗毀行性提升最多,此后抗毀性提升在逐漸變小.在實際生活中,信息傳播是不斷衰減的,通過信息論可知,現(xiàn)實中信息衰減率較高.因此,信息衰減的減少能夠帶來網(wǎng)絡(luò)抗毀性的提高.同時為了更加直觀地展示激活參數(shù)在網(wǎng)絡(luò)中的作用,給出不同激活參數(shù)下的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征(見表1),其中n為節(jié)點總數(shù),m為網(wǎng)絡(luò)連邊總數(shù),〈kin/out〉 分別為平均入度和平均出度,其網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D如圖5 所示.

表1 激活參數(shù)下的網(wǎng)絡(luò)特征Table 1.Statistical characteristics of the networks under activation parameters.

圖5 不同激活參數(shù)下的網(wǎng)絡(luò)生成圖 (a) pactive=0.1;(b) pactive=0.2;(c) pactive=0.3;(d) pactive=0.5;(e) pactive=0.6;(f) pactive=1.0Fig.5.Network diagram with different activation parameters:(a) pactive=0.1;(b) pactive=0.2;(c) pactive=0.3;(d) pactive=0.5;(e) pactive=0.6;(f) pactive=1.0.

3.2 連邊數(shù)M 和連接概率 pcon 對網(wǎng)絡(luò)的影響

分別設(shè)置pactive=0.3,pcon=0.3,T=5,M=1,2,5,8,10 以及pactive=0.3,時間T=5,連邊數(shù)M=5,連接概率pcon=0.1,0.2,0.5,0.6,1.0.在隨機攻擊策略下,分析連邊數(shù)以及連接概率對網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響.其仿真結(jié)果如圖6 所示.

從圖6(a)可以看出,網(wǎng)絡(luò)魯棒性隨著連接數(shù)目以及連接概率的增加而提升.從圖中可以清晰看出:連邊條數(shù)的增加對于網(wǎng)絡(luò)魯棒性的提升是有限的.網(wǎng)絡(luò)連邊表示的是節(jié)點自身的影響力.當(dāng)一個節(jié)點連接數(shù)越大,那么該節(jié)點就會與更多節(jié)點產(chǎn)生接觸,也就表示一個節(jié)點在某一個時刻可以同時接受多個節(jié)點的連邊,節(jié)點受到錯誤信息的影響變小.這與現(xiàn)實生活中謊言傳播極為相似,當(dāng)某個人同時接收相同數(shù)量的錯誤信息和正確信息后,那么這個人就會面臨二選一情況,而當(dāng)另外一個人提供了正確信息后,那么就大大增加選對概率.而連接概率表示的是節(jié)點連接效率,即產(chǎn)生有效接觸數(shù).如圖6(b)所示,隨著連接概率的增加,網(wǎng)絡(luò)魯棒性有限提高.因此,連接數(shù)以及連接概率對網(wǎng)絡(luò)魯棒性的影響相輔相成,兩者之間存在著關(guān)聯(lián).其連邊參數(shù)下的網(wǎng)絡(luò)生成圖如圖7 所示.表2 表示不同連邊條數(shù)以及連接概率下的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征,其中n為節(jié)點總數(shù),m為連邊總數(shù),〈kin/out〉 分別為平均入度和平均出度.

表2 不同連接數(shù)以及連接概率下的網(wǎng)絡(luò)特征Table 2.Statistical characteristics of the networks under different connection numbers and connection probabilities.

圖6 不同邊數(shù)以及連接概率下的網(wǎng)絡(luò)魯棒性 (a)不同連邊數(shù);(b)不同連接概率Fig.6.Network robustness under different connection numbers and connection probabilities:(a) Different edge numbers;(b) different connection probabilities.

圖7 不同連接數(shù)以及連接概率下的網(wǎng)絡(luò)生成圖 (a) M=1;(b) M=2;(c) M=5;(d) M=8;(e) M=10;(f) pcon=0.1;(g) pcon=0.2;(h) pcon=0.5;(i) pcon=0.6;(j) pcon=1Fig.7.Network diagram with different connection numbers and connection Probability:(a)M=1;(b)M=2;(c) M=5;(d) M=8;(e) M=10;(f) pcon=0.1;(g) pcon=0.2;(h) pcon=0.5;(i) pcon=0.6;(j) pcon=1.

3.3 連邊數(shù)M 與激活參數(shù)pactive 對網(wǎng)絡(luò)的影響

分別設(shè)置pcon=0.3,T=5,M=2,3,4,5,6,并讓pactive從0.05 開始變化以此來觀察網(wǎng)絡(luò)魯棒性.其仿真結(jié)果如圖8 所示.

從圖8 可以看出,網(wǎng)絡(luò)魯棒性在連邊數(shù)以及激活參數(shù)的影響下表現(xiàn)并不均衡.當(dāng)pactive=0.45時,網(wǎng)絡(luò)魯棒性發(fā)生了相變現(xiàn)象,并且隨著連邊數(shù)M的不同,網(wǎng)絡(luò)魯棒性表現(xiàn)也不同.其中網(wǎng)絡(luò)魯棒性在M=2,3,4,5,6 時分別提高了11.36%,17.8%,22.8%,24.9%,30.4%.同時從圖8 可以看出當(dāng)pactive<0.45,網(wǎng)絡(luò)魯棒性在區(qū)間M=4—5提升最多.而當(dāng)pactive>0.45 時,網(wǎng)絡(luò)魯棒性在區(qū)間M=2—3 提升最多,這一發(fā)現(xiàn)為解釋和保護現(xiàn)實網(wǎng)絡(luò)提供了重要參考.

圖8 網(wǎng)絡(luò)魯棒性Fig.8.Network robustness.

3.4 時間參數(shù)T 對網(wǎng)絡(luò)的影響

為了探索時間參數(shù)T對時序網(wǎng)絡(luò)的影響,令pactive=0.3,M=5,pcon=0.3,攻擊比例p從0開始,以此來觀察網(wǎng)絡(luò)魯棒性的變化.取T=2,5,10,20,30 時的仿真結(jié)果如圖9 所示.

圖9 不同時間下的網(wǎng)絡(luò)魯棒性Fig.9.Network robustness under different time.

從圖9 可以看出,網(wǎng)絡(luò)魯棒性隨著時間T的延長并沒有明顯變化.在時序網(wǎng)絡(luò)中,時間T表示網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點與節(jié)點可接觸的最大時間.隨著時間T的延長,節(jié)點與節(jié)點可接觸的時刻變多,網(wǎng)絡(luò)也愈加復(fù)雜.當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中一個節(jié)點因失效而發(fā)送錯誤信息時,由于錯誤信息會受到正確信息的限制,時間越大,這種限制越強.這與現(xiàn)實生活是極為類似的.然而圖9 結(jié)果卻不相同.通過分析發(fā)現(xiàn)是由于激活參數(shù)以及連接概率相對較小造成的.表3 表示不同時間下的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征.同時,為了更加直觀地觀察,其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖如圖10 所示.

表3 不同時間下的網(wǎng)絡(luò)特征Table 3.Statistical characteristics of the networks under different time.

圖10 不同時間下的網(wǎng)絡(luò)生成圖 (a) T=2;(b) T=5;(c) T=10;(d) T=20;(e) T=30Fig.10.Network diagram under different times:(a) T=2;(b) T=5;(c) T=10;(d) T=20;(e) T=30.

從圖10 可以看出,網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點之間并沒有生成連通圖,而是幾個簇.因此將設(shè)參數(shù)pactive=0.6,連邊數(shù)M=5,連接概率pcon=0.6.其網(wǎng)絡(luò)失效如圖11 所示.

由圖11 可以看到,網(wǎng)絡(luò)魯棒性隨著時間參數(shù)的增大而增強.此時再觀察網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖,其如圖12所示.同時,網(wǎng)絡(luò)特征如表4 所示.

表4 不同時間下的網(wǎng)絡(luò)特征Table 4.Statistical characteristics of the networks under different times.

圖11 不同時間參數(shù)的網(wǎng)絡(luò)魯棒性Fig.11.Network robustness under different time.

通過圖12 可以看出,在激活參數(shù)以及連邊概率參數(shù)增大后,網(wǎng)絡(luò)在時刻T=5 時變?yōu)檫B通圖.隨著T的增大,網(wǎng)絡(luò)愈加復(fù)雜,網(wǎng)絡(luò)抗毀性得到進一步增強.同時,為了更好地與實際相結(jié)合,以美國小型社交網(wǎng)絡(luò)為例分別仿真了靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)失效以及時間序列的級聯(lián)失效.該數(shù)據(jù)集描述的是35 個人在間隔1 h 的接觸情況,其網(wǎng)絡(luò)失效圖以及接觸情況如圖13 和表5 所示,美國小型社交網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特征n=35,m=118,〈kin/out〉=3.3714.

表5 美國小型社交網(wǎng)絡(luò)的接觸時刻Table 5.Contact time of small social networks in the United States.

圖12 不同時間下的網(wǎng)絡(luò)圖 (a) T=2;(b) T=5;(c) T=10;(d) T=20;(e) T=30Fig.12.Network diagram under different times:(a) T=2;(b) T=5;(c) T=10;(d) T=20;(e) T=30.

圖13 美國小型社交網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)傳遞規(guī)模圖Fig.13.Scale of transmission through small social networks in the United States.

通過本文的級聯(lián)傳播理論,其失效規(guī)模的傳遞規(guī)模如圖13 所示.從圖13 可以看到,即使在初始階段中受影響人群規(guī)模達到100%,但是由于人群所處的時刻不一樣,失效信息的傳遞隨著拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化而變化.其傳遞只會影響發(fā)生時刻之后的時間,因此,網(wǎng)絡(luò)抗毀性提高.與之對比,靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)在遭受攻擊以后會出現(xiàn)大規(guī)模節(jié)點永久性失效,如圖3(b)所示,當(dāng)節(jié)點vc失效時,其節(jié)點以及自身連邊會無差別永久性失效,同時造成其他節(jié)點脫離巨連通網(wǎng)絡(luò)失效,以此網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)大規(guī)模失效.而在本文所提模型中,傳播過程中遵循一定的方向性、時間性.因此,面對攻擊,靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)相對于時間序列的網(wǎng)絡(luò)是極其脆弱的,這一方面從圖13 可以得出.

4 結(jié)論

隨著網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的發(fā)展,靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)已不能清晰刻畫網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)過程.為了突破現(xiàn)有研究的局限性,提出了時序網(wǎng)絡(luò)下的級聯(lián)失效,此模型將網(wǎng)絡(luò)交互賦予了時間概念,相對于傳統(tǒng)的級聯(lián)失效模型不僅考慮網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)還考慮節(jié)點接觸時刻.通過對節(jié)點的某時刻進行隨機攻擊,有效地分析了動態(tài)網(wǎng)絡(luò)下級聯(lián)反應(yīng)行為.同時,發(fā)現(xiàn)激活參數(shù)、連邊數(shù)、時間、連邊概率對時序網(wǎng)絡(luò)的抗毀性起著重要作用,更為重要的是發(fā)現(xiàn)了時序網(wǎng)絡(luò)的相變現(xiàn)象.

最后,為了驗證該模型的有效性與可行性,引入真實網(wǎng)絡(luò)進行分析.實驗顯示,本文提出的模型能更好地從時間角度進行描述與分析級聯(lián)失效,為研究級聯(lián)失效提供了重要參考.未來將進一步考慮將所提模型應(yīng)用到實際中,例如電網(wǎng)、交通網(wǎng)等.