基于Monte Carlo算法的復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)共因失效研究

葉建飛 趙飛豹 張 焱 李 超 王燁君

(西安電子工程研究所 西安 710100)

0 引言

共因失效是一種源于機(jī)械載荷、振動(dòng)、溫度、腐蝕等共同因素導(dǎo)致系統(tǒng)內(nèi)部多個(gè)零件發(fā)生同時(shí)失效的現(xiàn)象。經(jīng)典可靠度計(jì)算方法在計(jì)算系統(tǒng)可靠度時(shí)作獨(dú)立不相關(guān)假設(shè)即假設(shè)各個(gè)零件之間失效彼此獨(dú)立，而實(shí)際上以載荷為代表的共因失效廣泛存在并且會(huì)使可靠度計(jì)算值出現(xiàn)誤差。從20世紀(jì)70年代至今,國內(nèi)外可靠性研究人員對(duì)共因失效進(jìn)行了大量研究，提出包括全概率模型方法、GO法、MCS-CA法、PMS方法等在內(nèi)的共因失效可靠度建?；蚍抡娣椒?。其中謝里陽等人針對(duì)機(jī)械系統(tǒng)共因失效系統(tǒng)可靠度計(jì)算問題，在系統(tǒng)層面應(yīng)用應(yīng)力-強(qiáng)度干涉理論，結(jié)合條件概率方法建立串聯(lián)、并聯(lián)系統(tǒng)可靠度全概率計(jì)算模型。對(duì)于簡單串并聯(lián)系統(tǒng)，該方法性能良好，但是當(dāng)零件數(shù)量較多時(shí)存在多重積分計(jì)算難度大的問題，此外若系統(tǒng)串并聯(lián)關(guān)系比較復(fù)雜甚至無法利用全概率模型方法建模。元胞自動(dòng)機(jī)是Ulam與Von Neumann在20世紀(jì)50年代提出的一種用于模擬動(dòng)態(tài)離散系統(tǒng)行為的方法。近年來被廣泛應(yīng)用于如通訊系統(tǒng)、電力傳輸系統(tǒng)、交通運(yùn)輸系統(tǒng)等復(fù)雜二終端二態(tài)網(wǎng)絡(luò)可靠性評(píng)估，具備有效判斷網(wǎng)絡(luò)連通性的優(yōu)勢(shì)。本文針對(duì)全概率模型方法處理復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)可靠度時(shí)的缺陷，從Monte Carlo數(shù)值仿真的角度出發(fā)，在對(duì)全概率模型方法進(jìn)行分析總結(jié)的基礎(chǔ)上將復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為二終端網(wǎng)絡(luò)，結(jié)合元胞自動(dòng)機(jī)思想構(gòu)建存在共因失效的串聯(lián)、并聯(lián)和復(fù)雜混聯(lián)機(jī)械系統(tǒng)可靠度算法，并就共因失效對(duì)不同類型機(jī)械系統(tǒng)可靠度具體影響展開研究。

1 共因失效可靠度全概率模型

機(jī)電產(chǎn)品因?yàn)槌杀靖甙?，失效周期長，難以進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上的大量可靠性試驗(yàn)，因此經(jīng)典系統(tǒng)可靠度方法計(jì)算可靠度時(shí)通常先利用應(yīng)力-強(qiáng)度干涉方法計(jì)算零件可靠度，然后根據(jù)零件間關(guān)系建立系統(tǒng)串并混聯(lián)結(jié)構(gòu)可靠性模型并計(jì)算。

對(duì)于串聯(lián)系統(tǒng)

(1)

對(duì)于并聯(lián)系統(tǒng)

(2)

其中代表系統(tǒng)可靠度，和分別代表第個(gè)零件廣義應(yīng)力和廣義強(qiáng)度，()和()為第個(gè)零件廣義應(yīng)力函數(shù)和廣義強(qiáng)度函數(shù)；代表零件數(shù)量。

經(jīng)典系統(tǒng)可靠度模型假設(shè)零件之間失效彼此獨(dú)立，即不存在共因失效，而實(shí)際上共因失效在機(jī)電系統(tǒng)中廣泛存在。謝里陽等人利用條件概率方法，在系統(tǒng)層面應(yīng)用應(yīng)力強(qiáng)度干涉理論建立了存在共因失效的系統(tǒng)可靠度全概率模型。以個(gè)相同零件構(gòu)成簡單系統(tǒng)并以應(yīng)力作為主要的失效共因?yàn)槔?/p>

對(duì)于串聯(lián)系統(tǒng)

(3)

對(duì)于并聯(lián)系統(tǒng)

(4)

其中代表系統(tǒng)可靠度，和S分別代表第個(gè)零件廣義應(yīng)力和廣義強(qiáng)度，()和(S)為第個(gè)零件廣義應(yīng)力函數(shù)和廣義強(qiáng)度函數(shù)；代表零件數(shù)量。

對(duì)比公式(1)、(3)和公式(2)、(4)可以發(fā)現(xiàn)全概率模型在處理應(yīng)力引起的共因失效問題時(shí)區(qū)別于經(jīng)典可靠度方法中對(duì)每個(gè)零件的應(yīng)力和強(qiáng)度都進(jìn)行一次積分的做法，將作為失效共因的應(yīng)力提取出來只進(jìn)行一次積分。從Monte Carlo仿真的角度來看系統(tǒng)在任意一次仿真過程中按照經(jīng)典可靠度的觀點(diǎn)各個(gè)零件所受的應(yīng)力彼此不相關(guān)，應(yīng)按照分布獨(dú)立抽樣；而按照全概率模型方法的觀點(diǎn)，應(yīng)力作為失效共因在一次仿真中只應(yīng)抽樣一次。根據(jù)實(shí)際情況，任意時(shí)刻各個(gè)零件所受應(yīng)力與此時(shí)輸入載荷相關(guān)，都可由輸入載荷計(jì)算或仿真得到，而輸入載荷在任意確定時(shí)刻為定值，因此全概率模型方法更為貼近實(shí)際。

2 全概率模型數(shù)值仿真算法

由以上分析本文推斷：通過設(shè)定引起共因失效的因素在仿真過程中的抽樣方式，使其能夠反映共因失效的特性將是算法能否準(zhǔn)確計(jì)算系統(tǒng)共因失效可靠度的關(guān)鍵。

在此基礎(chǔ)上構(gòu)建共因失效全概率模型Monte Carlo數(shù)值仿真算法。程序流程圖如圖1所示。

圖1 全概率模型數(shù)值仿真算法流程圖

1)步驟一：初始化仿真次數(shù)=1，系統(tǒng)累計(jì)安全次數(shù)=0。

2)步驟二：對(duì)零件的應(yīng)力按其分布抽樣得；對(duì)每個(gè)零件的強(qiáng)度按其分布進(jìn)行單獨(dú)抽樣得,…。

3)步驟三：以成敗型零件為研究對(duì)象，代表第個(gè)零件失效與否的狀態(tài)，=1表示第個(gè)零件安全，=0表示第個(gè)零件失效。計(jì)算-，若大于0，將置為1，否則置為0，=1,2…。

4)步驟四：給不同類型的系統(tǒng)設(shè)置不同的安全條件。判斷是否滿足安全條件，滿足則置系統(tǒng)狀態(tài)變量=1(表示系統(tǒng)安全),否則=0(表示系統(tǒng)失效)。

5)步驟五：更新仿真次數(shù)=+1和系統(tǒng)累計(jì)安全次數(shù)=+。

6)步驟六：判斷仿真次數(shù)≤(表示總仿真次數(shù)，由人為給定。)若滿足則返回第二步，否則終止程序并統(tǒng)計(jì)系統(tǒng)累積安全次數(shù)，計(jì)算可靠度=。

對(duì)于Monte Carlo經(jīng)典可靠度算法只需在此基礎(chǔ)上進(jìn)行少量修改。具體為將步驟二對(duì)零件應(yīng)力獨(dú)立抽樣改為對(duì)每個(gè)零件分別抽樣…。將步驟三中計(jì)算-，改為分別計(jì)算-若大于0，將置為1，否則置為0，=1,2…，其余步驟不變。

步驟四中安全條件是指系統(tǒng)失效與否的判斷依據(jù)，對(duì)于零部件數(shù)量較少，關(guān)系簡單的系統(tǒng)可以直接給出安全條件的數(shù)學(xué)公式。

串聯(lián)系統(tǒng)安全條件為

(5)

并聯(lián)系統(tǒng)安全條件為

(6)

對(duì)于復(fù)雜混聯(lián)系統(tǒng)可以參考Von Neumann型元胞自動(dòng)機(jī)思想，將系統(tǒng)失效與否的條件轉(zhuǎn)化為判斷可靠性網(wǎng)絡(luò)是否導(dǎo)通。以圖2所示案例進(jìn)行說明。

圖2 混聯(lián)模型結(jié)構(gòu)圖

編號(hào)1-13代表13個(gè)零件，按圖中連接方式構(gòu)成混聯(lián)系統(tǒng)。首先將模型結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)化為符合元胞自動(dòng)機(jī)思想的可靠性網(wǎng)絡(luò)，如圖3所示。

圖3 混聯(lián)模型可靠性網(wǎng)絡(luò)示意圖

每條邊代表一個(gè)零件，其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)是1(安全)或0(失效)；每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)元胞，其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)是1(激活)或0(未激活)，初始狀態(tài)是未激活。各元胞狀態(tài)由箭頭指向該元胞的邊的狀態(tài)以及與這些邊相連的元胞的狀態(tài)共同決定，當(dāng)至少有一條邊和與這條邊相連的元胞的狀態(tài)都為1時(shí)該元胞的狀態(tài)為1。以元胞7為例，其狀態(tài)可以用關(guān)聯(lián)函數(shù)表示為

=((2,4),(4,8),(6,9),(2,7))

(7)

式(7)中(,)表示將第個(gè)元胞的狀態(tài)與第條邊狀態(tài)進(jìn)行“交運(yùn)算”后的結(jié)果，即當(dāng)?shù)趥€(gè)元胞的狀態(tài)與第條邊狀態(tài)都為1時(shí)，(,)=1。因此當(dāng)(2,4)，(4,8)，(6,9)，(2,7)中至少有一個(gè)為1時(shí)，=1。

每次仿真過程中動(dòng)力由元胞1輸入，即首先激活元胞1，經(jīng)過可靠性網(wǎng)絡(luò)傳輸后從元胞9輸出。步驟三得到各個(gè)零件狀態(tài)后按照元胞關(guān)聯(lián)函數(shù)依次更新元胞狀態(tài)，若得到元胞9的狀態(tài)為1，則說明可靠性網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)通，系統(tǒng)安全，否則判定系統(tǒng)失效。

3 算例分析

1)算例1：將上述兩個(gè)同樣的零件串聯(lián)，分別利用經(jīng)典可靠性方法，全概率模型方法，Monte Carlo共因失效可靠度算法(以下簡稱Monte Carlo改進(jìn)算法)和Monte Carlo經(jīng)典可靠度算法(以下簡稱Monte Carlo經(jīng)典算法)計(jì)算系統(tǒng)可靠度，結(jié)果如表1所示。

2)算例2：將上述兩個(gè)同樣的零件并聯(lián)，分別利用經(jīng)典可靠度方法，全概率模型方法，Monte Carlo改進(jìn)算法和Monte Carlo經(jīng)典算法計(jì)算系統(tǒng)可靠度，結(jié)果如表2所示。

3)算例3：將13個(gè)同樣的零件按照?qǐng)D2的連接形式混聯(lián)，分別利用經(jīng)典可靠度方法，全概率模型方法，Monte Carlo改進(jìn)算法和Monte Carlo經(jīng)典算法計(jì)算系統(tǒng)可靠度，結(jié)果如表3所示。

從表1、表2中可以看出經(jīng)典可靠度方法計(jì)算結(jié)果與Monte Carlo經(jīng)典算法計(jì)算結(jié)果誤差非常小，而全概率模型方法計(jì)算結(jié)果與Monte Carlo改進(jìn)方法計(jì)算結(jié)果也是如此，從而說明Monte Carlo經(jīng)典算法和Monte Carlo改進(jìn)算法在計(jì)算精度上與經(jīng)典可靠度方法和全概率模型方法保持一致。

表1 串聯(lián)系統(tǒng)可靠度計(jì)算結(jié)果

表2 并聯(lián)系統(tǒng)可靠度計(jì)算結(jié)果

對(duì)于圖2所示的復(fù)雜混聯(lián)系統(tǒng)，在計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn)使用經(jīng)典可靠度方法和全概率模型方法建模難度較大，而利用Monte Carlo經(jīng)典算法和Monte Carlo改進(jìn)算法則較為方便。對(duì)比表3中的計(jì)算結(jié)果，共因失效對(duì)該混聯(lián)系統(tǒng)可靠度的影響表現(xiàn)在使用Monte Carlo經(jīng)典算法得到的可靠度值小于Monte Carlo改進(jìn)算法計(jì)算結(jié)果，可靠度被低估。

表3 混聯(lián)系統(tǒng)可靠度計(jì)算結(jié)果

4 共因失效對(duì)可靠性影響研究

在Monte Carlo經(jīng)典算法和Monte Carlo改進(jìn)算法基礎(chǔ)上，將分別就Monte Carlo仿真次數(shù)對(duì)可靠度計(jì)算值的影響、共因失效對(duì)串聯(lián)系統(tǒng)、并聯(lián)系統(tǒng)和簡單混聯(lián)系統(tǒng)可靠度的影響展開研究。

4.1 Monte Carlo仿真次數(shù)對(duì)可靠度的影響

以案例分析中定義的零件為基礎(chǔ)，將3個(gè)相同的零件串聯(lián)，不斷改變仿真次數(shù)，利用Monte Carlo經(jīng)典算法和Monte Carlo改進(jìn)算法計(jì)算系統(tǒng)可靠度，結(jié)果如圖4所示。

圖4 Monte Carlo仿真次數(shù)與系統(tǒng)可靠度的關(guān)系

隨著仿真次數(shù)的不斷增加，兩種方法的可靠度計(jì)算值波動(dòng)程度逐漸降低并趨于穩(wěn)定。當(dāng)仿真次數(shù)>2000次后，可靠度計(jì)算值基本保持不變，為了保證仿真精度在后續(xù)研究中可靠度計(jì)算仿真次數(shù)定為5000次。

4.2 共因失效對(duì)串聯(lián)系統(tǒng)可靠度的影響

以案例分析中定義的零件為基礎(chǔ)，將個(gè)相同零件串聯(lián)構(gòu)建簡單串聯(lián)系統(tǒng)。零件數(shù)量由1逐漸遞增到10，分別用Monte Carlo經(jīng)典算法和Monte Carlo改進(jìn)算法計(jì)算系統(tǒng)可靠度，結(jié)果如圖5所示。從圖中可以看出隨著零件數(shù)量的不斷增加，串聯(lián)系統(tǒng)可靠度逐漸降低。總的來看，由Monte Carlo改進(jìn)算法得到的可靠度計(jì)算值要高于經(jīng)典可靠度計(jì)算方法得到的可靠度計(jì)算值，換句話說由于共因失效的存在，利用經(jīng)典可靠度計(jì)算方法計(jì)算串聯(lián)系統(tǒng)可靠度時(shí)，可靠度被低估。

圖5 串聯(lián)系統(tǒng)零件數(shù)量與可靠度的關(guān)系

分析原因在于對(duì)串聯(lián)系統(tǒng)而言，經(jīng)典可靠性算法將失效共因在不同零件中進(jìn)行獨(dú)立抽樣，由此統(tǒng)計(jì)出的系統(tǒng)失效事件中將某時(shí)刻由于共因使多個(gè)零件同時(shí)失效導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生的一次失效事件多次重復(fù)計(jì)算，從而導(dǎo)致計(jì)算失效率比實(shí)際更高，可靠度被低估。

4.3 共因失效對(duì)并聯(lián)系統(tǒng)可靠度的影響

以案例分析中定義的零件為基礎(chǔ)，將個(gè)相同零件并聯(lián)構(gòu)建簡單并聯(lián)系統(tǒng)。零件數(shù)量由1個(gè)逐漸遞增到10個(gè)，分別用Monte Carlo經(jīng)典算法和Monte Carlo改進(jìn)算法計(jì)算并聯(lián)系統(tǒng)可靠度，結(jié)果如圖6所示。

圖6 并聯(lián)系統(tǒng)零件數(shù)量與可靠度的關(guān)系

從圖6中可以看出隨著并聯(lián)零件數(shù)量的不斷增加，系統(tǒng)可靠度逐漸上升，總體而言由Monte Carlo改進(jìn)算法得到的可靠度計(jì)算值要低于經(jīng)典可靠度計(jì)算方法得到的可靠度計(jì)算值，換句話說由于共因失效的存在，利用經(jīng)典可靠度計(jì)算方法計(jì)算并聯(lián)系統(tǒng)可靠度時(shí)，可靠度被高估。原因在于對(duì)并聯(lián)系統(tǒng)而言，經(jīng)典可靠度計(jì)算方法將失效共因在不同零件中進(jìn)行獨(dú)立抽樣，由此統(tǒng)計(jì)出的所有零件同時(shí)失效事件中，即系統(tǒng)失效事件，忽略了失效共因增加多個(gè)零件同時(shí)失效概率這個(gè)事實(shí)，導(dǎo)致系統(tǒng)失效率被低估，可靠度被高估。

4.4 共因失效對(duì)混聯(lián)系統(tǒng)可靠度的影響

以案例分析中定義的零件為基礎(chǔ)，通過多個(gè)相同零件串并聯(lián)構(gòu)建簡單混聯(lián)系統(tǒng)，如圖7所示。串聯(lián)零件數(shù)量與并聯(lián)零件數(shù)量之和保持不變，設(shè)定+=6。串聯(lián)零件數(shù)量由0個(gè)逐漸遞增到6個(gè)，并聯(lián)零件數(shù)量由6個(gè)遞減到0個(gè)，分別用Monte Carlo經(jīng)典算法和Monte Carlo改進(jìn)算法計(jì)算混聯(lián)系統(tǒng)可靠度，結(jié)果如圖8所示。

圖7 簡單混聯(lián)系統(tǒng)示意圖

圖8 混聯(lián)系統(tǒng)零件數(shù)量與可靠度的關(guān)系

從圖8中可以看出，當(dāng)零件全部為并聯(lián)時(shí)，即=0，=6，利用Monte Carlo經(jīng)典算法計(jì)算的系統(tǒng)可靠度高于利用Monte Carlo改進(jìn)算法計(jì)算的系統(tǒng)可靠度，即可靠度被高估，與4.3中結(jié)論一致；而當(dāng)零件全部為串聯(lián)時(shí)，即=6，=0，可靠度被低估，與4.2中結(jié)論一致；當(dāng)并聯(lián)零件數(shù)量由6個(gè)逐漸遞減到0個(gè)，此時(shí)串聯(lián)零件數(shù)量由0個(gè)逐漸遞增到6個(gè)，利用Monte Carlo經(jīng)典算法得到的混聯(lián)系統(tǒng)可靠度先高于后又低于Monte Carlo改進(jìn)算法計(jì)算的混聯(lián)系統(tǒng)可靠度，且存在某個(gè)點(diǎn)使兩種方法得到的可靠度計(jì)算值相等，說明在該點(diǎn)共因失效對(duì)系統(tǒng)可靠度的影響被“中和”而不予顯現(xiàn)。因此，利用Monte Carlo經(jīng)典算法計(jì)算一個(gè)存在共因失效的混聯(lián)系統(tǒng)可靠度時(shí)，鑒于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不同，系統(tǒng)可靠度計(jì)算值與實(shí)際值相比，可能被高估也可能被低估甚至兩者相同，并且總體來看，共因失效對(duì)串聯(lián)系統(tǒng)可靠度影響程度大于對(duì)并聯(lián)系統(tǒng)可靠度的影響程度。

5 結(jié)束語

對(duì)于存在共因失效的機(jī)械系統(tǒng)，利用全概率模型方法可以計(jì)算系統(tǒng)可靠度，但是當(dāng)零件數(shù)量較多或者零部件關(guān)系復(fù)雜難以求解和建模時(shí)，利用本文提出的Monte Carlo共因失效可靠度算法可以有效解決這個(gè)問題。研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)系統(tǒng)存在共因失效時(shí)利用經(jīng)典可靠度計(jì)算方法計(jì)算串聯(lián)系統(tǒng)可靠度時(shí)，可靠度將被低估；計(jì)算并聯(lián)系統(tǒng)可靠度時(shí)，可靠度將被高估；而計(jì)算混聯(lián)系統(tǒng)可靠度時(shí)，鑒于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不同，系統(tǒng)可靠度計(jì)算值可能被高估、低估甚至與實(shí)際值相同，并且總體來看，共因失效對(duì)串聯(lián)系統(tǒng)可靠度影響程度大于對(duì)并聯(lián)系統(tǒng)可靠度的影響程度。