豐盈“＝”內(nèi)涵 發(fā)展代數(shù)思維

羅善彪 王珍麗

代數(shù)是一個(gè)推理運(yùn)算的過程，需要學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)符號(hào)、字母來研究運(yùn)算規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)。代數(shù)是算術(shù)的一般化，許多算術(shù)內(nèi)容蘊(yùn)含著豐富的代數(shù)思想。算術(shù)思維側(cè)重于通過數(shù)量的計(jì)算而求解，是一種比較直觀的思維方式;代數(shù)思維則側(cè)重于關(guān)系，表現(xiàn)為學(xué)生在具體情境中能把未知數(shù)當(dāng)作已知數(shù)、與已知數(shù)共同參與運(yùn)算的思維能力。在小學(xué)階段培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)思維已成為廣泛共識(shí)。本期，我們來討論如何培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維。

有研究表明：學(xué)生容易解決像“7+8=□”或“6+□=13”的等式問題，卻很難解決像“17=8+□”或“5+□=9+4”的等式問題，其主要原因是學(xué)生適應(yīng)順向的算術(shù)思維，而不適應(yīng)逆向的代數(shù)思維。究其原因，學(xué)生往往認(rèn)為等號(hào)表示“運(yùn)算結(jié)果”“要求計(jì)算答案”等，而不能從“對(duì)稱”“平衡”“等價(jià)”的角度來理解等號(hào)的內(nèi)涵，不能按“左右對(duì)稱”或“兩邊平衡”“兩邊等價(jià)”來理解等式的意義。

基于上述分析，在小學(xué)階段特別是小學(xué)低年級(jí)段，適當(dāng)拓寬學(xué)生對(duì)等號(hào)內(nèi)涵的理解，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)等式的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)學(xué)生建立等價(jià)模型，有利于學(xué)生早期代數(shù)思維的萌發(fā)，能為后續(xù)代數(shù)思維的學(xué)習(xí)和應(yīng)用打下基礎(chǔ)。筆者以北師大版數(shù)學(xué)教材為例，談一談相關(guān)教學(xué)設(shè)想和實(shí)踐。

一、豐盈“=”認(rèn)知，建立等價(jià)模型

學(xué)生第一次認(rèn)識(shí)“=”，是在認(rèn)識(shí)了部分?jǐn)?shù)字（人教版數(shù)學(xué)教材安排在認(rèn)識(shí)了1～5之后，北師大版數(shù)學(xué)教材安排在認(rèn)識(shí)了0～10之后），有了基本的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)和抽象能力之后，通過“比大小”的活動(dòng)，與“>”和“<”等數(shù)學(xué)符號(hào)一起認(rèn)識(shí)的。

教材呈現(xiàn)下圖，引導(dǎo)學(xué)生按“一一對(duì)應(yīng)”的思想方法比較小兔、籃子、胡蘿卜、小猴、秋千的數(shù)量，進(jìn)而引出“=”“<”和“>”，旨在使學(xué)生經(jīng)歷由物到數(shù)的抽象過程，認(rèn)識(shí)到“=”表示兩個(gè)量相等，進(jìn)而抽象為表示兩個(gè)數(shù)相等，幫助學(xué)生初步建立左右兩邊都是單一成分的“平衡”模型。

黃興豐教授的研究表明：學(xué)生對(duì)等式中等號(hào)的理解可以劃分成三個(gè)階段，分別為指示階段、動(dòng)作階段、等價(jià)階段，處于不同理解階段的學(xué)生，在分析和解決等式相關(guān)問題時(shí)的表現(xiàn)完全不同，同時(shí)，這三個(gè)階段雖有區(qū)別，但并不是完全割裂的，它們?cè)谝欢l件下可以自由轉(zhuǎn)化，并能跳躍式發(fā)展。參照上述研究成果，在進(jìn)行“=”的初始教學(xué)時(shí)，教師可以嘗試直接從等價(jià)層面引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“=”，即在教學(xué)中反復(fù)引導(dǎo)學(xué)生用“一一對(duì)應(yīng)”來體會(huì)和理解“=”表示“等價(jià)”的含義。教學(xué)過程略寫如下。

“一只小兔和一個(gè)籃子對(duì)應(yīng)，我們就可以將其看成一只小兔和一個(gè)籃子是等價(jià)的，用數(shù)學(xué)的方法表示是1=1”;

“兩只小兔和兩個(gè)籃子對(duì)應(yīng)，我們就可以將其看成兩只小兔和兩個(gè)籃子是等價(jià)的，可以寫成2=2”;

……

這樣教學(xué)，能使學(xué)生認(rèn)識(shí)到兩個(gè)不同質(zhì)的物品在量上可以等價(jià)，抽象成數(shù)可以相等，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)就是“1=1”“2=2”等，進(jìn)而從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)“=”，建立“等價(jià)”模型。

二、重構(gòu)等式引入，體會(huì)等價(jià)意義

學(xué)生對(duì)“等式”的認(rèn)識(shí)是伴隨著“加減法的初步認(rèn)識(shí)”一同發(fā)展的。劉加霞教授的研究表明：現(xiàn)行各版本教材所設(shè)計(jì)的“加法的初步認(rèn)識(shí)”情境，一般先呈現(xiàn)部分與部分的聚合，即“合并”情境;而“減法的初步認(rèn)識(shí)”情境一般是一元?jiǎng)討B(tài)情境，即“取走”情境。這兩種情境雖然比較契合正整數(shù)加減法的現(xiàn)實(shí)意義，容易被學(xué)生掌握和理解，但不能很好地解釋等號(hào)的等價(jià)意義，不利于學(xué)生代數(shù)思維的培養(yǎng)。史寧中教授對(duì)此有相關(guān)建議，他指出：加法的初步認(rèn)識(shí)應(yīng)該采用相等模型引入，而不是變化型（或合并型）?；诖耍诮虒W(xué)“加法的初步認(rèn)識(shí)”時(shí)，教師可以做如下教學(xué)改進(jìn)：除了遵從教材原意正常引入“3+2=5”的等式，還可以對(duì)“試一試”中的教學(xué)素材進(jìn)行情境重構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)等號(hào)的等價(jià)意義。

例如，教師可以同時(shí)出示如下兩幅情境圖，然后提出相應(yīng)問題：左右兩幅圖中的車一樣多嗎？怎樣才能使兩邊的車一樣多呢？

通過這兩幅圖的比較，學(xué)生可以直觀感知到，左邊也要再開來一輛車，才能使兩幅圖中的車一樣多，即兩幅圖中車的數(shù)量相等。像這樣自然而然地滲透等號(hào)的等價(jià)意義，可以很好地解釋“3+1=4”，幫助學(xué)生跳出“等號(hào)是運(yùn)算符號(hào)、等號(hào)右邊表示運(yùn)算結(jié)果”的思維定式，感悟等號(hào)的本質(zhì)含義。

教學(xué)中，我們除了可以對(duì)這幅情境圖進(jìn)行重構(gòu)，其他的情境圖包括減法的引入情境，都可以進(jìn)行類似的重構(gòu)，以深化學(xué)生對(duì)等式和等號(hào)的理解和認(rèn)識(shí)，促進(jìn)學(xué)生代數(shù)思維的萌發(fā)。

三、豐富等式類型，培養(yǎng)等價(jià)意識(shí)

縱觀小學(xué)數(shù)學(xué)教材，學(xué)生從第一次認(rèn)識(shí)等號(hào)、第一次學(xué)習(xí)加法開始，直到四年級(jí)（人教版教材是五年級(jí)）學(xué)習(xí)方程時(shí)，才出現(xiàn)“等式”這個(gè)名詞，而且在這四年左右的時(shí)間中，教材也沒有呈現(xiàn)等式的描述性概念。學(xué)生對(duì)“算式”“等式”等概念認(rèn)識(shí)模糊，理解不深刻，直接導(dǎo)致學(xué)生對(duì)“代數(shù)式”的不認(rèn)可和不理解，進(jìn)而發(fā)展為對(duì)代數(shù)思維的不接納。其直接原因就是學(xué)生對(duì)等號(hào)的認(rèn)識(shí)不全面，理解不深入，從而陷入認(rèn)識(shí)誤區(qū)：等號(hào)就是一個(gè)運(yùn)算符號(hào)，等號(hào)的出現(xiàn)相當(dāng)于預(yù)示著某個(gè)運(yùn)算結(jié)果的產(chǎn)生，等式就是算式，等式中的等號(hào)只是表示要做某運(yùn)算等。

基于上面的分析，我們?cè)诮虒W(xué)中除對(duì)“=”加強(qiáng)理解，對(duì)“算式”“等式”等概念提前滲透之外，還要強(qiáng)化對(duì)“等式”的變式引入，以豐富學(xué)生對(duì)等式類型的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的等價(jià)意識(shí)。如在加減法等式成功引入后，我們可以對(duì)教學(xué)情境圖做一些變形修改，或借助數(shù)的分解知識(shí)，形成“5=3+2”“1=5-4”“8=1+3+4”等形式的等式，促進(jìn)學(xué)生樹立數(shù)與式等價(jià)的意識(shí)。

另外，在教學(xué)“加法表”“減法表”時(shí)，我們可以借助表格引出“5+5=3+7”“9-3=7-1”“4+2=9-3”等兩邊都有算式的等式結(jié)構(gòu)，甚至還可以引出多個(gè)算式連等的長等式，以此培養(yǎng)學(xué)生整體認(rèn)讀等式的習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生以算式作為一個(gè)整體的等價(jià)模型的建構(gòu)。

在后續(xù)較復(fù)雜的計(jì)算教學(xué)中，我們可以有意識(shí)地呈現(xiàn)各種類型的等式，加深學(xué)生對(duì)等價(jià)模型的理解，還可以利用“遞等式”的運(yùn)算方式，嘗試進(jìn)行“恒等運(yùn)算”，如“304÷5-254÷5=（304-254）÷5=50÷5=10”（此題的解答過程，若按常規(guī)的“遞等式”形式計(jì)算，就是一種運(yùn)算程序;若寫成這樣的長等式，則可以表示一種恒等變化），為后續(xù)學(xué)生自主運(yùn)用等式的性質(zhì)解方程做鋪墊。

（作者單位：羅善彪，宜昌市教育科學(xué)研究院;王珍麗，枝江市南崗路小學(xué)）

[此文系湖北省教育學(xué)會(huì)“十四五”立項(xiàng)重點(diǎn)課題“小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透代數(shù)思想的案例研究”的研究成果。課題編號(hào)：A03-01]

責(zé)任編輯? 劉佳