基于學(xué)習(xí)進階的幾何基本概念教學(xué)設(shè)計
——以“垂直”教學(xué)為例

劉 佳 朱 輝

(江蘇省南京外國語學(xué)校河西初級中學(xué) 210000)

自2017年國家教育部文件實行均衡編班制度以來，如何讓不同學(xué)思維層次都能得到不同層次的提高，是教學(xué)工作需要關(guān)注的焦點.而早在2015年筆者所在學(xué)年數(shù)學(xué)組就從作業(yè)的角度切入，并對作業(yè)進行優(yōu)化設(shè)計.但是研究的過程中發(fā)現(xiàn)，錯題的產(chǎn)生除了學(xué)生粗心的學(xué)習(xí)習(xí)慣問題之外，還有思維層次原因，僅從作業(yè)角度實現(xiàn)增效減負(fù)是不夠的.如何從教學(xué)中尋找適當(dāng)?shù)淖ナ殖蔀橐粋€研究的方向呢 ？

實際教學(xué)中，經(jīng)驗豐富的教師往往使用幾何模型作為輔助，幫助學(xué)生提高答題的能力，看似提高了學(xué)生的成績，但是死記硬背模式是數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的大忌.在教學(xué)中，如何基于課程標(biāo)準(zhǔn)將教科書中一個個知識點的外顯，點動成線成為學(xué)生思維螺旋式上升的一個推手，是我們在教學(xué)中亟需攻克的難關(guān).學(xué)習(xí)進階理論是指學(xué)生通過較長時間跨度，學(xué)習(xí)某一概念核心概念所遵循的連貫、逐步深入的學(xué)習(xí)路徑.該理論源于2004年美國基礎(chǔ)教育階段科學(xué)學(xué)業(yè)成就評價委員會的倡導(dǎo)，我國2017年《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2017年版》中在關(guān)于學(xué)科標(biāo)準(zhǔn)中強調(diào)“進一步精選學(xué)科內(nèi)容，重視以以學(xué)科大概念為核心，以主題為引領(lǐng)，使課程內(nèi)容情境化，促進學(xué)科素養(yǎng)的落實.《義務(wù)教育階段課程標(biāo)準(zhǔn)2011年版》中也強調(diào)課程內(nèi)容的組織要重視過程，處理好過程與結(jié)果的關(guān)系.

本文以學(xué)習(xí)進階理論為研究基礎(chǔ)，嘗試突破以數(shù)學(xué)模型為主導(dǎo)的幾何教學(xué)，真正從概念教學(xué)本源入手，對幾何教學(xué)核心概念進行連貫、逐步精致的進階路徑剖析，使學(xué)生的核心素養(yǎng)伴隨概念教學(xué)本身實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的進階.

1 幾何基本概念的課例設(shè)計和進階分析

1.1 課例設(shè)計和進階分析

環(huán)節(jié)一：教師先讓學(xué)生欣賞含有平行和垂直的圖片，讓學(xué)生回顧平面內(nèi)直線與直線的位置關(guān)系，接著讓學(xué)生在紙上任意畫兩條直線并說出它們的位置關(guān)系，然后讓學(xué)生舉出生活中兩直線垂直的例子，教師對照學(xué)畫出的圖形進行點評，初步感知為垂直教學(xué)做鋪墊.教師進一步讓學(xué)生比較各自畫出圖形，如有學(xué)生畫出的是線段、直線、射線的垂直的區(qū)別和聯(lián)系(交點個數(shù)、數(shù)量關(guān)系)，通過讓學(xué)生思考怎么把線段、射線變成直線，怎樣把兩者關(guān)系變成建立直線之間的聯(lián)系，本環(huán)節(jié)用時10分鐘左右.

環(huán)節(jié)一的學(xué)習(xí)進階分析作為初中幾何平面圖形認(rèn)識(一)的入門課，本課有兩個根本任務(wù)：一是做好小升初銜接，在小學(xué)學(xué)習(xí)平行和垂直的基礎(chǔ)上逐步由直觀轉(zhuǎn)向數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系的推理；二是激發(fā)學(xué)生興趣，通過簡明、形象、有序的教學(xué)活動引導(dǎo)學(xué)生合情推理，滲透幾何研究的基本技能與基本方法.

圖1

環(huán)節(jié)一的學(xué)習(xí)進階設(shè)計：垂直概念需凸顯邏輯

雖然通過畫圖回顧了之前兩直線的位置關(guān)系，但是不能忽視與小學(xué)概念的聯(lián)系和區(qū)別，小學(xué)中對于教材對概念的定義分別如下：垂直是指兩條直線相交成直角時，這兩條直線互相垂直并未指出四個角或者一個角，而初中先研究線段、射線、直線、角等，對于四個角為直角到一個角為直角涉及到對頂角、補角、余角，用直線和角來定義垂直具有很強的邏輯性，該邏輯的體現(xiàn)需要進一步凸顯.

環(huán)節(jié)二：操作發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生考慮兩條直線相交所成的四個角成直角，思考是否需要四個角是直角，到四個角中有一個角是直角可以判定兩條直線的垂直是定義.在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言、符號語言、圖形語言表示等.本環(huán)節(jié)用時10分鐘左右.

環(huán)節(jié)二學(xué)習(xí)進階分析：學(xué)習(xí)進階從階梯的表面是概念的進階，同樣對能力也是提出內(nèi)在的要求.在教學(xué)中概念教學(xué)需要關(guān)注四個進階層次，分別為

進階一:抽象進階二:符號進階三:說理進階四:強化具體材料表征,通過對現(xiàn)實原型和樣例抽象出共同的屬性以獲得新概念,即從具體到抽象的過程.數(shù)學(xué)符號表征,通過語言建立邏輯實現(xiàn)有條理的表達,重視圖形語言、符號語言、文字語言等幾種語言的互相轉(zhuǎn)化.說理和推理,引導(dǎo)對因果關(guān)系形式化“三段論證”的說理,培養(yǎng)有條理的思考和表達.概念強化,通過給出一些新概念的正例和反例,讓學(xué)生通過進一步辨認(rèn)去實現(xiàn)對新概念的理解.如作出線段、射線的垂線,將模糊的內(nèi)部言語進行概念同化,思維言語的交互.

環(huán)節(jié)二學(xué)習(xí)進階建議：垂直概念需凸顯語言

課例中對于點在直線上、點在直線外可以依據(jù)平行中基本事實：過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行進行類比，用數(shù)學(xué)的語言表達世界，在這種邏輯推理下，才能對基本事實更深刻的理解.因為學(xué)生對垂直的理解從線段、射線、直線的理解仍局限于直觀視覺.

環(huán)節(jié)三：如何畫出一條線的垂線？你用了什么工具？(對于過一點做出已知直線的垂線，向?qū)W生滲透分類的思想，在畫圖時用延長體現(xiàn)直線之間關(guān)系，使學(xué)生理解結(jié)論的合理性.用填空、畫圖、說明等方法讓學(xué)生進行大量訓(xùn)練.本環(huán)節(jié)用時15分鐘.

環(huán)節(jié)四：課堂小結(jié).回顧怎樣按照分類討論以及數(shù)學(xué)語言、符號語言、文字語言的過渡.本環(huán)節(jié)用時5分鐘.

2 幾何概念教學(xué)的反思

數(shù)學(xué)概念是對一類事物空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性進行定性或定量的分析，包括數(shù)學(xué)的定義、公式、定理等.數(shù)學(xué)概念教學(xué)指在課堂環(huán)境中，為促進師生共同發(fā)展一種關(guān)于數(shù)學(xué)概念知識意義構(gòu)建的互動過程，包括教師與學(xué)生的簡單陳述、解釋以及推理過程.義務(wù)教育初中學(xué)段(7年級-9年級)數(shù)學(xué)概念課從內(nèi)容上看，占到了初中總課時數(shù)的五分之四；從能力要求上看，涉及了初中學(xué)段學(xué)生應(yīng)該具備的所有數(shù)學(xué)能力.同時大量數(shù)據(jù)表明，學(xué)生數(shù)學(xué)成績的差異，很大一部分是由于對數(shù)學(xué)概念理解的差異造成的.所以，概念課的教學(xué)是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最為重要的組成部分，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的主要環(huán)節(jié).

2.1 課例特點

特點1：上課教師對于講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)之間的關(guān)系處理教好，引導(dǎo)在學(xué)生獨立思考探索的基礎(chǔ)上，學(xué)生的基本數(shù)學(xué)知識和基本技能掌握扎實.從學(xué)生的上課情況看，大多數(shù)學(xué)生理解了“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”的基本事實，會用符號表示.

特點2：教師努力創(chuàng)設(shè)情境，為操作活動探索垂線的性質(zhì)建立與生活的聯(lián)系，通過直觀觀察圖形和操作，幫助學(xué)生從位置關(guān)系過渡到用數(shù)量關(guān)系來刻畫，進一步通過四個角是直角突出角之間聯(lián)系，找到一個角是直角的本質(zhì)，幫助學(xué)生建立位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化.

特點3：通過有梯度的訓(xùn)練幫助學(xué)生內(nèi)化直線垂直的圖形語言、符號語言、文字語言三者之間的過渡和轉(zhuǎn)化，利用點在直線上、點在直線外分類討論，為學(xué)生掌握概念、理解性質(zhì)、懂得畫法、逐步掌握正確的學(xué)習(xí)方法提供范例.

2.2 幾何教學(xué)關(guān)鍵

鐘啟泉先生曾提到學(xué)生學(xué)習(xí)力的“冰山模型”，冰山只有浮在海面的“冰山一角”和隱藏在海面以下的“冰山基座”，浮在水面上的可見部分就是數(shù)學(xué)的基本知識、基本技能，隱藏于水面以下的不可見部分則是基本能力和基本態(tài)度，它是支撐浮出水面部分的基礎(chǔ).

在解題中，過度重視技巧，對概念的掌握經(jīng)常一筆而過是不合適的，其實在波利亞的《怎樣解題》一書中，提出了解題的四個步驟，一為弄清問題，二為擬定計劃，三為實施計劃，最后回顧反思.在教學(xué)中，可以將以上四個步驟進一步細化，從操作層面上看，弄清問題則可以以翻譯為主，從識別題干的語言到將文字語言，圖形語言，符號語言三者互譯，即三者語言關(guān)聯(lián).擬定計劃時需要回憶概念，運用課本的概念，定理，找到概念的連接點，以激活關(guān)聯(lián).實施計劃是最關(guān)鍵的，重組或是排除干擾的過程中還需要堅持自我分析，多嘗試，回顧反思中需要一檢二歸，檢驗特殊，歸納總結(jié)方法，具體循環(huán)如圖所示.

圖2

在教學(xué)中，利用概念同化方式獲得概念，即用演繹的方式獲得新的概念，學(xué)生往往不是零基礎(chǔ)的，但是進一步抽象獲得新概念，通常通過分類讓學(xué)生從不同角度理解概念，并且通過概念外延進一步理解概念，如何將所學(xué)習(xí)概念納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，形成概念系統(tǒng)，使學(xué)生經(jīng)歷一次新的概念的概括過程，明晰概念的邏輯關(guān)系，深化概念的理解是需要教師充分利用先行組織者，讓學(xué)生的直接經(jīng)驗和間接經(jīng)驗產(chǎn)生聯(lián)系，形成學(xué)生知識體系內(nèi)部的概念系統(tǒng).