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    旋轉(zhuǎn)思想在初中數(shù)學(xué)解題中的妙用

    2022-04-26 06:18:48趙令歲
    數(shù)理化解題研究 2022年11期
    關(guān)鍵詞:正方形三角形長度

    趙令歲

    (福建省永泰一中旗山校區(qū) 350700)

    在新時期教育背景下,初中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的編排越來越注重同現(xiàn)實生活相接,課本中增添有圖形變換的內(nèi)容,包括旋轉(zhuǎn)、翻折與平移等,其中旋轉(zhuǎn)思想在幾何解題中有著廣泛的運(yùn)用,也是近年來中考中經(jīng)常出現(xiàn)的一個熱點.在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目實際情況巧妙運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想,降低試題的難題,使他們快速找到突破口,最終順利解題.

    1 利用圖形旋轉(zhuǎn)思想巧妙構(gòu)圖

    在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,當(dāng)運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想處理問題時,教師通常需從問題的結(jié)論與條件切入,引領(lǐng)學(xué)生從題干中提供的圖形分析,分析題目的設(shè)計意圖,在結(jié)合旋轉(zhuǎn)變化過程中圖形性狀不發(fā)生改變的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)角度發(fā)生變化的性質(zhì)巧妙構(gòu)圖,讓學(xué)生認(rèn)真觀察和分析圖像的旋轉(zhuǎn)變化確定解題思路,達(dá)到解答問題的目的.這樣學(xué)生能夠親身經(jīng)歷圖形旋轉(zhuǎn)的過程,使他們通過解題訓(xùn)練進(jìn)一步掌握圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),并深化對旋轉(zhuǎn)思想的理解與應(yīng)用.

    例1如圖1所示,四邊形ABCD是一個正方形,三角形ADE經(jīng)順時針旋轉(zhuǎn)后同三角形ABF重合,求(1)旋轉(zhuǎn)中心是哪一點?三角形ADE旋轉(zhuǎn)多少度?(3)假如把EF連接起來,那么三角形AEF是一個什么樣的三角形?

    圖1

    解析對于第(1)、(2)小題,學(xué)生通過觀察能夠直接得出答案,即為旋轉(zhuǎn)中心是點A,三角形ADE旋轉(zhuǎn)90°同三角形ABF重合;而對于第(3)小題,教師可先組織學(xué)生在小組內(nèi)合作討論與探究,結(jié)合已經(jīng)學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)知識思考:經(jīng)常判斷三角形的形狀有直角三角形、等腰三角形與等邊三角形,再結(jié)合圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)很容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)EF連接起來以后,根據(jù)AE與AF相等、∠1與∠2相等能夠得到∠EAF=∠2+∠3=90°,所以在三角形AEF中,AE=AF,∠∠EAF=90°,這充分說明三角形AEF是一個等腰直角三角形.

    2 運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)思想巧妙猜想

    在處理數(shù)學(xué)問題時,進(jìn)行合理猜想能夠讓題目顯得更有活力與魅力,通過旋轉(zhuǎn)思想的妙用融入到幾何變式類的問題中,借此凸顯出數(shù)學(xué)猜想的重要作用.要想培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想能力,教師需堅持循序漸進(jìn)的原則,借助一些變式訓(xùn)練,為學(xué)生進(jìn)行猜想奠定良好基礎(chǔ),讓他們學(xué)會從多個視角分析與解決問題.初中數(shù)學(xué)教師在解題訓(xùn)練中,可指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)思想進(jìn)行巧妙猜想,把不同的圖形關(guān)聯(lián)起來,讓他們進(jìn)行觀察、類比、猜想與驗證.

    例2如圖2(1)所示,三角形ABC是一個等腰直角三角形,其中AC=BC,四邊形CDEF是一個正方形,連接BD、AF,(1)觀察圖形,猜想AF與BD之間的關(guān)系,且證明;(2)如果把正方形CDEF繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn),使之一邊落在三角形ABC內(nèi),請畫出一個變換后的圖形,并對照已知圖形標(biāo)記字母,分析題(1)中猜想的結(jié)論是否仍然成立?假如成立,直接寫出結(jié)論,無需證明,如果不成立,說明理由.

    圖2

    解析(1)讓通過觀察學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖中隱含著旋轉(zhuǎn)變換,△ACF繞C點順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△BCD,由此猜想出AF=BD,且AF⊥BD.這樣的猜想過程能為證明做鋪墊,讓學(xué)生順利找到證明兩個三角形全等的條件,得到△ACF≌△BCD,推出AF=BD與∠AFC=∠BDC,再利用∠AFC+∠FGC=90°得到AF⊥BD.(2)圖2(2)是CD邊在△ABC內(nèi)部時,圖2(3)是CF邊在△ABC內(nèi)部時,當(dāng)正方形CDEF繞點C旋轉(zhuǎn)時,一邊落在△ABC內(nèi)部,始終有AF=BD數(shù)量關(guān)系與AF⊥BD的位置關(guān)系.

    3 采用圖形旋轉(zhuǎn)思想巧妙轉(zhuǎn)化

    在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中,讓學(xué)生“做一做,動一動”思維能夠變得更加活躍,而遇到一些難以處理的幾何圖形類問題時,教師可以指導(dǎo)他們巧妙運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想,對題目中的圖形或者圖形的一部分進(jìn)行旋轉(zhuǎn),由此找到解題的突破口.同時,初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)提示學(xué)生緊緊抓住旋轉(zhuǎn)后新圖形和原圖形所具備的性質(zhì),并依據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、等腰三角形、等邊三角形及正方形的性質(zhì)等,讓他們學(xué)會化繁為簡,使其快速、準(zhǔn)確的找到解題方法,

    例3如圖3所示,在三角形ABC中,AC與BC的長度一樣,點D是邊AB上的一點,求證:DB2+AD2=2CD2.

    圖3

    解析處理旋轉(zhuǎn)類的問題時要抓住兩點:一是旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形全等,二是利用好旋轉(zhuǎn)的角度.具體解答方法如下:學(xué)生利用旋轉(zhuǎn)與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,把△ACD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°,再把ED連接起來,這樣將分散的線段DB、AD與CD整合到兩個直角三角形△BDE和△CDE中,結(jié)合勾股定理能夠得到ED2=DB2+BE2=DB2+AD2,繼而得到ED2=CD2+CE2=2CD2.

    4 巧用旋轉(zhuǎn)思想解決角度問題

    在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,幾何圖形類題目占據(jù)著較大的比重,在平常訓(xùn)練與考試中均較為常見,而計算角度類問題屬于基礎(chǔ)性題型,處理這類題目時,需要結(jié)合已知條件把分散的條件進(jìn)行集中分析與處理.對此,初中數(shù)學(xué)教師可以引導(dǎo)學(xué)生巧妙應(yīng)用旋轉(zhuǎn)思想分析和解決角度問題,先對原圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變化,分析圖形的特殊位置和角度,再結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)公式展開解題,使其把陌生問題轉(zhuǎn)變成熟悉的問題,把復(fù)雜問題變得簡單化,讓他們輕松解題.

    例4如圖4(1)所示,點P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點,其中PA的長度是3,PB的長度是4,PC的長度是5,求∠APB的大小.

    圖4

    解析當(dāng)學(xué)生看到3、4、5在這組數(shù)據(jù)時,通常會第一時間想到勾股定理,這是直角三角形的三條邊的長度,但是在本題中分散在三角形ABC內(nèi)部,解題該題的關(guān)鍵是想法將這分散的三邊集中到同一個三角形中,通過旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化實現(xiàn).具體來說,可以讓三角形APB圍繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后得到三角形ADC,把PD連接起來,如圖4(2)所示,則AD=AP=3,DC=PB=4,∠PAD=60°,所以三角形PAD是一個等邊三角形,則PD=PA=3,在三角形PDC中,PD2+DC2=32+42=52,PC2=52,由此得到∠PDC=90°,則∠APB=∠ADP+∠PDC=60°+90°=150°.

    5 巧用旋轉(zhuǎn)思想解決長度問題

    對初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)而言,計算線段長度類問題也十分常見,這類題目從表面上看往往難度不大,但是仔細(xì)觀察圖形與分析題目內(nèi)容以后,發(fā)現(xiàn)并不易求解,而且部分題目給出的條件較少,學(xué)生極易陷入到困境之中,他們很難快速形成準(zhǔn)確的解題思路.因此,初中數(shù)學(xué)教師在具體的解題訓(xùn)練中,可以指導(dǎo)學(xué)生利用旋轉(zhuǎn)思想對題目中的圖形展開旋轉(zhuǎn)與變換,明確旋轉(zhuǎn)以后角、邊的元素變化情況,使其形成清晰的解題思路,提高解題效率.

    例5如圖5(1)所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD

    圖5

    解析經(jīng)過觀察后發(fā)現(xiàn)將三角形BCE圍繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°,就能夠構(gòu)成一個正方形,再結(jié)合三角形全等的性質(zhì)確定邊與邊自己的關(guān)系.具體解題方法如下:把OA延長,使三角形BCE圍繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°,同DA的延長線分別相交于點G與點M,如圖5(2)所示,得出一個正方形BCGDG,則BC=BG,又因為∠CBE=∠GBM,所以Rt△BEC≌Rt△BMG,BM=BE,∠ABE=∠ABM=45°,△ABE≌△ABM,AM=AE=10,此時,設(shè)CE=x,則AG=10-x,AD=12-(10-x)=2+x,DE=12-x,那么在Rt△ADE中,AE2=AD2+DE2,即102=(x+2)2+(12-x)2,化簡后得到x2-10x+24=0,解之得x1=4,x2=6,即為CE的長是4或者6.

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