基于核密度估計的重載組合列車縱向載荷譜外推研究

胡李軍，薛 海，周 宇

(蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070)

隨著我國重載貨運技術(shù)的發(fā)展，以及大功率交流傳動電力機(jī)車、無線重聯(lián)同步操作控制、大軸重、輕質(zhì)鋁合金車體以及3輛貨車為一個固定單元、兩端采用旋轉(zhuǎn)式自動車鉤、貨車中間采用牽引桿連接等新技術(shù)的應(yīng)用，貨物運輸由目前5 000-7 000 t的普通單元貨運列車，提升為1萬t重載單元或組合列車，重載化已成為鐵路貨運的發(fā)展趨勢[1-2].縱向載荷譜作為重載列車關(guān)鍵技術(shù)基礎(chǔ)性研究方向之一，表征了載荷大小與出現(xiàn)次數(shù)之間的關(guān)系，是重載列車整車和關(guān)鍵承載部件結(jié)構(gòu)設(shè)計、安全評估和維修策略制定的理論基礎(chǔ).

由于受測試條件、經(jīng)濟(jì)成本、技術(shù)手段等因素限制，目前重載組合列車縱向載荷譜的外推方法是將雨流矩陣乘以測試?yán)锍痰谋稊?shù)，實現(xiàn)頻次上的增加[3-5]，而未充分考慮線路條件、機(jī)車操縱、載荷工況等不確定性因素，缺少縱向載荷及其出現(xiàn)次數(shù)在數(shù)理統(tǒng)計層面的特性表征，準(zhǔn)確度較差.此外，載荷譜中小載荷的出現(xiàn)次數(shù)占總次數(shù)的大多數(shù)，而大載荷出現(xiàn)次數(shù)較少，有限測試?yán)锍痰妮d荷數(shù)據(jù)不遵循均值服從正態(tài)分布、幅值服從威布爾分布的假定[6]，從而使得在譜級數(shù)選取不合理的情況下，存在載荷譜擬合效果差、多級載荷段表征不連續(xù)、極值載荷確定樣本不足等問題.針對上述重載組合列車縱向載荷譜外推存在的問題，結(jié)合目前鐵路重載化發(fā)展趨勢，以某線路1萬t重載組合列車為研究對象，對數(shù)據(jù)分布形式不需要假定的條件下，運用核密度估計的非參數(shù)統(tǒng)計方法進(jìn)行載荷譜外推，建立高表征度的重載組合列車縱向載荷譜.

1 縱向載荷特性分析

重載組合列車在牽引、啟動、制動調(diào)速、進(jìn)站停車期間，車輛之間存在著拉伸或壓縮運動，產(chǎn)生的縱向載荷通過車鉤緩沖裝置進(jìn)行傳遞.由于重載組合列車采用非剛性的自動車鉤，且鉤體尾部弧面與從板球形弧面之間有一定的活動間隙，存在垂向和橫向運動.為獲得較為準(zhǔn)確的縱向載荷，通過在鉤體鉤身位置處沿縱向粘貼多組應(yīng)變片篩選中性層的方法制作測力車鉤，以此排除橫向載荷和垂向載荷的影響.試驗車輛為由117輛C80型鋁合金敞車組成的1萬 t運煤重載列車，從控機(jī)車位于第60輛貨車前部.

根據(jù)縱向載荷頻譜特性和信號采集相關(guān)理論，設(shè)置采樣頻率為500 Hz.圖1為測試某一趟的重車和空車縱向載荷-時間歷程，可知：不同工況下縱向載荷呈非對稱性，且在空、重車條件下，最大拉伸載荷分別為733 kN和1 224 kN，最大壓縮載荷分別為637 kN和1 030 kN，均方根值分別為153 kN和362 kN，重車時的縱向載荷大于空車的載荷；若取車鉤材料E級鋼的疲勞性能參數(shù)m值為4，則空、重車縱向載荷所造成的損傷占比分別為88.2%和11.8%，說明重車時的縱向載荷是造成重載組合列車部件損傷的主要原因.

圖1 縱向載荷-時間歷程Fig.1 Longitudinal load-time history

采用雨流計數(shù)獲得縱向載荷-時間歷程的雨流矩陣，分級數(shù)取為128級，統(tǒng)計分析縱向載荷均值與幅值的概率分布特性，結(jié)果如圖2所示.

圖2 載荷概率統(tǒng)計Fig.2 Probability statistics of load

取顯著性水平α=0.05，將所有均值分成k個互不重迭的小區(qū)間，每個小區(qū)間的頻數(shù)記作ni，根據(jù)式(1)獲得總體樣本落入第i個區(qū)間的概率pi，進(jìn)而依據(jù)式(2)對均值是否符合正態(tài)分布進(jìn)行χ2非參數(shù)假設(shè)檢驗.

(1)

(2)

式中：ai-1、ai分別是第i個區(qū)間的左、右端點；μ為總體樣本的均值；σ為總體樣本的標(biāo)準(zhǔn)差；n為樣本總數(shù).

2 載荷的非參數(shù)統(tǒng)計

由于重載組合列車縱向載荷受機(jī)車操縱、空重車狀態(tài)、線路條件、運行工況等因素的影響較大，綜合比較多種載荷譜外推方法，采用基于核密度估計的非參數(shù)統(tǒng)計方法外推，一方面該種方法不依賴樣本的具體分布形式，可以克服縱向載荷分布呈現(xiàn)的不規(guī)則特性，獲得較好的統(tǒng)計穩(wěn)健性，另一方面統(tǒng)計結(jié)果高度依賴有限的樣本，可以全面地反映多種影響因素導(dǎo)致的結(jié)果分散性，得到與實際情況相符的結(jié)果[7-9].

采用雨流計數(shù)法，對縱向載荷-時間歷程進(jìn)行編譜，得到相應(yīng)的均值-幅值(Fm-Fa)二維雨流矩陣.由于在連掛車輛間存在著相對的拉伸-壓縮運動，根據(jù)縱向載荷作用方向的不同，依據(jù)式(3)～(4)分別獲得拉伸載荷FL和壓縮載荷FY為：

拉伸載荷：

(3)

壓縮載荷：

(4)

由于在同一車位、不同測試下雨流矩陣的各級載荷不相等，不易實現(xiàn)各次數(shù)對應(yīng)維度元素的疊加計算，為此，考慮載荷均值對結(jié)構(gòu)損傷的影響，根據(jù)疲勞累積損傷理論和材料的S-N曲線，通過Goodman公式修正載荷幅的方式計算各級載荷所造成的結(jié)構(gòu)損傷占比di為：

(5)

式中：Di為修正的載荷幅Fa1i造成的結(jié)構(gòu)損傷；DZ為載荷造成的結(jié)構(gòu)總損傷；Ni為Fa1i對應(yīng)的出現(xiàn)次數(shù).

(6)

式中：h為帶寬；K(·)為選取的核函數(shù)；nj為測試次數(shù).

由于帶寬取值的大小決定了核密度估計函數(shù)的平滑程度，影響估值的結(jié)果.為此，采用積分均方誤差(MISE)進(jìn)行最佳帶寬的選取，其表達(dá)式為:

(7)

(8)

(9)

在損傷一致的條件下，保證總損傷不變，通過改變前后各級載荷對應(yīng)損傷的縮放修正，可實現(xiàn)修正的載荷幅Fa1與所造成結(jié)構(gòu)損傷Di的關(guān)系表達(dá)式，使其具有通用性.與此同時，依據(jù)式(4)～(9)，可獲得總損傷DZ的概率分布.

由于較大載荷是造成重載組合列車承載部件損傷的主要原因，為此，在不同概率對應(yīng)的載荷譜外推過程中，需要確定載荷的最大值.考慮載荷波動連續(xù)性對載荷最大值的影響，通過載荷數(shù)據(jù)的分組整合進(jìn)行倒序排列，分別提取同一車位、不同測試雨流矩陣中出現(xiàn)1次的載荷，提取截至到出現(xiàn)次數(shù)為2次的載荷，采用核密度估計的方法，依據(jù)式(4)～(9)，可獲得載荷譜中最大級載荷的概率分布.

設(shè)概率P對應(yīng)獲得的最大級載荷為FmaxP，譜級數(shù)為NP，總損傷為DZP，則外推所得載荷譜中各級載荷對應(yīng)次數(shù)Ni的表達(dá)式為：

(10)

式中：f(·)為載荷幅Fa1與造成的結(jié)構(gòu)損傷Di的關(guān)系表達(dá)式.

3 縱向載荷譜的外推

圖3 不同概率下的載荷-損傷關(guān)系Fig.3 Load-damage relationship under different probabilities

對比分析多種曲線擬合模型，采用表達(dá)式(11)所示的一元高次多項式模型，進(jìn)行載荷與所造成損傷關(guān)系曲線擬合的效果較佳，從而定量分析不同概率下載荷-損傷關(guān)系，結(jié)果如表1所示.采用優(yōu)度系數(shù)對擬合效果進(jìn)行檢驗，其中99%概率下拉伸載荷-損傷擬合效果最差，為0.914，所有擬合值都接近1，說明擬合效果較好.

表1 不同概率下的載荷-損傷關(guān)系表達(dá)式系數(shù)

D(F)=A0F4+A1F3+A2F2+A3F+A4.

(11)

分別選取各測試次數(shù)對應(yīng)的總譜級損傷，采用核密度估計的方法，獲得拉伸載荷和壓縮載荷所造成的損傷概率分布曲線，結(jié)果如圖4所示，以50%概率對應(yīng)的譜級損傷為基準(zhǔn)，得到50%、90%、95%和99%概率下， 拉伸載荷對應(yīng)的總譜級損傷比為1∶1.23∶1.29∶1.39，壓縮載荷對應(yīng)的總譜級損傷比為1∶2.02∶2.14∶2.37.同理，可獲得拉伸載荷和壓縮載荷最大值的概率分布曲線.

圖4 損傷的核密度估計分布Fig.4 Damaged nuclear density estimation distribution

根據(jù)式(10)得到不同概率下載荷-次數(shù)-譜級損傷的關(guān)系.圖5為50%、90%、95%和99%概率下載荷-次數(shù)-損傷關(guān)系曲線，從中得出：隨著載荷的增加，外推的載荷和次數(shù)同時發(fā)生了變化，且次數(shù)變化差異性不大，但所造成的損失呈指數(shù)級增加.

圖5 載荷-次數(shù)-損傷的關(guān)系Fig.5 Load-time-damage relationship

取載荷大于1 000 kN的譜級，得到50%、90%、95%和99%概率下所外推的載荷-次數(shù)關(guān)系如圖6所示，從中得出：隨著統(tǒng)計概率的增加，載荷和次數(shù)同步增加.

圖6 載荷-次數(shù)關(guān)系Fig.6 Load-time relationship

4 外推載荷譜的等效變換

在重載組合列車承受縱向載荷的結(jié)構(gòu)設(shè)計時，根據(jù)結(jié)構(gòu)的重要程度選取不同的可靠度，從而需確定相對應(yīng)概率外推下的載荷譜，當(dāng)譜級數(shù)選取過多，降低了設(shè)計效率，不宜用于結(jié)構(gòu)設(shè)計.在開展重載列車結(jié)構(gòu)縱向疲勞試驗時，設(shè)備可施加的載荷受其技術(shù)參數(shù)的制約，考慮試驗時間和成本的因素，需要在充分利用試驗設(shè)備的同時盡可能減少試驗次數(shù).為此，在保證損傷一致性的前提條件下，需要對不同外推概率下的載荷譜進(jìn)行等效變換.根據(jù)式(10)，在保證損傷不變的情況下實現(xiàn)載荷-次數(shù)的變換.

圖7取最大載荷為1 063 MPa時，等效變換所得到的不同概率下的載荷-累積次數(shù)關(guān)系曲線，從中得到：50%、90%、95%和99%概率下，取編譜公里數(shù)為測試公里數(shù)的100倍，則拉伸載荷的次數(shù)分別為425、516、525、581次，壓縮載荷的次數(shù)分別為186、372、389、429次，而當(dāng)載荷次數(shù)統(tǒng)一取為2次時，對應(yīng)的拉伸載荷分別為642、673、677、693 kN，壓縮載荷分別為928、1 103、1 116、1 144 kN，從而通過縮減次數(shù)、增加載荷的方式實現(xiàn)載荷譜的等效變換.

從圖7可以看出，在90%、95%和99%概率下外推的結(jié)果與原測試載荷(概率50%)下的趨勢基本一致，較好的保留了測試載荷的分布特征，且外推獲得了不同概率下大、中載荷對應(yīng)的循環(huán)次數(shù)，相對于線性外推方法具有明顯優(yōu)勢.

圖7 外推載荷譜的等效變換Fig.7 Equivalent transformation of extrapolated load spectrum

5 外推載荷譜的驗證

為驗證上述所得不同概率下外推載荷譜的有效性，目前所采用的方法主要有統(tǒng)計參數(shù)檢驗、擬合度檢驗、疲勞損傷檢驗等[13-14].由于載荷譜是進(jìn)行結(jié)構(gòu)疲勞設(shè)計和疲勞試驗的前提，同時也是制定疲勞規(guī)范和安全評定的基礎(chǔ)，為此，選用疲勞損傷檢驗的方法進(jìn)行1萬t重載組合列車縱向載荷譜外推有效性的驗證.由于縱向載荷-時間歷程是通過測力車鉤獲得，為此，以車鉤為驗證對象.

根據(jù)參考文獻(xiàn)[15]得，車鉤拉伸載荷和壓縮載荷的應(yīng)力轉(zhuǎn)換系數(shù)分別為0.36 MPa/kN和0.14 MPa/kN，車鉤材料E級鋼的疲勞極限δe=143.8 MPa，所對應(yīng)的疲勞壽命為2×106次，疲勞性能參數(shù)m值取為4，考慮車鉤疲勞性能的分散性，通過數(shù)理統(tǒng)計和曲線擬合獲得99.5%可靠度下的P-S-N曲線為：

S4·N=8.55×1014,

(12)

根據(jù)結(jié)構(gòu)疲勞損傷理論，得到第i級載荷對應(yīng)循環(huán)次數(shù)ni下的車鉤疲勞損傷為：

(13)

式中：Fi為第i級等效載荷，f為應(yīng)力轉(zhuǎn)換系數(shù).

依據(jù)表達(dá)式(13)，得到拉伸載荷譜和壓縮載荷譜在車鉤服役100萬km對應(yīng)的損傷計算結(jié)果見表2.

表2 不同概率下的載荷總損傷對比結(jié)果

結(jié)合表2和圖7可以得出，隨著外推概率的增加，較大載荷循環(huán)產(chǎn)生的次數(shù)明顯增多，造成的累積損傷也隨之增加.與概率為50%的結(jié)果相比，在概率為99%的情況下，拉伸載荷譜所造成的總損傷是50%概率對應(yīng)損傷的1.40倍，壓縮載荷譜所造成的總損傷是50%概率對應(yīng)損傷的2.35倍，與載荷譜外推理論實際情況相符，從而證明了外推結(jié)果的有效性.

6 結(jié)論

1) 采用核密度估計的非參數(shù)統(tǒng)計方法，建立不同概率下載荷譜的外推，在保證結(jié)構(gòu)損傷一致的條件下，不依賴樣本的概率分布可通過各級損傷的縮放修正，實現(xiàn)不同概率下載荷-次數(shù)-譜級損傷關(guān)系的外推，并根據(jù)實際情況實現(xiàn)載荷譜的等效變換.

2) 隨著外推載荷譜中載荷的增加，各級縱向載荷所造成的結(jié)構(gòu)損傷呈指數(shù)式變化，且大載荷級造成的損傷占比較大，而在不同的外推概率下，小載荷區(qū)載荷級所造成的損傷差異性較小.

3) 通過不同概率下外推結(jié)果，可以得出隨著概率的增加，外推獲得了較多低周、較大載荷，外推概率99%下的拉伸載荷譜疲勞損傷損傷比實際測試的增加40%，壓縮載荷譜增加135%.為此，在載荷譜編制時有必要獲得可能出現(xiàn)的較大載荷.

4) 根據(jù)結(jié)構(gòu)所受載荷特點，可將基于核密度估計的縱向載荷譜外推方法，推廣應(yīng)用到其他軌道車輛裝備零部件載荷譜的外推，以此考慮載荷分散性的前提條件下，實現(xiàn)高表征度縱向載荷譜的外推.