凍融循環(huán)作用下水泥土統(tǒng)計(jì)損傷模擬方法

蘇艷軍

(中國建筑東北設(shè)計(jì)研究院有限公司，沈陽 110166)

水泥土是以土、水、水泥和外加劑按比例摻和而成的多相混合體系，廣泛應(yīng)用于公路工程、地基基礎(chǔ)工程[1-2]。北方季凍區(qū)一年四季溫差較大，冬季結(jié)冰，夏季融化[3]，公路路基既承受交通荷載，維護(hù)公路面層及基層的穩(wěn)定，又受凍融循環(huán)作用影響，易發(fā)生翻漿、凍脹導(dǎo)致路面沉陷、裂縫、擁包等病害，威脅車輛行駛安全[4-5]，因此模擬水泥土在凍融循環(huán)作用下的力學(xué)行為具有十分重要的意義[6]。

中外已有較多水泥土力學(xué)行為及本構(gòu)模型的研究，童小東等[7]引入連續(xù)損傷理論，基于塑性功硬化規(guī)則構(gòu)建彈塑性損傷模型；陳四利等[8]開展飽水環(huán)境下水泥土單軸壓縮試驗(yàn)，建立細(xì)觀空隙損傷模型；Lee等[9]引入提出黏結(jié)應(yīng)力比，考慮水泥土顆粒間的黏結(jié)效應(yīng)以及粘結(jié)隨圍壓和剪應(yīng)變的退化，建立一種塑性本構(gòu)模型；張本蛟等[10]引入進(jìn)行水泥土單軸和三軸壓縮試驗(yàn)，分析其力學(xué)性能隨摻量的變化趨勢，采用Popovics模型擬合試驗(yàn)數(shù)據(jù)，取得較好成效；Nguyen等[11]基于臨界狀態(tài)土力學(xué)，考慮水泥和黏土之間的化學(xué)膠結(jié)作用，提出一個(gè)新的本構(gòu)模型，并成功辨識摻量10%的水泥土試驗(yàn)數(shù)據(jù)；Yapage等[12]將臨界狀態(tài)框架、邊界面塑性和動(dòng)態(tài)屈服面概念與Mohr-Coulomb模型相結(jié)合，提出一種新的水泥土本構(gòu)模型；周海龍等[13]以內(nèi)蒙古黃河灌區(qū)粉砂土為主要骨料，以硅酸鹽水泥為膠凝材料，制作水泥土試樣開展單軸抗壓室內(nèi)試驗(yàn)，通過研究高徑比及摻量對強(qiáng)度的影響，提出一種強(qiáng)度預(yù)測模型。

統(tǒng)計(jì)損傷理論在巖土體本構(gòu)關(guān)系模擬中取得較好的效果，在水泥土變形破壞全過程模擬中鮮有報(bào)道。考慮到水泥土強(qiáng)度分布的隨機(jī)性，假設(shè)水泥土受荷微元強(qiáng)度服從某種概率隨機(jī)分布無疑是一條創(chuàng)新性途徑?；诖?，現(xiàn)開展不同凍融循環(huán)次數(shù)下的三軸壓縮試驗(yàn)，根據(jù)彈性模量衰減規(guī)律定義凍融損傷變量，假設(shè)受荷損傷微元強(qiáng)度服從Weibull概率密度分布，得到受荷損傷變量，從水泥土受荷微單元和凍融微單元之間的關(guān)系出發(fā)，構(gòu)建凍融、受荷總損傷變量，引入損傷修正因子，建立新的凍融循環(huán)作用下的水泥土統(tǒng)計(jì)損傷模型。基于試驗(yàn)成果和線性回歸曲線擬合法，求取模型參數(shù)，分析損傷累積規(guī)律，并模擬水泥土力學(xué)行為。以期為凍融循環(huán)作用下水泥土力學(xué)行為模擬和季凍區(qū)公路路基設(shè)計(jì)、施工及養(yǎng)護(hù)提供一定參考。

1 凍融循環(huán)作用下水泥土統(tǒng)計(jì)損傷模型

1.1 損傷變量的定義

水泥土作為一種復(fù)雜的混合物，內(nèi)部存在較多的缺陷，在凍融循環(huán)及外界荷載的共同作用下，水泥土內(nèi)部微缺陷不斷發(fā)育擴(kuò)展，凍融循環(huán)作用以及外界荷載作用造成的損傷逐漸累積，最終造成水泥土宏觀力學(xué)性能的劣化，故需同時(shí)考慮凍融循環(huán)及外界荷載的損傷劣化效應(yīng)，構(gòu)建凍融循環(huán)損傷和受荷損傷演化方程。

假設(shè)水泥土由N(N→∞)個(gè)微單元組成，其中凍融循環(huán)和外界荷載作用造成的微單元損傷個(gè)數(shù)為N1，無損微單元個(gè)數(shù)為N2，其中N1由凍融損傷微單元Nn和受荷損傷微單元Np組成。故定義凍融、受荷總損傷變量為

(1)

凍融、受荷總損傷變量D∈[0，1]。單獨(dú)考慮水泥土微單元個(gè)數(shù)，將凍融損傷變量Dn理解為凍融循環(huán)作用造成的微單元損傷個(gè)數(shù)與水泥土總體微單元N的比值，受荷損傷變量Dp理解為外界荷載作用造成的微單元損傷個(gè)數(shù)與水泥土總微單元去除凍融損傷微單元后的比值，于是有

(2)

聯(lián)立式(1)、式(2)可得

D=Dn+Dp-DnDp

(3)

式(3)即本文凍融、受荷總損傷的演化方程，這里D不再是單一相加而得，表明凍融、荷載對水泥土造成的損傷是一種相互影響、作用的結(jié)果，實(shí)質(zhì)上根據(jù)式(3)得到的損傷變量量值小于式(1)。

凍融循環(huán)和外界荷載作用在水泥土材料時(shí)，由于作用機(jī)理的不同，造成的損傷衰減的程度、效果也不同。兩者作用的耦合效應(yīng)使得水泥土受損部位的損傷程度、效果持續(xù)反饋調(diào)整，導(dǎo)致水泥土材料力學(xué)性能衰減。唯象損傷力學(xué)理論[14]認(rèn)為彈性模量的衰減規(guī)律可從一定程度上反映材料損傷劣化，故將水泥土材料在不同循環(huán)次數(shù)的凍融作用下的彈性模量劣化規(guī)律表征凍融損傷變量Dn，即

(4)

式(4)中：E0為未經(jīng)過凍融作用的彈性模量；En為凍融循環(huán)n次后的彈性模量。由于凍融損傷變量Dn僅與E0和En相關(guān)，將凍融損傷作用理解為一種隨凍融循環(huán)次數(shù)變化的持續(xù)作用，當(dāng)達(dá)到目標(biāo)次數(shù)時(shí)，水泥土材料的凍融損傷變量Dn表現(xiàn)為某一具體量值。

在外界荷載作用下，由于水泥土材料的非均質(zhì)性，其內(nèi)部各個(gè)微單元受荷存在較大的隨機(jī)性，導(dǎo)致材料受荷損傷也是隨機(jī)分布，假定水泥土材料受荷損傷微元強(qiáng)度F=f(σ*)服從某種概率密度分布，則受荷損傷變量為

(5)

式(5)中：σ*為有效應(yīng)力；P為受荷損傷微元強(qiáng)度的某一積分函數(shù)。由于水泥土材料在外界荷載作用下持續(xù)受荷，受荷期間材料內(nèi)部微單元隨機(jī)分布，故將受荷損傷作用定義為一種隨著應(yīng)力變化和應(yīng)變增長而逐漸累積的持續(xù)作用。

Weibull分布廣泛應(yīng)用于材料壽命檢驗(yàn)，假設(shè)受荷損傷微元強(qiáng)度服從Weibull分布，則其概率密度分布函數(shù)P(F)為

(6)

式(6)中：m和F0為Weibull分布參數(shù)；F為受荷損傷微元強(qiáng)度。

當(dāng)應(yīng)力水平加載至Y時(shí)，受荷損傷破壞的微單元數(shù)目Np為

(7)

Dp=P(Y)

(8)

將式(7)和式(8)代入式(6)可得

(9)

式(9)即受荷損傷變量Dp的損傷演化方程。

將式(4)和式(9)同時(shí)代入式(3)可得

(10)

式(10)即凍融、受荷總損傷變量D的損傷演化方程。

1.2 統(tǒng)計(jì)損傷模型的建立

假設(shè)水泥土材料在凍融循環(huán)和外界荷載作用下產(chǎn)生各向同性損傷，損傷僅在最大主應(yīng)力σ1方向累積擴(kuò)散。在水泥土三軸壓縮試驗(yàn)中，圍壓σ3=中間主應(yīng)力σ2，假定無損水泥土材料服從從Hooke定律，于是有

(11)

依據(jù)Lemaitrel應(yīng)變等價(jià)性假說[15]，可通過如下形式進(jìn)行損傷演化，即

(12)

式(12)中:σ*和σ分別為有效應(yīng)力和表觀應(yīng)力；E為彈性模量；ε為軸向應(yīng)變。

通過式(12)對式(11)進(jìn)行損傷演化，同時(shí)考慮到水泥土破壞后存在一個(gè)殘余強(qiáng)度，故引入一個(gè)損傷修正因子η[16]，由此可得本文所建模型的本構(gòu)方程為

σ1=Enε1(1-ηD)+2μnσ3

(13)

式(13)中：η為損傷修正因子；μn為凍融循環(huán)n次后的泊松比。式(13)即凍融循環(huán)作用下水泥土統(tǒng)計(jì)損傷模型。

受荷損傷變量Dp與F緊密關(guān)聯(lián)，考慮到受荷微元強(qiáng)度的可計(jì)算性，結(jié)合文獻(xiàn)[17]，選取Mises屈服強(qiáng)度準(zhǔn)則將受荷損傷微元強(qiáng)度F為

(14)

式(14)中：J2為應(yīng)力偏量第二不變量。

(15)

再由式(11)、式(12)和式(15)可得

(16)

將式(14)～式(16)代入式(9)可得

(17)

式(17)即受荷損傷變量Dp的損傷演化表達(dá)式。

將式(14)～式(16)代入式(10)可得

(18)

式(18)即凍融、受荷總損傷變量D的損傷演化表達(dá)式。再將式(18)代入式(13)便可得到本文所建凍融循環(huán)作用下水泥土統(tǒng)計(jì)損傷模型的本構(gòu)方程。

2 模型驗(yàn)證及參數(shù)解析

2.1 水泥土凍融循環(huán)試驗(yàn)

本次試驗(yàn)背景為某高速內(nèi)蒙古境內(nèi)段，試驗(yàn)所用土樣取自內(nèi)蒙古呼和浩特地區(qū)，土樣介于1～2 mm、1～0.5 mm、0.5～0.25 mm、0.25～0.75 mm及小于0.75 mm的顆粒質(zhì)量分?jǐn)?shù)分別為1.53%、11.76%、26.59%、33.75%和26.37%。土樣基本物理性質(zhì)指標(biāo)如表1所示。

表1 土樣基本物理性質(zhì)指標(biāo)

本次試驗(yàn)使用內(nèi)蒙古天皓水泥集團(tuán)有限公司生產(chǎn)的32.5級礦渣硅酸鹽水泥，初凝、終凝時(shí)間分別為150 min和250 min。水泥摻量為水泥質(zhì)量和干土質(zhì)量的百分比，本次試驗(yàn)選取6%和10%兩種水泥摻量。水泥土材料的最大干密度、最佳含水率與摻量的關(guān)系曲線如圖1所示。水泥與土相互作用，發(fā)生膠結(jié)和化學(xué)反應(yīng)，細(xì)小顆粒凝聚成較大團(tuán)狀體，水泥土材料的最大干密度相比原狀土降低，最佳含水率相比原狀土升高。

圖1 最大干密度、最佳含水率與摻量的關(guān)系曲線

根據(jù)最佳含水率加水?dāng)嚢锠F料，時(shí)間不少于12 h，然后分別加入摻量6%和10%的水泥繼續(xù)均勻攪拌。以靜壓法制備95%壓實(shí)度的試件，試件規(guī)格為直徑40 mm、高80 mm的圓柱體，保鮮膜密封后養(yǎng)生28 d。水泥土養(yǎng)生結(jié)束后，進(jìn)行循環(huán)凍融，以-18 ℃的凍結(jié)溫度在低溫恒溫箱內(nèi)養(yǎng)生12 h，再在20 ℃恒溫水中養(yǎng)生12 h，如此24 h的養(yǎng)生周期為1次凍融循環(huán)。將凍融循環(huán)次數(shù)設(shè)定為0、5、10、20、50次，達(dá)到目標(biāo)凍融循環(huán)次數(shù)后，先取出部分試樣，其余試驗(yàn)繼續(xù)凍融循環(huán)，直至達(dá)到下一目標(biāo)次數(shù)。

采用CSS-2901TS型土體三軸流變試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行三軸壓縮試驗(yàn)，圍壓設(shè)定為0.5 MPa，剪切速度為0.05 mm/min，試驗(yàn)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)對每0.5 mm的位移計(jì)數(shù)1次，直至讀數(shù)達(dá)到峰值。水泥摻量6%和10%下不同凍融循環(huán)次數(shù)的水泥土三軸壓縮試驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。

圖2 不同凍融循環(huán)次數(shù)的水泥土偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線

由圖2可看出，水泥土三軸抗壓強(qiáng)度隨著凍融循環(huán)次數(shù)的增加而遞減，取偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線的近似直線段的斜率作為彈性模量，發(fā)現(xiàn)水泥土彈性模量也隨著凍融循環(huán)次數(shù)的增加而遞減。

總體上，水泥摻量的增加促進(jìn)水泥土抗壓強(qiáng)度的增強(qiáng)。在摻量6%和10%的情況下，凍融循環(huán)50次的三軸抗壓強(qiáng)度分別為未經(jīng)歷凍融循環(huán)的32.73%和38.25%，這說明凍融循環(huán)作用能大幅削弱水泥土材料的抗壓強(qiáng)度，在季凍區(qū)水泥土路基設(shè)計(jì)、施工和后期養(yǎng)護(hù)中不可忽視凍融循環(huán)作用的影響。

2.2 模型參數(shù)求解

2.2.1 參數(shù)E0、En和μn和η

曹瑞瑯等[16]利用統(tǒng)計(jì)損傷模型辨識巖土體材料三軸壓縮試驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，考慮到殘余強(qiáng)度使得材料破壞后仍有一定的承載能力，將損傷修正因子η定義為

(19)

式(19)中：σr為殘余強(qiáng)度；σ1c為三軸抗壓強(qiáng)度。水泥土材料變形破壞全過程與巖土體類似，皆存在抗壓強(qiáng)度和殘余強(qiáng)度，故采用式(19)作為水泥土損傷修正因子，基于試驗(yàn)結(jié)果求取。

參數(shù)E0、En和μn分別為未經(jīng)過凍融的水泥土彈性模量、凍融循環(huán)n次的彈性模量和泊松比，根據(jù)水泥土凍融循環(huán)試驗(yàn)可以確定，參數(shù)E0、En、μn和η如表2所示。

由表2可看出，水泥土彈性模量隨著凍融循環(huán)次數(shù)的增加而遞減，泊松比隨著凍融循環(huán)次數(shù)的增加而遞增。

表2 E0、En、μn和η

在同樣凍融循環(huán)次數(shù)下，隨著水泥摻量的增加，彈性模量遞增，泊松比遞減。E0為未經(jīng)過凍融作用的初始彈性模量，水泥摻量6%和10%的E0分別為230.970 MPa和297.654 MPa。

2.2.2 參數(shù)m和F0

將式(10)代入式(13)變形可得

(20)

對式(20)等號兩邊同時(shí)取對數(shù)可得

(21)

繼續(xù)對式(21)等號兩邊同時(shí)取對數(shù)可得

=mlnF-mlnF0

(22)

式(22)可變形為

Y=mX+A

(23)

式(20)～式(23)即線性回歸曲線擬合解析方法，由此可得到參數(shù)m、F0，如表3所示。

表3 模型參數(shù)m和F0

由表3可看出，凍融循環(huán)次數(shù)的增加，參數(shù)m和F0大致呈遞減趨勢。

2.3 損傷分析

2.3.1 凍融損傷分析

將表2中的參數(shù)代入式(4)，計(jì)算凍融損傷變量Dn，繪制Dn與凍融循環(huán)次數(shù)的關(guān)系曲線，如圖3所示。

由圖3可看出，隨著凍融循環(huán)次數(shù)的增加，凍融損傷變量Dn不斷增大，凍融損傷作用持續(xù)加深。凍融循環(huán)次數(shù)在0～10次范圍內(nèi)，Dn累積較快，當(dāng)其超過10次以后，Dn累積速度放緩，這說明凍融作用顯著影響水泥土材料內(nèi)部微缺陷發(fā)育擴(kuò)展，當(dāng)凍融作用達(dá)到一定程度時(shí)，材料內(nèi)部微缺陷發(fā)育速度逐漸趨于平穩(wěn)。在同一凍融循環(huán)次數(shù)下，高摻量的凍融損傷變量值略低于低摻量，這說明水泥摻量的增大可能會(huì)抑制凍融損傷的發(fā)展。

圖3 Dn與凍融循環(huán)次數(shù)的關(guān)系曲線

2.3.2 受荷損傷分析

將表2和表3中參數(shù)及試驗(yàn)數(shù)據(jù)代入式(10)，可得到受荷損傷變量Dp的累積發(fā)展曲線，如圖4所示。

圖4 受荷損傷累積曲線

由圖4可看出，受荷損傷累積曲線由兩部分組成，首先是快速累積的階段，該階段內(nèi)受荷損傷急劇累積，在同一應(yīng)變下，隨著凍融循環(huán)次數(shù)的增加，受荷損傷累積曲線斜率遞增，較高凍融循環(huán)次數(shù)的受荷損傷量始終大于低凍融循環(huán)次數(shù)，這說明凍融循環(huán)作用的增強(qiáng)促進(jìn)受荷損傷的累積發(fā)展。當(dāng)受荷損傷累積到一定程度時(shí)，受荷損傷累積曲線逐漸減小，最終受荷損傷變量趨于1。

2.3.3 凍融、受荷總損傷分析

將表2和表3中參數(shù)及試驗(yàn)數(shù)據(jù)代入式(18)，可得到凍融、受荷總損傷累積曲線，如圖5所示。

圖5 凍融、受荷總損傷累積曲線

由圖5可看出，水泥土在不同凍融循環(huán)次數(shù)下，凍融、受荷總損傷變量的起始值不同，凍融循環(huán)次數(shù)越高，該起始值越大。首先是水泥土試樣經(jīng)過不同循環(huán)次數(shù)的凍融作用，該過程中水泥土試樣的凍融損傷隨循環(huán)次數(shù)的增加而不斷累積。試樣達(dá)到目標(biāo)凍融循環(huán)次數(shù)后，再進(jìn)行三軸壓縮試驗(yàn)，壓縮過程中受荷損傷在凍融損傷的基礎(chǔ)上持續(xù)累積發(fā)展，受荷損傷與凍融損傷發(fā)生耦合作用。

總體上，隨著凍融循環(huán)次數(shù)的增加，Dn、Dp和D均逐漸遞增，直至趨于穩(wěn)定。凍融循環(huán)作用促進(jìn)水泥土材料的受荷和凍融損傷發(fā)育。

2.4 模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證水泥土統(tǒng)計(jì)損傷模擬方法的可行性，將表2和表3中的模型參數(shù)代入式(13)，計(jì)算得到模型預(yù)測值，繪制預(yù)測值和試驗(yàn)值對比曲線，如圖6所示。

由圖6可看出，預(yù)測值與試驗(yàn)值吻合較好，擬合精度較高，盡管預(yù)測值在應(yīng)變2%～6%范圍內(nèi)略高于試驗(yàn)值，但整體上誤差較小，能較為準(zhǔn)確地辨識不同凍融循環(huán)次數(shù)下的水泥土材料變形破壞全過程曲線，證明所建模型的可行性和合理性。

圖6 預(yù)測值和試驗(yàn)值對比曲線

3 結(jié)論

(1)根據(jù)彈性模量衰減規(guī)律定義凍融損傷變量，假設(shè)受荷損傷微元強(qiáng)度服從Weibull概率密度分布，建立受荷損傷變量，從水泥土受荷微單元和凍融微單元之間的關(guān)系出發(fā)，構(gòu)建凍融、受荷總損傷變量。

(2)基于試驗(yàn)成果和線性回歸曲線擬合法，求取模型參數(shù)。分析凍融損傷變量Dn、受荷損傷變量Dp及凍融、受荷總損傷變量D隨凍融循環(huán)次數(shù)的變化規(guī)律，隨著凍融循環(huán)次數(shù)的增加，Dn、Dp和D均逐漸遞增，直至趨于穩(wěn)定。凍融循環(huán)作用促進(jìn)水泥土材料的受荷和凍融損傷發(fā)育。

(3)基于凍融、受荷總損傷變量，引入損傷修正因子，構(gòu)建新的凍融循環(huán)作用下的水泥土統(tǒng)計(jì)損傷模型，辨識本文水泥土試驗(yàn)數(shù)據(jù)，預(yù)測值和試驗(yàn)值曲線吻合良好，驗(yàn)證所建模型的可行性和合理性。