基于Bayes和Bootstrap方法的智能電表可靠性評估

李若茜，肖霞，梅能，柯航

(華中科技大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，武漢 430074)

0 引言

隨著智能電網(wǎng)的發(fā)展，海量智能電表投入運行。截至2017年底國家電網(wǎng)累計安裝了4.24億只，截至2018年底南方電網(wǎng)安裝了8 815.72萬只。智能電表的可靠運行關(guān)系到用戶電費計量，同時，其可靠性評估結(jié)果可用于指導(dǎo)設(shè)備的檢修、輪換工作[1 - 3]，因此準確評估智能電表的可靠性具有重要意義。

目前針對智能電表可靠性評估已給出了較多解決方案。IEEE1413.1—2002標準[4]給出了4種電子設(shè)備可靠性預(yù)計方法：基于手冊的可靠性預(yù)計、基于試驗的可靠性預(yù)計、基于現(xiàn)場數(shù)據(jù)的可靠性預(yù)計和基于失效物理的可靠性預(yù)計?；谑謨缘目煽啃灶A(yù)計根據(jù)元器件的質(zhì)量、工作環(huán)境等由手冊獲得元器件失效率、結(jié)合串聯(lián)模型得到系統(tǒng)的可靠性預(yù)計結(jié)果，文獻[5 - 6]分別依據(jù)SR- 332、GJB/Z 299C標準預(yù)計智能電表可靠性。文獻[7]結(jié)合智能電表特點及可靠性預(yù)計需求指出SR- 332更適用于智能電表的可靠性預(yù)計，然而該方法的結(jié)果依賴于更新較慢的預(yù)計手冊，與實際情況存在偏差，通常僅用于設(shè)計階段?；谠囼灥目煽啃灶A(yù)計和基于現(xiàn)場數(shù)據(jù)的可靠性預(yù)計采用數(shù)理統(tǒng)計方法處理通過開展加速壽命試驗(accelerated life test, ALT)、收集現(xiàn)場數(shù)據(jù)得到的數(shù)據(jù)進行智能電表可靠性評估，GB/T 17215.931[8]標準采用最小二乘法處理獲得的ALT數(shù)據(jù)。文獻[9]則將該方法用于現(xiàn)場失效數(shù)據(jù)的分析中。文獻[10]采用遺傳算法優(yōu)化根據(jù)現(xiàn)場數(shù)據(jù)構(gòu)建的極大似然函數(shù)得到模型參數(shù)，以上方法僅使用一種來源的數(shù)據(jù)，其結(jié)果的準確度有限，原因在于試驗數(shù)據(jù)雖能涵蓋智能電表整個生命周期但受限于試驗施加應(yīng)力同現(xiàn)場運行環(huán)境間差異、試驗樣本量等因素，其結(jié)果并不準確，而現(xiàn)場數(shù)據(jù)雖然樣本量相對更大但由于截尾程度較深故不能涵蓋其全生命周期。基于失效物理的可靠性預(yù)計在掌握設(shè)備結(jié)構(gòu)、材料等信息的基礎(chǔ)上，將開展應(yīng)力分析得到的結(jié)果結(jié)合失效機理壽命模型得到準確的失效時間[11]，但一些失效機理尚未建立準確的壽命應(yīng)力模型，限制了該方法的應(yīng)用。

融合多源數(shù)據(jù)進行可靠性評估的研究目前大多基于貝葉斯理論并圍繞發(fā)動機、數(shù)控機床等[12 - 16]設(shè)備開展，應(yīng)用于智能電表的研究不多，文獻[17]通過加速退化試驗數(shù)據(jù)與現(xiàn)場檢測狀態(tài)數(shù)據(jù)的融合對智能電表進行狀態(tài)評估，文獻[18]對ALT得到的失效數(shù)據(jù)和性能退化數(shù)據(jù)進行融合實現(xiàn)可靠性評估，但先驗分布的確定是該方法的難點。

針對前述問題，本文提出基于Bootstrap和Bayes方法的智能電表可靠性評估方法，該方法通過Bayes理論融合ALT數(shù)據(jù)和現(xiàn)場數(shù)據(jù)，采用Bootstrap方法獲取并解決先驗分布的確定存在主觀性的問題，得到的可靠性評估模型兼顧兩種數(shù)據(jù)的優(yōu)點，彌補兩種數(shù)據(jù)的缺陷，對于智能電表可靠性評估工作具有指導(dǎo)意義。

1 數(shù)據(jù)融合的智能電表可靠性評估法流程

基于Bayes和Bootstrap方法融合ALT數(shù)據(jù)、現(xiàn)場失效數(shù)據(jù)的智能電表可靠性評估方法的框架如圖1所示。

圖1 基于Bootstrap和Bayes方法的智能電表可靠性評估框架Fig.1 Framework for reliability evaluation of smart meters based on Bootstrap and Bayes methods

融合現(xiàn)場失效數(shù)據(jù)與ALT數(shù)據(jù)的智能電表可靠性評估方法主要由以下3部分構(gòu)成。

1)對現(xiàn)場失效數(shù)據(jù)的處理。采用傳統(tǒng)參數(shù)估計方法處理現(xiàn)場數(shù)據(jù)求得總體的可靠性模型參數(shù)估計值；在獲得模型參數(shù)的基礎(chǔ)上，基于Bootstrap方法對總體多次抽樣并重復(fù)參數(shù)估計過程，得到可靠性模型參數(shù)的先驗信息。

2)對ALT數(shù)據(jù)的處理。ALT數(shù)據(jù)是在高于正常應(yīng)力水平下得到的，需借助加速因子外推至正常條件下，作為后續(xù)似然函數(shù)構(gòu)建的基礎(chǔ)。

3)融合現(xiàn)場與試驗數(shù)據(jù)的參數(shù)估計值求解。以現(xiàn)場數(shù)據(jù)處理后得到的參數(shù)離散分布作為先驗分布，由外推至正常條件的試驗數(shù)據(jù)構(gòu)建似然函數(shù)，基于Bayes方法聯(lián)合兩種信息得到參數(shù)后驗分布進而求得數(shù)據(jù)融合后的參數(shù)估計值。

2 基于Bayes方法的智能電表數(shù)據(jù)融合

2.1 Bayes方法

Bayes方法是一種以Bayes定理為核心的參數(shù)估計方法，該方法認為概率分布的參數(shù)為隨機變量，且其估計值為根據(jù)樣本信息不斷修正先驗信息得到的后驗分布的期望值。

考慮到指數(shù)分布、正態(tài)分布等一些常用可靠性壽命分布可視為Weibull分布的特殊形式，本文采用如式(1)所示的Weibull分布建立智能電表的不可靠度模型。

(1)

式中β和η分別為形狀參數(shù)和尺度參數(shù)。

模型參數(shù)后驗分布的離散形式如式(2)所示。

(2)

式中：π(βi,ηi)為β和η的先驗分布；L(t|βi,ηi)為根據(jù)樣本構(gòu)建的似然函數(shù)；g(βi,ηi|t)為參數(shù)的聯(lián)合后驗分布。

基于該后驗分布的參數(shù)β、η后驗期望計算式如式(3)—(4)所示。

(3)

(4)

采用該方法進行參數(shù)估計的難點在于先驗分布的確定。常用的確定方法包括依賴經(jīng)驗的主觀確定法和客觀法，客觀法又分為基于同等無知原則的Bayes假設(shè)和總結(jié)過去資料兩種方法，但同等無知原則在高可靠系統(tǒng)的評定中不可取[19]，故本文根據(jù)已有的現(xiàn)場失效數(shù)據(jù)或試驗數(shù)據(jù)確定先驗分布。

由式(2)可知，先驗信息和樣本信息提供的信息量大小雖然有所差異，但兩者在參數(shù)估計中地位對等[20]?？紤]到現(xiàn)場數(shù)據(jù)樣本量更大，因此本文將現(xiàn)場數(shù)據(jù)作為先驗信息來源、試驗數(shù)據(jù)作為似然函數(shù)構(gòu)建依據(jù)。

2.2 ALT數(shù)據(jù)的處理

ALT對樣本施加高于正常條件的應(yīng)力以在短時間內(nèi)獲得高可靠設(shè)備壽命數(shù)據(jù)[21]。將該數(shù)據(jù)應(yīng)用于評估設(shè)備實際運行條件下的可靠性或壽命，需借助加速模型導(dǎo)出的加速因子對試驗數(shù)據(jù)進行外推處理。

高溫、高濕試驗下獲得的數(shù)據(jù)可通過Peck模型處理，該模型及其導(dǎo)出的加速因子(acceleration factor, AF)表達式分別如式(5)—(6)所示，ALT得到的壽命數(shù)據(jù)乘以加速因子即得到等價的正常運行條件下的壽命數(shù)據(jù)。

(5)

(6)

式中：A為常數(shù)；Ea為活化能，一般取0.9 eV；n為常數(shù)，一般取3；k為玻爾茲曼常數(shù)；ρu和ρs分別為正常使用條件和加速試驗條件下的相對濕度；Tu和Ts則為對應(yīng)條件下的溫度。

通過ALT得到的數(shù)據(jù)包含失效數(shù)據(jù)和截尾數(shù)據(jù)兩部分，前者提供了準確的樣本壽命、后者給出了樣本壽命的取值范圍，似然函數(shù)應(yīng)由兩個部分共同構(gòu)成。假設(shè)樣本總數(shù)為N，失效樣本數(shù)為r，則該樣本對應(yīng)的似然函數(shù)如式(7)所示。

(7)

式中：f(ti|β,η)為概率密度函數(shù)在ti處的取值；R(TR|β,η)為可靠度函數(shù)在Tr處的取值。

將Weibull分布的概率密度函數(shù)、可靠度函數(shù)代入式(7)得到似然函數(shù)，如式(8)所示。

(8)

式中：ti為第i個失效樣本對應(yīng)的失效時間；Tr為截尾時間。

3 基于Bootstrap法的先驗分布獲取

3.1 Bootstrap方法

該方法后續(xù)也被用于參數(shù)區(qū)間估計的研究中，因此本文采用該方法獲取參數(shù)的先驗分布，基于Bootstrap方法獲取Weibull分布的參數(shù)聯(lián)合先驗分布的主要步驟如下。

1)依據(jù)現(xiàn)場數(shù)據(jù)進行參數(shù)估計，得到形狀參數(shù)和尺度參數(shù)的估計值β和η。

3)由Weibull分布中β和η獨立得到式(9)所示參數(shù)的聯(lián)合先驗分布。

(9)

3.2 現(xiàn)場數(shù)據(jù)及其Bootstrap子樣的處理

如前所述，先驗分布的獲取依賴于對樣本及其Bootstrap子樣的參數(shù)估計，傳統(tǒng)參數(shù)點估計方法有最小二乘法和極大似然估計法(maximum likelihood estimation, MLE)，合適的參數(shù)估計方法應(yīng)當結(jié)合樣本的特點確定。

現(xiàn)場數(shù)據(jù)來源于對實際運行的大量智能電表的故障收集，智能電表的高可靠性[23 - 24]使得同一批投運的裝置中故障數(shù)量占比并不大，得到的現(xiàn)場數(shù)據(jù)實際是樣本總數(shù)N很大，而失效數(shù)量r占比很小的截尾樣本。采用MLE方法時，一種處理為使用失效數(shù)據(jù)和截尾數(shù)據(jù)得到式(7)所示的似然函數(shù)，但較大的樣本總數(shù)使得表達式復(fù)雜、求解困難；另一種方式將樣本轉(zhuǎn)換為截尾分布后只使用失效數(shù)據(jù)列出似然函數(shù)，但該方法的求解精度隨截尾程度的增加而降低[25]，不適用于截尾程度過深的現(xiàn)場數(shù)據(jù)。最小二乘法則對截尾樣本、完全樣本均適用。

對式(1)所示的Weibull分布做線性化處理得到式(10)。

(10)

采用最小二乘法結(jié)合樣本對上式進行參數(shù)估計時，代入樣本點(ti,F(ti))， 其中i為樣本升序排列的序號，F(xiàn)(ti)采用近似中位秩計算、同時構(gòu)造新的變量如式(11)所示。

(11)

則采用最小二乘法進行線性擬合得到的參數(shù)β、η的計算式分別如式(12)—(13)所示。

(12)

(13)

樣本的Bootstrap子樣的參數(shù)計算式要求同上述計算式保持一致，故抽樣過程中從Fn(β,η)中抽取N個樣本，升序排列并剔除大于截尾時間Tr的樣本后采用同樣的方法進行處理。

4 實例分析

本節(jié)以某廠家某型號智能電表的實際ALT數(shù)據(jù)和現(xiàn)場失效數(shù)據(jù)為例，采用本文給出的可靠性評估方法進行處理并對結(jié)果進行分析。

4.1 算例數(shù)據(jù)處理

在ρs=95%、Ts=65 ℃的條件下對30個樣本開展ALT，由式(6)可知外推至ρu=75%、Tu=20 ℃的正常條件時，加速因子取值為234，由此得到的23個ALT失效數(shù)據(jù)及其外推結(jié)果在表1中給出，該樣本的等效正常使用條件下截尾時間為146 016 h。

表1 ALT失效數(shù)據(jù)及其外推結(jié)果Tab.1 ALT failure data and their extrapolation results

同時對現(xiàn)場數(shù)據(jù)進行收集，得到某批次投入現(xiàn)場使用的同型號智能電表共2 312只，故障表計共53只，相應(yīng)的失效數(shù)據(jù)如表2所示，該樣本截尾時間為89 784 h。

表2 現(xiàn)場失效數(shù)據(jù)Tab.2 Field failure data

由現(xiàn)場數(shù)據(jù)根據(jù)式(12)—(13)求得形狀參數(shù)β=7.30，尺度參數(shù)η=140 700.17，從對應(yīng)的Weibull分布中進行10次Bootstrap重抽樣與參數(shù)估計，得到各子樣的參數(shù)估計結(jié)果如表3所示。

以表3數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)構(gòu)建Weibull分布的參數(shù)聯(lián)合先驗分布，根據(jù)Bayes方法基于該離散先驗分布和試驗數(shù)據(jù)，由式(2)得到參數(shù)的后驗分布，根據(jù)式(3)—(4)得到對應(yīng)的后驗期望值為β=5.74、η=130 818.18。

表3 Bootstrap子樣參數(shù)估計結(jié)果Tab.3 Parameter estimation results of Bootstrap samples

本文所提方法在上述算例場景下的應(yīng)用流程圖如圖2所示。

圖2 算法在算例應(yīng)用下的流程圖Fig.2 Flow chart of the algorithm in a calculation case application

4.2 結(jié)果對比分析

將本文方法得到的模型與基于現(xiàn)場數(shù)據(jù)評估、基于ALT數(shù)據(jù)評估得到的模型進行對比，后兩種方法的模型采用最小二乘法單獨對表1的試驗數(shù)據(jù)、表2的現(xiàn)場數(shù)據(jù)處理得到，參數(shù)估計值由式(11)—(13)計算。3種數(shù)據(jù)源對應(yīng)的模型參數(shù)整理如表4所示，對應(yīng)的可靠度隨時間變化曲線及現(xiàn)場數(shù)據(jù)如圖3所示?？梢缘玫饺缦陆Y(jié)論。

表4 不同數(shù)據(jù)源的參數(shù)估計結(jié)果Tab.4 Estimation results of parameters based on different data source

圖3 三種不同數(shù)據(jù)源可靠性評估結(jié)果對比Fig.3 Comparision of reliability evaluation results based on three different data source

1)在有現(xiàn)場數(shù)據(jù)的時間段，僅采用ALT數(shù)據(jù)得到的智能電表可靠性模型預(yù)計的可靠度指標明顯低于實際運行數(shù)據(jù)反映的情況。

2)僅采用現(xiàn)場數(shù)據(jù)得到的智能電表可靠性模型對現(xiàn)場數(shù)據(jù)擬合效果較好，但由于現(xiàn)場數(shù)據(jù)集中在全生命周期的前半段，對于缺乏現(xiàn)場數(shù)據(jù)支撐的范圍無法判斷模型評估效果的優(yōu)劣。

3)本文所提方法得到的智能電表可靠性模型在前半段相較于僅依據(jù)試驗數(shù)據(jù)得到的模型更接近現(xiàn)場實際情況；在無現(xiàn)場數(shù)據(jù)的后半段由于融合了涵蓋全生命周期的試驗數(shù)據(jù)，相較于僅依據(jù)現(xiàn)場數(shù)據(jù)得到的模型其評估結(jié)果有一定的數(shù)據(jù)作為支撐，可以用于智能電表全生命周期的可靠性評估。

5 結(jié)語

本文提出了一種基于Bayes和Bootstrap方法的智能電表可靠性評估方法，融合現(xiàn)場數(shù)據(jù)和試驗數(shù)據(jù)解決基于單一數(shù)據(jù)源的可靠性模型不夠準確的問題，采用Bootstrap方法處理現(xiàn)場數(shù)據(jù)解決數(shù)據(jù)融合中先驗分布的獲取依賴主觀經(jīng)驗的問題。

實例分析結(jié)果表明，該方法得到的模型能夠較好地反映現(xiàn)場實際可靠度水平，同時在現(xiàn)場數(shù)據(jù)缺失段利用試驗數(shù)據(jù)，綜合兩種數(shù)據(jù)各自的優(yōu)點，可用于解決智能電表全生命周期的可靠性評估問題，對智能電表的輪換工作具有一定的參考價值。