兼顧經(jīng)濟(jì)性和多階段抗災(zāi)性能的骨干網(wǎng)架多目標(biāo)規(guī)劃方法

婁源媛，陳昌銘，劉新苗，龔賢夫，陳鴻琳，林振智

(1. 廣東電網(wǎng)有限責(zé)任公司，廣州510600；2. 浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院，杭州310027；3. 廣東電網(wǎng)有限責(zé)任公司電網(wǎng)規(guī)劃研究中心，廣州510080)

0 引言

近年來，臺(tái)風(fēng)、冰災(zāi)等極端自然災(zāi)害嚴(yán)重威脅著電力系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行。例如，2015年臺(tái)風(fēng)“彩虹”造成廣東湛江電網(wǎng)大停電[1]；2017年臺(tái)風(fēng)“天鴿”造成珠海電網(wǎng)對(duì)澳供電停電51 min[2]；2019年英國倫敦一段輸電線路受到雷擊跳線，導(dǎo)致110萬用戶被迫停電[3]。因此，有必要研究具備抗災(zāi)性能的骨干網(wǎng)架，以減少極端自然災(zāi)害對(duì)電力系統(tǒng)造成的破壞和損失。

篩選骨干網(wǎng)架需要基于多種指標(biāo)，如節(jié)點(diǎn)線路重要度、網(wǎng)架抗災(zāi)性能等。在節(jié)點(diǎn)線路重要度指標(biāo)方面，文獻(xiàn)[4]在傳統(tǒng)電氣介數(shù)的基礎(chǔ)上結(jié)合了線路關(guān)鍵度評(píng)價(jià)指標(biāo)，提出能夠兼顧電網(wǎng)脆弱性及線路關(guān)鍵度的綜合電氣介數(shù)。文獻(xiàn)[5]運(yùn)用熵權(quán)法對(duì)節(jié)點(diǎn)和線路各重要度評(píng)估指標(biāo)進(jìn)行客觀賦權(quán)。文獻(xiàn)[6]建立了考慮線路和節(jié)點(diǎn)重要度的骨干網(wǎng)架規(guī)劃模型，并采用離散粒子群算法對(duì)模型進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[7]在電網(wǎng)節(jié)點(diǎn)、線路重要度評(píng)估基礎(chǔ)上，基于圖論算法給出了一種電網(wǎng)核心骨干網(wǎng)架構(gòu)建方法。在網(wǎng)架抗災(zāi)性能指標(biāo)方面，文獻(xiàn)[8 - 9]均從抗毀性、可恢復(fù)性、連通性三個(gè)方面構(gòu)建生存性指標(biāo)體系，并以生存性指標(biāo)最大為目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建骨干網(wǎng)架規(guī)劃模型，采用改進(jìn)生物地理學(xué)優(yōu)化算法進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[10]從自然環(huán)境條件、電網(wǎng)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和設(shè)備抗冰水平3個(gè)維度設(shè)計(jì)了抗冰骨干網(wǎng)架綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)體系，并根據(jù)該抗冰指標(biāo)體系篩選出抗冰骨干網(wǎng)架。文獻(xiàn)[11]對(duì)現(xiàn)有電網(wǎng)結(jié)構(gòu)中存在的防風(fēng)抗災(zāi)薄弱環(huán)節(jié)進(jìn)行分析，并據(jù)此給出防風(fēng)骨干網(wǎng)架規(guī)劃方法。文獻(xiàn)[12]計(jì)及骨干網(wǎng)架的網(wǎng)架特性和電氣特性，從可抵抗性、可恢復(fù)性、安全性和連通性4個(gè)方面分別構(gòu)建了骨干網(wǎng)架的生存性指標(biāo)體系，并采用線性判別分析與主成分分析相結(jié)合的方法對(duì)骨干網(wǎng)架的規(guī)劃方案進(jìn)行生存性評(píng)估。文獻(xiàn)[13]提出一種基于系統(tǒng)生存性的骨干網(wǎng)架搜索方法，從系統(tǒng)可抗性、運(yùn)行狀態(tài)波動(dòng)性和災(zāi)后可恢復(fù)性三方面建立生存性綜合指標(biāo)作為骨干網(wǎng)架綜合抗災(zāi)能力的評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)。

上述文獻(xiàn)為骨干網(wǎng)架規(guī)劃研究做出了重要貢獻(xiàn)，但是它們構(gòu)建的均為單目標(biāo)函數(shù)，無法全面評(píng)估骨干網(wǎng)架的抗災(zāi)性能。為此，文獻(xiàn)[1]以最大化經(jīng)濟(jì)性、系統(tǒng)可恢復(fù)性和網(wǎng)絡(luò)抗毀性為多目標(biāo)構(gòu)建抗災(zāi)型骨干網(wǎng)架多目標(biāo)規(guī)劃模型，并引入圖論修復(fù)策略對(duì)骨干網(wǎng)架拓?fù)溥M(jìn)行修復(fù)。文獻(xiàn)[3]提出以網(wǎng)架生存性、抗毀性和系統(tǒng)可恢復(fù)性為多目標(biāo)的抗災(zāi)型骨干網(wǎng)架的優(yōu)化模型，以提高骨干網(wǎng)架在災(zāi)害各階段的抗災(zāi)性能，同時(shí)運(yùn)用圖論修復(fù)策略加速骨干網(wǎng)架拓?fù)涞纳伞Ｎ墨I(xiàn)[14]基于支路和節(jié)點(diǎn)重要度指標(biāo)，并引入網(wǎng)絡(luò)整體抗毀性指標(biāo)，構(gòu)建了考慮元件重要度和網(wǎng)絡(luò)抗毀性的骨干網(wǎng)架多目標(biāo)規(guī)劃模型。然而，上述文獻(xiàn)考慮的多目標(biāo)函數(shù)不夠全面，例如文獻(xiàn)[3]并未考慮骨干網(wǎng)架規(guī)劃的經(jīng)濟(jì)性，文獻(xiàn)[1]忽略了骨干網(wǎng)架生存性，文獻(xiàn)[14]則同時(shí)忽略了骨干網(wǎng)架規(guī)劃經(jīng)濟(jì)性、生存性和可恢復(fù)性。要得到各方面性能均衡的骨干網(wǎng)架規(guī)劃結(jié)果，需要兼顧經(jīng)濟(jì)性和多階段抗災(zāi)性能。

在多目標(biāo)優(yōu)化模型求解方面，非支配排序遺傳算法(non-dominated sorting genetic algorithm, NSGA)是在遺傳算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)的一種智能算法，相比傳統(tǒng)的遺傳算法，具有求解速度快、解集收斂性好等優(yōu)點(diǎn)，是現(xiàn)代多目標(biāo)求解算法的典型算法之一。然而，NSGA具有非支配排序的高計(jì)算復(fù)雜性、缺少精英策略等缺點(diǎn)。因此，改進(jìn)的非支配排序遺傳算法(non-dominated sorting genetic algorithm Ⅱ, NSGA-Ⅱ)引入了精英策略、擁擠度估計(jì)策略和快速非支配排序策略來對(duì)傳統(tǒng)的NSGA進(jìn)行改進(jìn)，其在收斂性、均勻度等方面相比NSGA具有優(yōu)勢(shì)[14 - 15]。

針對(duì)現(xiàn)有研究的不足，本文提出一種兼顧經(jīng)濟(jì)性和多階段抗災(zāi)性能的骨干網(wǎng)架多目標(biāo)規(guī)劃方法。首先，以骨干網(wǎng)架規(guī)劃的經(jīng)濟(jì)性、生存性、抗毀性及可恢復(fù)性為多目標(biāo)函數(shù)，構(gòu)建骨干網(wǎng)架多目標(biāo)規(guī)劃模型；然后，運(yùn)用嵌入圖論修復(fù)策略的改進(jìn)非支配排序遺傳算法(non-dominated sorting genetic algorithm Ⅱ, NSGA-Ⅱ)對(duì)模型求解，得到骨干網(wǎng)架規(guī)劃策略的Pareto最優(yōu)解集；接著，運(yùn)用熵權(quán)法篩選出骨干網(wǎng)架規(guī)劃策略的Pareto最優(yōu)折中解；最后，以某區(qū)域?qū)嶋H輸電網(wǎng)為算例來驗(yàn)證本文所提模型的有效性。

1 兼顧經(jīng)濟(jì)性和多階段抗災(zāi)性能的骨干網(wǎng)架多目標(biāo)規(guī)劃模型

1.1 骨干網(wǎng)架多目標(biāo)規(guī)劃模型的目標(biāo)函數(shù)

為兼顧骨干網(wǎng)架規(guī)劃的經(jīng)濟(jì)性和多階段抗災(zāi)性能，本文以最大化骨干網(wǎng)架規(guī)劃經(jīng)濟(jì)性、生存性、抗毀性以及可恢復(fù)性為多目標(biāo)函數(shù)。其中，生存性、抗毀性和可恢復(fù)性分別反映災(zāi)害來臨時(shí)、災(zāi)害持續(xù)階段以及災(zāi)害結(jié)束時(shí)的骨干網(wǎng)架抗災(zāi)性能。

1.1.1 最大化骨干網(wǎng)架規(guī)劃經(jīng)濟(jì)性

骨干網(wǎng)架規(guī)劃所需的費(fèi)用為節(jié)點(diǎn)加固費(fèi)用和線路加固費(fèi)用。因此，本文定義骨干網(wǎng)架規(guī)劃經(jīng)濟(jì)性目標(biāo)函數(shù)feco為骨干網(wǎng)架節(jié)點(diǎn)和線路加固費(fèi)用的倒數(shù)：

(1)

1.1.2 最大化骨干網(wǎng)架生存性

骨干網(wǎng)架生存性好壞的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為：在臺(tái)風(fēng)等極端天氣情況下，骨干網(wǎng)架中能夠保障的重要電力用戶供電量[3]。因此，本文定義骨干網(wǎng)架生存性目標(biāo)函數(shù)fsur為骨干網(wǎng)架在自然災(zāi)害下的負(fù)荷保障度。

(2)

1.1.3 最大化骨干網(wǎng)架抗毀性

骨干網(wǎng)架抗毀性的優(yōu)劣可以通過臺(tái)風(fēng)等極端天氣情況下骨干網(wǎng)架維持穩(wěn)定運(yùn)行和抵抗連鎖故障的能力來反映[16 - 17]。骨干網(wǎng)架連通度指標(biāo)Icon定義為骨干網(wǎng)架的任意節(jié)點(diǎn)被毀壞后，剩余骨干網(wǎng)架中仍連通的節(jié)點(diǎn)對(duì)的平均值與原骨干網(wǎng)架的連通節(jié)點(diǎn)對(duì)的比值，能夠有效反映骨干網(wǎng)架的抗毀性[18]。因此，本文將骨干網(wǎng)架連通度指標(biāo)作為抗毀性目標(biāo)函數(shù)fdes。

(3)

1.1.4 最大化電力系統(tǒng)可恢復(fù)性

電力系統(tǒng)可恢復(fù)性的好壞可以通過災(zāi)后骨干網(wǎng)架為全網(wǎng)恢復(fù)供電的效率來反映：網(wǎng)架覆蓋率越高，說明骨干網(wǎng)架保留的重要節(jié)點(diǎn)和線路越多，且與未恢復(fù)節(jié)點(diǎn)的距離越近，則電力系統(tǒng)的可恢復(fù)性越強(qiáng)。因此，本文將骨干網(wǎng)架覆蓋度指標(biāo)[19]作為骨干網(wǎng)架可恢復(fù)性目標(biāo)函數(shù)frec：

(4)

(5)

(6)

(7)

1.2 骨干網(wǎng)架多目標(biāo)規(guī)劃模型的約束條件

本文所提骨干網(wǎng)架多目標(biāo)規(guī)劃模型的約束條件包括網(wǎng)絡(luò)連通性約束、重要節(jié)點(diǎn)線路保留約束以及潮流約束。

1.2.1 網(wǎng)絡(luò)連通性約束

骨干網(wǎng)架中不應(yīng)包含孤島，所有節(jié)點(diǎn)均需有支路進(jìn)行連通。因此，骨干網(wǎng)架的網(wǎng)絡(luò)連通性約束可以通過式(8)表示。

(8)

式中Ωline為骨干網(wǎng)架支路集合。

1.2.2 重要節(jié)點(diǎn)、支路保留約束

電力系統(tǒng)中存在部分高重要性的節(jié)點(diǎn)和支路，例如醫(yī)院、變電站、500 kV線路等，這些重要節(jié)點(diǎn)和支路需要保障其持續(xù)供電，如式(9)—(10)所示：

(9)

(10)

Buckling Impact Analysis of Cylinderial Shells with Opening and Reinforcement Under Axial Compression HU Fuquan,LI Pengfei,HE Zheng(60)

1.2.3 潮流約束

為了保證電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定運(yùn)行，骨干網(wǎng)架需要滿足潮流約束[21 - 22]，如式(11)—(14)所示：

(11)

(12)

(13)

(14)

2 基于嵌入圖論修復(fù)策略的NSGA-Ⅱ算法的骨干網(wǎng)架Pareto最優(yōu)解集求解方法

本文運(yùn)用NSGA-Ⅱ?qū)λ峁歉删W(wǎng)架多目標(biāo)規(guī)劃模型進(jìn)行求解，可以得到骨干網(wǎng)架Pareto最優(yōu)解集[23]。由于NSGA-Ⅱ新生成的子代種群具有隨機(jī)性，會(huì)出現(xiàn)較多不滿足式(8)所示的網(wǎng)絡(luò)連通性約束的子代，若采用罰函數(shù)等方法淘汰劣子代，會(huì)影響算法的尋優(yōu)效率。因此，本文采用基于廣度優(yōu)先搜索算法的圖論修復(fù)策略[24]來修復(fù)不滿足骨干網(wǎng)架網(wǎng)絡(luò)連通性約束的子代基因，修復(fù)步驟如下。

步驟1：輸入電力系統(tǒng)拓?fù)洌鶕?jù)拓?fù)淝蟮秒娏ο到y(tǒng)鄰接矩陣Wgrid；以支路電抗為權(quán)重求得電力系統(tǒng)加權(quán)鄰接矩陣Wgrid,w；根據(jù)Wgrid和Wgrid,w求得電力系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)對(duì)間的最短電氣距離矩陣Wgrid,d以及最短電氣距離對(duì)應(yīng)的最短路徑矩陣Wgrid,p。

步驟2：輸入重要節(jié)點(diǎn)矩陣、重要支路矩陣以及當(dāng)前的子代基因，確定當(dāng)前的骨干網(wǎng)架拓?fù)?；根?jù)骨干網(wǎng)架拓?fù)淝蟮霉歉删W(wǎng)架鄰接矩陣Wbone和骨干網(wǎng)架節(jié)點(diǎn)對(duì)間的最短電氣距離矩陣Wbone,d。

步驟3：運(yùn)用廣度優(yōu)先搜索算法對(duì)骨干網(wǎng)架進(jìn)行搜索，求得骨干網(wǎng)架的連通片矩陣Wbone,ltp；根據(jù)Wbone,ltp對(duì)電力系統(tǒng)加權(quán)鄰接矩陣Wgrid,w進(jìn)行修改，將連通片內(nèi)的節(jié)點(diǎn)對(duì)間的最短電氣距離置0。

步驟4：刪除Wbone,ltp中只包含1個(gè)節(jié)點(diǎn)的連通片；運(yùn)用弗洛伊德算法[1]求得各個(gè)連通片之間的最短電氣距離矩陣Wbone,ltp,d。

步驟5：將Wbone,ltp,d作為權(quán)重，運(yùn)用克魯斯卡爾算法求得所有連通片之間的最小生成樹。

步驟6：根據(jù)最小生成樹對(duì)骨干網(wǎng)架進(jìn)行修復(fù)，即對(duì)于任意兩個(gè)相連的連通片，根據(jù)Wgrid,d和Wgrid,p選擇兩個(gè)連通片間最短電氣距離最小的節(jié)點(diǎn)對(duì)作為修復(fù)路徑的首末節(jié)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的最短路徑作為修復(fù)路徑。

基于前述的圖論修復(fù)策略，本文提出一種嵌入圖論修復(fù)策略的NSGA-Ⅱ算法，該算法的求解流程如圖1所示。

圖1 嵌入圖論修復(fù)策略的NSGA-Ⅱ算法流程圖Fig.1 Flow chart of NSGA-Ⅱ embedded graph theory restoration strategy

3 基于熵權(quán)法的骨干網(wǎng)架Pareto最優(yōu)折中解篩選方法

通過嵌入圖論修復(fù)策略的改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法可以得到骨干網(wǎng)架的Pareto最優(yōu)解集。然而，解集中的解的多目標(biāo)函數(shù)值往往無法同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，因此工作人員需要權(quán)衡各方面的因素進(jìn)行綜合考慮，在求得的骨干網(wǎng)架Pareto最優(yōu)解集中篩選出最合適的骨干網(wǎng)架規(guī)劃方案，即Pareto最優(yōu)折中解。常用的選取Pareto最優(yōu)折中解的方法有線性加權(quán)法、模糊推理法、層次分析法等方法，但是這些方法在確定各目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重系數(shù)時(shí)易受決策者偏好的影響。熵權(quán)法是一種通過信息熵理論確定系統(tǒng)中各項(xiàng)指標(biāo)賦權(quán)大小的方法。相較于線性加權(quán)法、模糊推理法、層次分析法等主觀賦權(quán)法，熵權(quán)法作為客觀賦權(quán)法能更好地避免主觀因素的影響，從而提高分析的可信度和精確度。為此，本文采用熵權(quán)法來求取骨干網(wǎng)架規(guī)劃的多目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重系數(shù)，具體步驟如下所示。

步驟1：由于骨干網(wǎng)架規(guī)劃模型各個(gè)目標(biāo)函數(shù)的量綱不同，因此在篩選出骨干網(wǎng)架的Pareto最優(yōu)折中解之前，需要對(duì)骨干網(wǎng)架的Pareto最優(yōu)解集中所有解的多個(gè)目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行線性標(biāo)準(zhǔn)化處理[25]。目標(biāo)函數(shù)可以分為效益類目標(biāo)函數(shù)和成本類目標(biāo)函數(shù)，其中效益類目標(biāo)函數(shù)值越大越好，成本類目標(biāo)函數(shù)值越小越好。根據(jù)目標(biāo)函數(shù)類別的不同，效益類和成本類目標(biāo)函數(shù)的線性標(biāo)準(zhǔn)化處理公式也不同，如式(15)所示。

(15)

步驟2：計(jì)算骨干網(wǎng)架規(guī)劃模型各個(gè)目標(biāo)函數(shù)的熵權(quán)系數(shù)。熵能夠反映同一目標(biāo)函數(shù)的不同解之間的差距情況。針對(duì)具有M個(gè)目標(biāo)函數(shù)和它們對(duì)應(yīng)的N個(gè)解的Pareto最優(yōu)解集，第i個(gè)目標(biāo)函數(shù)的熵Si可通過式(16)求得。

(16)

求得第i個(gè)目標(biāo)函數(shù)的熵之后，即可通過式(17)求出第i個(gè)目標(biāo)函數(shù)的熵權(quán)系數(shù)Wi。

(17)

步驟3：計(jì)算每個(gè)Pareto解的綜合指標(biāo)，根據(jù)綜合指標(biāo)選取最優(yōu)解。第j個(gè)解的綜合指標(biāo)Zj可由式(18)求得。

(18)

求得骨干網(wǎng)架Pareto最優(yōu)解集的所有解的綜合指標(biāo)后，篩選出的綜合指標(biāo)最大的解即為骨干網(wǎng)架的Pareto最優(yōu)折中解。

4 算例分析

本文以某區(qū)域?qū)嶋H輸電網(wǎng)為算例對(duì)所提骨干網(wǎng)架多目標(biāo)規(guī)劃模型的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。該輸電網(wǎng)共有125個(gè)節(jié)點(diǎn)(9個(gè)500 kV節(jié)點(diǎn)，40個(gè)220 kV非發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)、12個(gè)220 kV發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)和64個(gè)110 kV節(jié)點(diǎn))和155條線路，其拓?fù)鋱D如圖2所示。根據(jù)式(6)和式(7)求得的輸電網(wǎng)節(jié)點(diǎn)和線路重要度歸一化指標(biāo)如圖3所示。由圖3可知，辨識(shí)出的重要節(jié)點(diǎn)和線路(即歸一化重要度指標(biāo)大于0.5)包括全部500 kV節(jié)點(diǎn)和線路以及大部分220 kV節(jié)點(diǎn)和線路，這也與實(shí)際中電壓等級(jí)越高的節(jié)點(diǎn)和線路越重要這一常識(shí)相符合。

圖2 某區(qū)域?qū)嶋H輸電網(wǎng)拓?fù)鋱DFig.2 Topology of an actual regional transmission network

圖3 輸電網(wǎng)節(jié)點(diǎn)和線路重要度指標(biāo)Fig.3 Importance index of nodes and lines in transmission network

通過嵌入圖論修復(fù)策略的NSGA-Ⅱ算法求得骨干網(wǎng)架的Pareto最優(yōu)解集，再根據(jù)熵權(quán)法求出經(jīng)濟(jì)性、生存性、抗毀性和可恢復(fù)性4個(gè)目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重依次為0.27、0.45、0.17和0.11?；诟髂繕?biāo)函數(shù)的權(quán)重對(duì)骨干網(wǎng)架Pareto最優(yōu)解集進(jìn)行篩選，得到骨干網(wǎng)架加固策略的Pareto最優(yōu)折中解如圖4所示。圖4所示的骨干網(wǎng)架加固策略和全網(wǎng)加固策略的對(duì)比如表1所示。

結(jié)合圖4和表1可知，所有500 kV節(jié)點(diǎn)和92%的發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)均包含在圖4所示的骨干網(wǎng)架加固策略中，因?yàn)檫@些節(jié)點(diǎn)在輸電網(wǎng)受到災(zāi)害損壞的情況下是實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)恢復(fù)的重要一環(huán)。將骨干網(wǎng)架的生存性、抗毀性和可恢復(fù)性指標(biāo)除以Pareto最優(yōu)解集中各指標(biāo)的最大值進(jìn)行歸一化，從而得到圖4所示的骨干網(wǎng)架加固策略的生存性、抗毀性和可恢復(fù)性歸一化指標(biāo)分別為0.90、0.95和0.89，可見該最優(yōu)折中解具有較高的多階段抗災(zāi)性能。此外，由表1可知，圖4所示的骨干網(wǎng)架加固策略僅需加固121條線路和115個(gè)節(jié)點(diǎn)，加固費(fèi)用僅為1 902.6萬元，相比全網(wǎng)加固策略分別少加固34條線路和10個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)省了20.5%的投資成本，具有更好的經(jīng)濟(jì)性。

表1 本文的骨干網(wǎng)架加固策略和全網(wǎng)加固策略的對(duì)比Tab.1 Comparison of backbone grid reinforcement strategy obtained by the proposed model and whole grid reinforcement strategy

圖4 骨干網(wǎng)架的Pareto最優(yōu)折中解Fig.4 Pareto optimal compromise solution of backbone grid

為了更好地驗(yàn)證本文所提骨干網(wǎng)架多目標(biāo)規(guī)劃模型的有效性，將本文所提骨干網(wǎng)架多目標(biāo)規(guī)劃模型(M-MO)與經(jīng)濟(jì)性最優(yōu)規(guī)劃模型(M-ECO)、生存性最優(yōu)規(guī)劃模型(M-SUR)、抗毀性最優(yōu)規(guī)劃模型(M-DES)、可恢復(fù)性最優(yōu)規(guī)劃模型(M-REC)所求得的骨干網(wǎng)架規(guī)劃方案在歸一化后的經(jīng)濟(jì)性、生存性、抗毀性、可恢復(fù)性4個(gè)方面進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表2所示。

表2 M-ECO、M-SUR、M-DES、M-REC和M-MO在歸一化后的經(jīng)濟(jì)性、生存性、抗毀性和可恢復(fù)性的對(duì)比Tab.2 Comparison of economy, survivability, invulnerability and recoverability of M-ECO, M-SUR, M-REC and M-MO after normalization

由表2可知，M-ECO追求最好的經(jīng)濟(jì)性，因此其生存性、抗毀性、可恢復(fù)性等抗災(zāi)性能遠(yuǎn)低于其他模型；M-SUR的生存性最高，但由于該輸電網(wǎng)的負(fù)荷節(jié)點(diǎn)大多數(shù)并不位于連接多個(gè)支路的重要中樞位置，因此其抗毀性僅為0.36；同理，M-DES雖然具有最高的抗毀性，但其生存性僅為0.65；M-REC的可恢復(fù)性最高，意味著骨干網(wǎng)架保留的重要線路和節(jié)點(diǎn)越多，但同時(shí)帶來的是1 958.2萬元的高昂加固費(fèi)用，因此其經(jīng)濟(jì)性僅為0.25；本文所提M-MO的生存性、抗毀性、可恢復(fù)性和經(jīng)濟(jì)性分別為0.90、0.95、0.89和0.53，這反映了其能夠在保證優(yōu)秀的抗災(zāi)性能的同時(shí)具有良好的經(jīng)濟(jì)性。此外，表2將5種模型的經(jīng)濟(jì)性、生存性、抗毀性和可恢復(fù)性通過熵權(quán)法求得的加權(quán)系數(shù)按照式(18)進(jìn)行加權(quán)得到綜合指標(biāo)，其中M-MO的綜合指標(biāo)達(dá)到0.81，高于其他4個(gè)模型，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所提M-MO的有效性。

為驗(yàn)證本文所提嵌入圖論修復(fù)策略的改進(jìn)NSGA-Ⅱ在收斂性能方面的有效性，將本文所提算法和嵌入圖論修復(fù)策略的粒子群算法[1 - 3]在收斂性能方面進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖5所示。由圖5可知，本文所提算法在迭代過程中，每一代的Pareto最優(yōu)解的歸一化多目標(biāo)函數(shù)加權(quán)值總體上呈增加趨勢(shì)，而粒子群算法則處于不斷波動(dòng)的狀態(tài)，可見本文所提算法在收斂性方面優(yōu)于粒子群算法。此外，在個(gè)體/粒子數(shù)均為100，迭代次數(shù)均為100的前提下，本文所提算法和粒子群算法的模型求解時(shí)間分別為3 076 s和3 646 s，驗(yàn)證了本文所提算法在計(jì)算性能方面也更具優(yōu)勢(shì)。

圖5 本文所提算法和粒子群算法在收斂性能方面的對(duì)比Fig.5 Comparison of the proposed NSGA-Ⅱ and particle swarm optimization on convergence performance

5 結(jié)語

本文提出一種以最大化骨干網(wǎng)架規(guī)劃經(jīng)濟(jì)性、生存性、抗毀性和可恢復(fù)性為多目標(biāo)函數(shù)的骨干網(wǎng)架多目標(biāo)規(guī)劃方法。算例分析結(jié)果表明，本文所提模型得到的骨干網(wǎng)架規(guī)劃策略能夠兼顧骨干網(wǎng)架的規(guī)劃經(jīng)濟(jì)性和多階段抗災(zāi)性能，相比骨干網(wǎng)架單目標(biāo)規(guī)劃模型而言，能夠給出在經(jīng)濟(jì)性、生存性、抗毀性和可恢復(fù)性等方面更加均衡和全面的骨干網(wǎng)架規(guī)劃策略。