人教A 版新舊教材關于“解三角形”的對比研究

云南師范大學數(shù)學學院(650500) 崔永宏 王 仲 馬紹文

教材是依據課程標準編制的、系統(tǒng)反映學科內容的教學用書,是課程標準的具體化,以教材為主要教學載體,鉆研教材,挖掘教材內隱知識,是每一位教師應該具有的基本素養(yǎng).隨著新教材的落地實用,新舊教材的差異給許多教師的教學帶來困擾,本文以“解三角形”為例,對新舊教材從結構、內容、習題幾方面進行比較,并據此逐一分析提出教學建議.

1 新舊教材“解三角形”的內容比較

1.1 結構重整

人教A 版新舊教材關于“解三角形”在結構上主要出現(xiàn)表1 所示的變化:

表1 新舊教材關于“解三角形”結構布置比較

從上表可以看出,新舊教材相比較“解三角形”在結構上主要出現(xiàn)兩個大的變化,一方面是章節(jié)內容整體的變化,另一方面是正余弦定理內容的順序發(fā)生了改變.

《普通高中數(shù)學課程標準(2017 年版2020 年修訂)》[1]建議中強調“整體把握教學內容,促進數(shù)學學科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展”,在實驗版教材中“解三角形”作為一個單獨的章節(jié)位于必修五中,一般高三上學期才開始學習;在新教材中,“解三角形”沒有獨立成章,而是將其歸納為平面向量應用之中.值得注意的是,在實驗版教材之中,平面向量位于必修4 第二章節(jié),“平面向量”與“解三角形”內容之間存在一定的時間距離,再次在“解三角形”中應用平面向量對余弦定理進行推導時,學生已經對平面向量的知識有所淡忘.而新教材中在學習完平面向量的基本運算之后,在平面向量的應用中便對解三角形內容進行學習,這樣的內容安排不僅可以強化學生對向量學習的一種運用意識,還有利于突出知識的連貫性,保證學生數(shù)學素養(yǎng)的連續(xù)性;另外,對于正、余弦定理內容安排,實驗版教材是先學習正弦定理,再學習余弦定理.在實際教學中,教師在講授正弦定理時總是要講述兩個伴隨結論:=2R(R是ΔABC外接圓半徑)與SΔABC=absinC,所以在講授正弦定理的難度比余弦定理大,為了遵循“從簡單到復雜”的基本規(guī)律,理應先講授余弦定理在講授正弦定理[2].新教材正是遵循“從簡單到復雜”的規(guī)律,便先學習余弦定理再對正弦定理學習,符合學生認知發(fā)展規(guī)律,讓學生更容易接受將新舊知識進行融合學習,提高學習效率.

1.2 內容優(yōu)化

在教材內容上,新舊教材關于“解三角形”也凸顯出很大的變化,正、余弦定理皆有體現(xiàn).

推導余弦定理時,實驗版教材這樣引導學生思考:由于涉及邊長問題,我們可以考慮用向量的數(shù)量積來研究這個問題;新教材則是這樣表述:因為涉及的是三角形的兩邊長和它們的夾角,所以我們考慮用向量的數(shù)量積來探究.從上述新舊版本教材的表述對比,實驗版教材的表述似乎有點“空穴來風”的感覺,學生難免會疑問為什么涉及邊長就要用數(shù)量積? 但是新教材中,由于剛學習向量的數(shù)量積,涉及到邊長與夾角學生自然會想到通過數(shù)量積解決問題.

正弦定理的推導在新舊教材之中發(fā)生了很大的變化,下面將給出兩個不同版本的推導內容并進行比較分析.

圖1:實驗版教材“正弦定理”推導

圖2:新教材“正弦定理”推導

通過新舊教材“正弦定理”的推導可以看出,在實驗版教材推導“正弦定理”時只是通過簡單的三角函數(shù)知識,而正弦定理作為新知識,這樣的一種推導方式無法凸顯“新”.不僅如此,在用基本三角函數(shù)知識推導出正弦定理后又使用平面向量推導余弦定理,使得緊密相連的知識產生“隔閡”,而在新教材中,正弦定理則是使用向量的方法進行推導,保證了正余弦定理推導的一致性.另外,通過推導正弦定理,學生還可以復習單位向量、向量夾角、向量垂直、數(shù)量積等知識,確保了學生學習知識的連續(xù)性.

1.3 例題精簡

《新課標》基本理念中強調精選課程內容,處理好數(shù)學學科核心素養(yǎng)與知識技能之間的關系,強調數(shù)學與生活以及其他學科的聯(lián)系,提升學生應用數(shù)學解決實際問題的能力,同時注重數(shù)學文化的滲透.正余弦定理應用舉例中所展現(xiàn)的例題,都是通過所學新知去解決實際問題,讓學生感受數(shù)學的實際價值,應用價值,學會用數(shù)學的眼光去看待現(xiàn)實問題,培養(yǎng)學生解決問題的能力.

新舊教材關于正、余弦定理的應用舉例中,新教材中列舉3 個例題,而在實驗版教材中有9 個例題.實驗版教材中的例題,針對同一類問題都通過兩個例題進行講解,而新教材中則每一類問題就一個例題.例如在實驗版教材中的例3與例4,例3 是求建筑物高度,例4 是求山高,這兩個問題的實質是一樣的,這樣重復出現(xiàn),顯得有些多余.而在新教材中求建筑物高度就出現(xiàn)一個例題,老師引導學生對這一例題的講解,學生如果確實理解清楚,學會應用,那么對于相同問題便可迎刃而解.留給學生思考和發(fā)展的空間,這樣更能體現(xiàn)新課標“以生為本”的理念,一切為了學生的發(fā)展.

2 基于新課標理念對“解三角形”的教學建議

《新課標》指出“在教學活動中,教師應準確把握課程目標、課程內容、學業(yè)質量要求,合理設計教學目標,并通過相應的教學實施,在學生掌握知識技能的同時,促進數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成”.教學是教師教與學生學的一個過程,在教學過程中確保學生的主體地位,讓學生受到良好的數(shù)學教育,在未來生活得到很好的發(fā)展.對于新教材中內容的優(yōu)化,筆者從以下兩方面提出對“解三角形”的教學建議:

2.1 重視教材,立足核心素養(yǎng)

教學應該立足于教材,但是在實際教學中,許多教師尤其是老教師都喜歡根據經驗教學,然而隨著新一輪課程改革,對教師的教、學生的學都有了新的要求.在實驗版教材之后,新教材是專家根據經驗總結而對實驗版教材的精簡,所以在教學時,一定要重視教材,發(fā)揮教材的重要作用.

在教授“解三角形”時,教師一定要鉆研教材,比較新舊教材的不同之處,領會新教材的編寫意圖,注重學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展,不能為了做題而教學,在“解三角形”中涉及到學生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng),在“解三角形”中的正、余弦定理的應用都是通過已知量求為知的過程.但是,教師不能簡單的讓學生記住公式,通過做題加深對知識的運用,這樣培養(yǎng)出來的僅僅只是做題的工具,而不是社會所需要得人才.新教材中運用向量的方法推導正余弦定理,這就是對學生數(shù)學運算的考察,教師應該讓學生自己動手進行運算.除此之外,教師還可以讓學生以小組為單位進行討論或作為課后練習,看是否能找到其他推導方法.這樣既促進學生的合作意識,也能從多角度幫助學生提高推理論證能力.

2.2 精選習題,培養(yǎng)數(shù)學思想

很多人認為學好數(shù)學“就得多做、多練”.但是,學習負擔繁重的高中學生,哪有那么多時間來學習數(shù)學呢? 并且這樣的想法也是不對的.正所謂“授之于魚不如授之于漁”,一味的讓學生做題,不如讓學生做好題、做少題.做習題是為了鞏固新知,教師一定要挑選習題,讓學生通過習題,掌握數(shù)學思想方法,這樣便能做到會一道,通一類.

新教材中關于“解三角形”就有這樣一道習題值得精講,那就是習題6.4 的12 題,如下:

如圖3,在ΔABC中,已知AB=2,AC=5,∠ABC=60°,BC,AC邊上的兩條中線AM,BN相交于點P,求∠MPN的余弦值.

圖3

解答此題許多學生想到的方法就是根據正、余弦定理去求解三角形,其實教師還可以引導學生通過向量、坐標等方法進行求解,具體求解過程本文不再敘述,通過對此習題的多角度的思考,不僅可以發(fā)散學生的思維,還能培養(yǎng)學生轉化與化歸,函數(shù)與方程,數(shù)形結合等重要數(shù)學思想方法.如果學生吃透本題,以后再次遇到這樣的“解三角形”的題時,就可以從多角度去思考,此法不行另尋它法.

3 小結

新教材與實驗版教材相比較,以培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)為導向,更關注的是學生對未來的發(fā)展需求,符合學生的認知發(fā)展規(guī)律,讓學生學起來更輕松.教師在教學過程中,需要立足于教材又高于教材,充分利用好新教材,確實把新課改要求落于實處,做到“一切為了學生的發(fā)展”,無愧“師者,傳道授業(yè)解惑也”.