數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在“離散型隨機變量”中的教學(xué)實踐探究*

廣東省廣州市海珠區(qū)第四十一中學(xué)(510250) 梁美霞

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 版)》對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提出,使得基于核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課堂教學(xué)越來越被重視.從教學(xué)實踐的角度看,核心素養(yǎng)為教學(xué)工作者指出了新的教學(xué)觀理念:就教學(xué)方向而言要基于立德樹人教學(xué),就教學(xué)主題而言要基于課程意識和學(xué)科本質(zhì)的教學(xué),就教學(xué)主體而言要基于學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué).

在高三一輪復(fù)習(xí)“概率與統(tǒng)計——離散型隨機變量的均值與方差”的內(nèi)容時,我曾經(jīng)給學(xué)生做了這樣的一道題目:

垃圾是人類日常生活和生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢棄物,由于排出量大,成分復(fù)雜多樣,且具有污染性,所以需要無害化、減量化處理.某市為調(diào)查產(chǎn)生的垃圾數(shù)量,采用簡單隨機抽樣的方法抽取20 個縣城進行了分析,得到樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,···,20),其中xi和yi分別表示第i個縣城的人口(單位:萬人)和該縣年垃圾產(chǎn)生總量(單位:噸),并計算得

其余參考公式略.

(1)請用相關(guān)系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中y與x之間的關(guān)系可用線性回歸模型進行擬合;

(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程;

(3)某科研機構(gòu)研發(fā)了兩款垃圾處理機器,下表是以往兩款垃圾處理機器的使用年限(整年)統(tǒng)計表:

某環(huán)保機構(gòu)若考慮購買其中一款垃圾處理器,以使用年限的頻率估計概率.根據(jù)以往經(jīng)驗估計,該機構(gòu)選擇購買哪一款垃圾處理機器,才能使用更長久?

表1 以往兩款垃圾處理機器的使用年限(整年)統(tǒng)計表

第(1)(2)問主要體現(xiàn)數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng),需要做什么學(xué)生很清楚,也能做出來,但學(xué)生普遍反映:不知道第(3)問要做什么,具體是不知道要依據(jù)什么來進行選擇,所以無從下手.有的學(xué)生只是從考題多數(shù)考什么去想,感覺應(yīng)該與隨機變量的分布列有關(guān)系,但是不知道該怎么做.

學(xué)生出現(xiàn)這樣的情況,其實不僅在學(xué)習(xí)“概率與統(tǒng)計”上.在整個數(shù)學(xué)的教學(xué)和學(xué)習(xí)的過程中,老師的教學(xué)重點和學(xué)生的學(xué)習(xí)重點都是放在知識與技能上,對于數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動重視不夠.學(xué)生一遇到以實際問題情境出現(xiàn)的問題往往都會產(chǎn)生心理負(fù)擔(dān),甚至束手無策.

我們一直強調(diào)數(shù)學(xué)來源于生活而作用于生活.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也指出:數(shù)學(xué)模型搭建了數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁,是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式.數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的基本手段,也是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的動力.通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí),通過“數(shù)學(xué)建?！币庾R的滲透,通過把這些實際生活問題與教學(xué)活動有效整合、融匯,學(xué)生就能更好有意識地用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實世界,發(fā)現(xiàn)和提出問題,感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間的關(guān)聯(lián);學(xué)會用數(shù)學(xué)模型解決實際問題,積累數(shù)學(xué)實踐的經(jīng)驗;認(rèn)識數(shù)學(xué)模型在科學(xué)、社會、工程技術(shù)諸多領(lǐng)域的作用,提升實踐能力,增強創(chuàng)新意識和科學(xué)精神.

數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的每一個模塊都是帶有情境的,每一個知識點都是通過實例引入的,“概率與統(tǒng)計”模塊在這方面更突出,無論是知識點、方法和題目的呈現(xiàn)都離不開生活情境.下面以“離散型隨機變量的均值與方差”為例,談?wù)勅绾卧诮虒W(xué)中發(fā)展學(xué)生“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng).

1 整體優(yōu)化策略

通過“聯(lián)系、組織、整合”,可以實現(xiàn)知識的系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化,并使知識轉(zhuǎn)化為素養(yǎng).強調(diào)聯(lián)系、組織和整合的目的是防止知識和能力的碎片化,改變從單個知識點的識記到理解再到應(yīng)用的認(rèn)知路徑,轉(zhuǎn)變知識導(dǎo)向的傳統(tǒng)教學(xué)模式.“知識點教學(xué)”即指“一個定義、三項注意、幾個例題、大量練習(xí)”,學(xué)生看似完成了學(xué)習(xí)任務(wù),但數(shù)學(xué)素養(yǎng)卻始終沒有形成.而“單元整合教學(xué)”則有利于讓學(xué)生知道并理解整個學(xué)習(xí)內(nèi)容,知道要學(xué)什么、為什么要學(xué)、如何學(xué),從而形成數(shù)學(xué)素養(yǎng).

在學(xué)習(xí)“隨機變量及其分布”整章書的開始階段,就應(yīng)該從生活來源、所需數(shù)學(xué)模型、如何解決問題等方面先來一個總體的介紹,讓學(xué)生知道要學(xué)什么、為什么要學(xué)、如何學(xué).在后面每一節(jié)書的學(xué)習(xí)中,需要不斷地回顧這幾個方面,讓學(xué)生形成整體的意識,自始至終知道在干什么.

1.1 學(xué)什么

就是要繼續(xù)研究隨機現(xiàn)象.我們已經(jīng)知道,概率是描述隨機事件發(fā)生可能性大小的度量,從初中開始,學(xué)生已經(jīng)知道了某些簡單的概率模型,在此基礎(chǔ)上,我們再進一步研究隨機現(xiàn)象.研究一個隨機現(xiàn)象就是要了解它所有可能出現(xiàn)的結(jié)果和每一個結(jié)果出現(xiàn)的概率,分布列正是全面地描述了離散型隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律.我們會學(xué)習(xí)二項分布和超幾何分布兩個應(yīng)用最廣泛的概率模型,還會學(xué)習(xí)隨機變量的某些數(shù)字特征,例如“均值”、“方差”.

“隨機變量及其分布”的知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建:

“離散型隨機變量的均值與方差”是“隨機變量及其分布”里的一個內(nèi)容,在整章書的學(xué)習(xí)開始階段就應(yīng)該有所介紹,讓學(xué)生知道并初步了解.

1.2 為什么要學(xué)

就是要解決實際問題.尋找隨機現(xiàn)象的規(guī)律,可以為制定行動、制定策略提供依據(jù),例如選拔人才、選擇方案等.均值與方差是隨機變量的數(shù)字特征,可以用來描述數(shù)據(jù)的集中程度和離散程度,所以可以通過比較它們的大小來解決實際問題.本文開始所提到的學(xué)生不知道要做什么的題目就是要解決這樣的問題的.題目給出了兩款垃圾處理器不同使用年限的臺數(shù),應(yīng)當(dāng)以每一臺機器的平均使用年限誰大誰小為依據(jù)做出選擇.所以題目第(3)問的解決如下:

解:以頻率估計概率,甲款垃圾處理機器的使用年限為X(單位:年)的分布列為:

表2 甲款垃圾處理機器的使用年限的分布列

乙款垃圾處理機器使用年限為Y(單位:年)的分布列為:

表3 乙款垃圾處理機器的使用年限的分布列

因為E(X)＞E(Y),所以該機構(gòu)購買一臺甲款垃圾處理機器使用更長久.

當(dāng)然,我們不能把“文字應(yīng)用題”看成是“數(shù)學(xué)建?！?文字應(yīng)用題面對的問題情境常常是條件不多不少,解法指向清晰,結(jié)果常常是確定的或唯一的.而數(shù)學(xué)建模常常需要一般化地解決一類問題,初始條件的變動常常給解決問題的模型帶來隨參數(shù)變動的不同結(jié)果,確定模型參數(shù)的可能取值或變化范圍,說清楚模型參數(shù)和結(jié)果的關(guān)系,是用數(shù)學(xué)模型方法解決問題的標(biāo)志性手法.

1.3 如何學(xué)

通過適當(dāng)?shù)膶嵗?在探究、思考等活動的帶領(lǐng)下,引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,通過親身實踐、主動思維,經(jīng)歷不斷的從具體到抽象的概括活動來理解和掌握有關(guān)知識.

在數(shù)學(xué)建?；顒又?讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)模型、特別是經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的形成過程是非常重要的,因為在這個過程中,可以讓學(xué)生真實地體驗如何通過數(shù)學(xué)的“眼睛”來觀察和分析現(xiàn)實世界中的一些事情,提出并且利用數(shù)學(xué)的“語言”來描述和分析這些事情,最后能數(shù)學(xué)化地形成比較清晰的假設(shè)、目標(biāo)問題等.讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)是現(xiàn)實的、是有用的,從而理解數(shù)學(xué)的價值,增強學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

2 情境設(shè)計策略

情境是“湯”,知識是“鹽”,鹽只有溶于湯才好入口,知識只有融入情境才好理解和消化.知識的情境化是知識活化并轉(zhuǎn)化為素養(yǎng)的必經(jīng)途徑,而知識的過渡符號化和抽象化必然導(dǎo)致知識的惰性化和僵化,從而喪失知識的活力和價值.如果說整體化解決的是知識之間的關(guān)系問題,那么情境化解決的是知識與背景、理論與實踐、文字符號與實際事物之間的關(guān)系問題.

現(xiàn)實生活是教學(xué)的源泉,是科學(xué)世界的根基,教學(xué)只有聯(lián)系生活,走進生活,才能使人真正體驗和理解知識的內(nèi)在意義和價值.實際生活是學(xué)生學(xué)習(xí)的最好情境,它有助于學(xué)生形成從生活中學(xué)習(xí)、從實踐中學(xué)習(xí)的習(xí)慣,并養(yǎng)成解決實際問題的真能力.

人教A 版教材在“隨機變量及其分布”的章頭圖中,選用了一個射擊運動情境.在射擊運動中,每次射擊的成績是一個非常典型的隨機事件.這個學(xué)生熟悉的情境被教科書多次選用,第一次出現(xiàn)在必修三第二章“統(tǒng)計”里對“標(biāo)準(zhǔn)差”的教學(xué)中:

有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10 次,每次命中的環(huán)數(shù)如下:

如果你是教練,你應(yīng)當(dāng)如何對這次射擊測試情況作出評價? 如果這是一次選拔性考核,你應(yīng)當(dāng)如何選擇?

這個實際情境是為了引出“標(biāo)準(zhǔn)差”,并且在“離散型隨機變量的方差”的探究中再次出現(xiàn),為了引出“隨機變量的方差”:

要從兩名同學(xué)中挑出一名,代表班級參加射擊比賽,根據(jù)以往的成績記錄,第一名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X1的分布列為

表4 第一名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X1 的分布列

第二名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X2的分布列為

表5 第二名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X2 的分布列

應(yīng)該派哪名同學(xué)參賽?

這個情境不僅能很好地引出新知識,而且溝通了新舊知識之間的聯(lián)系.教學(xué)中應(yīng)該重視并利用起來.

“概率與統(tǒng)計”不僅通過創(chuàng)設(shè)實際情境幫助學(xué)生理解概念,考題的呈現(xiàn)也都以實際問題情境出現(xiàn),例如本文開始所提到的題目,因此,情景設(shè)計策略在本模塊中顯得尤為重要.除了書本、老師、考題給學(xué)生創(chuàng)設(shè)情境外,還可以讓學(xué)生自己舉例子去說明均值、方差在實際中有什么用,讓學(xué)生更好地理解均值、方差的含義.

3 問題驅(qū)動策略

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出:數(shù)學(xué)建模主要表現(xiàn)為:發(fā)現(xiàn)和提出問題,建立和求解模型,檢驗和完善模型,分析和解決問題.不難看出,上述主要表現(xiàn)是在問題解決的驅(qū)動過程中,探索模型的形成、完善的行為表現(xiàn).

沒有問題就不會產(chǎn)生解釋問題和解決問題的思想、方法以及相關(guān)的知識.學(xué)生學(xué)習(xí)必須重視問題的作用.現(xiàn)代教學(xué)論指出:從本質(zhì)上講,感知不是學(xué)習(xí)產(chǎn)生的根本原因(盡管學(xué)生學(xué)習(xí)時需要感知),學(xué)習(xí)產(chǎn)生的根本原因是問題.沒有問題也就難以誘發(fā)和激起求知欲,沒有問題,或者感覺不到問題的存在,學(xué)生就不會去深入思考,學(xué)習(xí)也就只能停留在表層和形式上.人教A 版教材在“隨機變量及其分布”的章頭圖中,選用了一個射擊運動情境,并提出問題:如何刻畫每個運動員射擊的技術(shù)水平與特點? 如何比較兩個運動員的射擊水平? 如何選擇優(yōu)秀運動員代表國家參加奧運會才能使得獲勝的概率大? 這些問題的解決需要離散型隨機變量的均值與方差的知識.

事實上,均值和方差并不是新的概念,我們還可以提出與舊知識有聯(lián)系的問題引導(dǎo)學(xué)生思考,例如:

問題1:隨機變量的分布列全面刻畫了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律,但在實際問題中,有時我們更感興趣的是隨機變量的某些數(shù)字特征,同學(xué)們還記得在“統(tǒng)計”中我們學(xué)過哪些反映數(shù)據(jù)集中程度和離散程度的數(shù)字特征嗎?

問題2:在用樣本估計總體中,我們是如何計算平均數(shù)的?

問題3:在頻率分布直方圖中,我們是如何估計平均數(shù)的?

問題4:你能由頻率分布直方圖估計平均數(shù)的方法中,類似地得出隨機變量均值的計算方法嗎?

問題5:隨機變量的均值與樣本的平均值有何聯(lián)系與區(qū)別?

問題6:如果X 是一個隨機變量,a,b為常數(shù),Y=aX+b是不是隨機變量? 如何計算Y的均值?

通過以上問題的思考,也可以引導(dǎo)學(xué)生通過回顧樣本平均值的計算與性質(zhì)一步步得到離散型隨機變量的均值的定義與性質(zhì).

為了突出離散型隨機變量均值的含義和在解決實際問題中的作用,可以創(chuàng)設(shè)簡單的情境提出問題,例如人教A 版選修2-3 第64 頁練習(xí):

產(chǎn)量相同的2 臺機床生產(chǎn)同一種零件,它們在一小時內(nèi)生產(chǎn)出的次品數(shù)X1,X2的分布列如下:

表6 X1 的分布列

表7 X2 的分布列

問:哪臺機床更好? 請解釋你所得出結(jié)論的實際含義.

本文開始所提到的題目的第(3)問也是考查離散型隨機變量均值的含義與作用的.

“概率與統(tǒng)計”所研究的問題與我們的日常生活息息相關(guān),所研究的數(shù)據(jù)都是帶有實際背景的,研究的目的也是根據(jù)所關(guān)心的問題尋求好的方法,對數(shù)據(jù)進行分析和判斷,從而得到必要的信息去解釋實際問題.所以,與其他數(shù)學(xué)知識相比,本章知識有更豐富的實際背景,需要更加重視實踐和應(yīng)用.

《數(shù)學(xué)學(xué)科高考備考指導(dǎo)意見》提出:新高考試卷試題文字閱讀量增加,設(shè)置日常生活背景、實際應(yīng)用背景和文化背景的試題題量增加,考試要求自然提高,學(xué)生學(xué)習(xí)難度增大,復(fù)習(xí)中,教師應(yīng)該加強審題教學(xué)的閱讀指導(dǎo),選擇一些含有背景材料的數(shù)學(xué)問題,讓學(xué)生經(jīng)歷提取關(guān)鍵信息、分析解題思路、示范規(guī)范表達(dá)、反思積淀經(jīng)驗的完整過程,提高學(xué)生的閱讀理解能力和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),這是我們一線教師積極響應(yīng)新高考,應(yīng)該加強的努力方向.