立足代數(shù)課堂,聚焦核心素養(yǎng)
——以“平方差公式(第1 課時)”為例

山東省淄博市淄川區(qū)楊寨中學(255000) 劉慧 王廷

當前,核心素養(yǎng)的提出,要求教師在課堂教學中必須堅持“以生為本”的理念,促進學生的全面發(fā)展.其中,數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)應致力于學生在數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象等方面的提升,這需要教師將核心素養(yǎng)的教育理念與教學課堂實踐進行有機結合.下面,筆者以“平方差公式(第1 課時)”為例,談談在核心素養(yǎng)的視角下對初中代數(shù)課堂的教學實踐與思考.

1 教材分析

平方差公式是多項式乘法運算中的一個重要公式,是在學習了整式乘法基本運算法則之后,對于特殊形式的多項式乘法的進一步研究,屬于數(shù)學再創(chuàng)造活動的結果.平方差公式在整式乘法,因式分解,分式運算及其它代數(shù)式的變形中起著十分重要的作用.同時,它也是構建學生有價值的數(shù)學知識體系并形成相應數(shù)學技能的重要內容,是讓學生感悟化歸、換元、整體等數(shù)學思想,以及感受數(shù)學再創(chuàng)造性的好教材.

2 教學實錄與分析

2.1 創(chuàng)設情境,激發(fā)興趣

問題:從前,有一個狡猾的地主,把一塊邊長為a米的正方形土地租給張老漢種植.第二年,他對張老漢說:“我把這塊地的一邊減少b米(b ＜a),相鄰的另一邊增加b米,繼續(xù)租給你,租金不變,你也沒有吃虧,你看如何? ”張老漢一聽,覺得好像沒有吃虧,就答應道:“好吧”.回到家中,他把這事和鄰居們一講,大家都說:“張老漢,你吃虧了! ”張老漢非常吃驚.你覺得張老漢吃虧了嗎?

師:同學們覺得張老漢有沒有吃虧呢?

生1:沒有吃虧!

生2:我覺得沒那么簡單,張老漢可能吃虧了!

師:兩位同學有不同的意見,誰的觀點是正確的呢? 下面請同學們小組合作,利用手中的紙片來研究一下吧!

教學分析:利用故事創(chuàng)設情境,激發(fā)學生強烈的求知欲和探索欲,調動學生的積極性,并訓練學生的數(shù)學猜想能力,發(fā)展學生合情推理的數(shù)學素養(yǎng).同時,也為學生了解平方差公式的幾何背景做鋪墊,進一步發(fā)展學生的幾何直觀.

2.2 自主探究,獲取新知

師:剛剛同學們討論的非常熱烈,大部分同學都有了自己的結論,下面請一個小組上臺來展示一下.

生3:我們小組通過拼圖(如圖1) 的方式來進行研究的:原來正方形的面積為a2,變形后長方形的面積為(a+b)(a-b),通過拼圖可以發(fā)現(xiàn)長方形的面積比正方形的面積少了一個面積為b2的小正方形(動手演示),所以張老漢吃虧了!

圖1

師:很好,十分清晰.通過拼圖我們可以確定張老漢確實吃虧了,那么同學們能通過這個問題得到一個什么等式呢?

生4:(a+b)(a-b)=a2-b2.

師:很好! 這個等式我們把它叫做平方差公式.

(板書:平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.)

師:同學們能利用多項式乘多項式的法則推導驗證一下這個公式嗎?

生5:(a+b)(a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2.

師:很好! 請同學們注意,在這個公式中a、b可以是任意實數(shù)、字母、式子.同學們能用文字表達一下這個公式嗎?

生6:兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積,等于這兩個數(shù)的平方差.

師:很好,表達的非常準確!

教學分析:通過小組合作以及學生動手操作,學生在探索面積變化的過程中,從“形”的角度得出了平方差公式.接下來,學生再利用乘法法則進一步推理驗證,再從“數(shù)”的角度驗證平方差公式,完成了從合情推理到演繹推理的過程,提升了邏輯推理的核心素養(yǎng),也體會了數(shù)形結合的數(shù)學思想.同時,學生在把問題情境抽象成數(shù)學問題的過程中,鍛煉了數(shù)學抽象、數(shù)學建模的能力,在拼圖的過程中也提升了直觀想象的數(shù)學核心素養(yǎng).

2.3 深度挖掘,明確結構

師:請同學們利用平方差公式進行口算:(x+1)(x-1);(m+2)(m-2).

生7:(x+1)(x-1)=x2-1;(m+2)(m-2)=m2-4.

師:很好,同學們發(fā)現(xiàn)平方差公式的作用了嗎?

生8:利用平方差公式可以進行快速運算!

師:對! 但是平方差公式可不能亂用! 下面請同學們看看下列這些乘法運算可以用平方差公式進行計算嗎?

(1) (7ab -3b)(7ab+3b);(2) (-8 +a)(a-8);(3) (a+2b)(2b+a);(4)-(a-b)(a+b);(5) (-3-m)(m-3);(6)(x+3)(-x-3).

生9:第1 個和第4 個可以用!

生10:還有第5 個和第6 個可以用!

生11:不對! 第6 個不可以用!

師:能說明理由嗎?

生11:因為兩個括號里的第一項符號不一樣!

師:觀察非常仔細! 那同學們能總結一下整式乘法要滿足什么樣的結構才可以用平方差公式呢?

生12:兩個乘式的第一項必須都是正的,第二項必須一正一負互為相反數(shù).

師:有不同意見嗎?

生13:兩個乘式的第一項也可以都是負的,只要第一項相同就可以了.

師:不錯,那么一定是第一項相同,第二項互為相反數(shù)嗎?

生14:不一定! 只要兩個乘式的兩項中,有一項完全相同,另一項互為相反數(shù)就可以用平方差公式.

師:能具體說明一下原因嗎?

生14:因為我們可以利用加法的交換律把相同的項都放在第一項,互為相反數(shù)的項都放在第二項,就可以應用平方差公式了.

師:非常好,觀察認真,理由充分! 所以,在進行兩個二項式乘法計算時,我們一定要觀察好兩個乘式是否符合平方差公式的結構特征,必要的時候需要進行恰當?shù)淖冃卧龠\用公式進行計算.

教學分析:在這個環(huán)節(jié)中,學生先通過兩道簡單的口算題初步感受平方差公式在乘法運算中帶來的簡便性,同時也鍛煉了學生的數(shù)學運算能力.接下來,學生自主辨析并深入挖掘平方差公式的結構特征,這一步是學生理解公式,進而靈活運用公式解決問題的重要條件.在這個過程中,學生通過明辨結構,發(fā)展了抽象思維、符號意識以及推理能力,進一步提升了數(shù)學核心素養(yǎng).

2.4 典例實踐,學以致用

例1 計算:

(1)(2x+1)(2x-1);(2)(3x+2)(3x-2);(3)(b+2a)(2ab);(4)(-x+2y)(-x-2y).

例2 計算:

(1)102×98;(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5).

教學說明:教師選取個別學生板演,在巡視過程中及時記錄學生出現(xiàn)的問題,然后師生一起糾錯.其中,例1 的第(4)題學生錯的較多,教師提醒學生要先對原多項式進行變形,再應用公式;例2 的第(2)題,個別學生由于思維定式認為(y-1)(y+5)也可以用平方差公式,教師要提醒學生注意:不能用平方差公式進行計算的應該用多項式乘法法則進行計算!

教學分析:通過這兩個例題,讓學生體會平方差公式如何正確運用,并檢測學生對公式的理解程度.在這里放手讓學生自主完成,充分體現(xiàn)了學生在課堂的主體地位,挖掘了學生的學習能力和潛力,提升了學生的運算能力,同時也發(fā)展了學生的數(shù)感和符號意識.

2.5 實踐反饋,強化新知

練習1：判斷下面各式的計算對不對? 若不對,應當怎樣改正?

(1)(x+2)(x-2)=x2-2;

(2)(-3a-2)(3a-2)=9a2-4.

練習2：運用平方差公式計算:

(1)(a+3b)(a-3b);(2)(3+2a)(-3+2a);(3)51×49;(4)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).

教學說明:學生獨立完成,完成后小組內互相訂正,互查錯誤,教師巡視指導.

教學分析:通過此環(huán)節(jié),進一步加強學生對平方差公式的理解和運用,不僅能繼續(xù)發(fā)展學生的運算能力,也培養(yǎng)了學生的應用意識.在組內互查訂正的過程中,學生的自我管理和合作意識也得到了有效提升,初步發(fā)展了適應社會需要的必備品格和能力.

2.6 總結收獲,感悟升華

師:通過這節(jié)課你學到了什么? 有什么收獲呢?

生15:我學到了平方差公式,知道了平方差公式可以幫助我們簡化計算!

生16:利用平方差公式要注意觀察多項式的形式,滿足平方差公式的結構特征才可以用! 有時需要先變形再用!

師:同學們在數(shù)學思想和數(shù)學方法方面有什么收獲呢?

生17:在研究公式的時候可以借助拼圖,用圖形來幫助我們研究代數(shù)!

師:很好,這就是我們常說的數(shù)形結合思想! 剛剛同學們總結的非常好! 在今后的數(shù)學學習中,同學們也要繼續(xù)努力,積極探索,在代數(shù)的海洋中發(fā)現(xiàn)更多的公式和結論!

教學分析:學生在總結中對學到的知識、方法、思想進行再升華、再提煉,通過有條理地表達鍛煉了勤于總結,勤于反思的良好素養(yǎng).

3 核心素養(yǎng)視角下對代數(shù)課堂教學的思考

3.1 注重對運算法則的探索過程

“數(shù)與代數(shù)”這部分課程內容的教學,不能簡單地要求學生記憶各種運算法則,應關注學生對法則的探索過程.在《義務教育數(shù)學課程標準(2011 年版)》中指出:數(shù)學課程不僅包括數(shù)學的結果,也包括數(shù)學結果的形成過程和蘊涵的數(shù)學思想方法.在課堂教學中,教師不僅要關注結果,更要關注過程.只有在對法則的探索過程中讓學生不斷積累數(shù)學活動經(jīng)驗,才能有效提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)[1].

3.2 注重發(fā)展學生的推理能力

推理貫穿于數(shù)學教學的始終.也許有人認為推理能力的培養(yǎng)主要體現(xiàn)在幾何教學中,這是不準確的.事實上,代數(shù)對發(fā)展學生的推理能力也有十分重要的作用.學生在對事物之間的數(shù)量關系或變化規(guī)律進行分析的過程中,通過歸納與概括,發(fā)現(xiàn)隱含其中的量與量之間的關系,并用符號一般性地表示出來,再用運算法則證明猜想,從合情推理再到演繹推理,都能發(fā)展學生的推理能力,有助于提升學生的邏輯推理核心素養(yǎng).

3.3 注重發(fā)展學生的幾何直觀

在代數(shù)的課堂教學中,教師應注重將代數(shù)推理與幾何直觀相結合.幾何直觀有效幫助學生探索、理解、記憶代數(shù)結論的意義和結構.同時,在代數(shù)中發(fā)展學生的幾何直觀也可以幫助學生感悟數(shù)形結合的數(shù)學思想,提升學生直觀想象的核心素養(yǎng).

總之,核心素養(yǎng)視角下,在初中代數(shù)課堂的教學中,教師應致力于將發(fā)展學生的核心素養(yǎng)作為各項教學活動安排的基本思想.只有將核心素養(yǎng)的教育理念融入到課堂教學的每一個環(huán)節(jié),才能在課堂教學中體現(xiàn)并落實數(shù)學核心素養(yǎng),促進學生核心素養(yǎng)的持續(xù)性發(fā)展[2].