基于軟集優(yōu)勢矩陣的二值決策方法

車 蕊，耿生玲,2

（1.青海師范大學(xué)計算機學(xué)院，西寧 810008；2.高原科學(xué)與可持續(xù)發(fā)展研究院，西寧 810008）

0 引言

隨著現(xiàn)實生活中科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，社會、政治、經(jīng)濟等眾多領(lǐng)域存在著大量且復(fù)雜的不確定和不精確的數(shù)據(jù)，如何科學(xué)有效地進(jìn)行決策，眾多學(xué)者和研究人員提出了許多地數(shù)學(xué)工具和模型，例如區(qū)間數(shù)學(xué)、概率論、模糊集、粗糙集等，但是這些傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)工具因其自身的性質(zhì)在處理決策問題上都有一定的缺陷與不足。軟集理論是俄羅斯學(xué)者M(jìn)olodstov 在1999年提出的一種處理不確定問題的數(shù)學(xué)工具。近年來軟集理論及其應(yīng)用發(fā)展非常迅速，軟集在數(shù)據(jù)挖掘、決策和信息約簡等方面的應(yīng)用已經(jīng)非常廣泛。軟集的優(yōu)勢矩陣是Han在文獻(xiàn)［10，11］中提出的概念，表示每個對象的優(yōu)勢信息，即對于任意的對象來說，其優(yōu)于其他對象的參數(shù)信息。在文獻(xiàn)［12］中對軟集優(yōu)勢矩陣的理論進(jìn)行了應(yīng)用，通過局部參數(shù)之間的線性約束表示正規(guī)參數(shù)約簡及偽參數(shù)約簡的條件，將軟集參數(shù)約簡問題轉(zhuǎn)化為0 - 1 線性規(guī)劃問題。Geng提出了一種基于整數(shù)劃分的軟集最小||參數(shù)子集的離線和在線算法。

決策泛指對若干個備選方案進(jìn)行綜合評價、最優(yōu)選擇或偏好排序的一種過程。決策問題在人們的日常生活中隨處可見，通常需要從多個角度對備選方案進(jìn)行評價，充分考慮決策過程中許多相互聯(lián)系而又相互制約的準(zhǔn)則和因素，進(jìn)而根據(jù)備選方案的整體表現(xiàn)選出最優(yōu)方案。這種在多個不能相互替代的準(zhǔn)則下進(jìn)行的決策被稱為多準(zhǔn)則決策。根據(jù)決策問題是連續(xù)型或離散型這兩種情況，可將多準(zhǔn)則決策分為多目標(biāo)決策和多屬性決策兩個子類，并分別進(jìn)行研究。作為描述和處理不確定信息的有力數(shù)學(xué)工具，Maji首次將軟集應(yīng)用于分析決策問題。文獻(xiàn)［16-21］則提出了一系列擴展模型的多屬性決策新方法，并將其應(yīng)用到實際問題中，取得了良好的研究成果。

優(yōu)勢矩陣在軟集處理不確定信息時有著非常強大的作用，本文首先提出了一種決策結(jié)果為雙對象的決策方式——二值決策，然后利用軟集及其優(yōu)勢矩陣提出了兩種二值決策方法，最后通過實例進(jìn)行分析與對比，說明這兩種方法的實際意義。

1 軟集理論

設(shè)={,,…,u}是有限對象集合,是一個參數(shù)集合。例如，信息系統(tǒng)中的屬性可以被看成參數(shù)。?()為的冪集，||表示集合的基數(shù)。

二元組=(,)稱為上的一個軟集,其中

（1）是的子集。

（2）:→?()，?∈,() 表示參數(shù)對應(yīng)的的子集。我們用(,) = 1((,)=0)表示是（否）為()的元素。

令=(,)是上的一個軟集。?∈， 定 義的 參 數(shù) 支 撐 集 為{∈|(,) = 1} ，記為supp()。

令=(,)是論域上的一個軟集，u,u,u∈,如果σ(u)+ σ(u)= σ(u)+σ(u)， |supp(u) |+ |supp(u) |= |supp(u) |+|supp(u) |，| supp(u) ∪supp(u) |≠|(zhì)supp(u) ∪supp(u)| 。

給定上的一個軟集=(,)，?u,u∈, 定 義 D= supp(u)- supp(u) ∩supp(u)。D為u在u上的主導(dǎo)支撐參數(shù)，同理D為u在u上的主導(dǎo)支撐參數(shù)。

給定上的一個軟集=(,)，||=。我們稱D=[D] 為軟集的優(yōu)勢矩陣。

設(shè)=(,)為論域上的一個軟集，= ||，?u,u∈，u和u的“取小”運算為

2 基于軟集參數(shù)支撐集的二值決策

二值決策是在給定的備選方案集中選擇其中的兩個備選方案作為決策結(jié)果。軟集可以很好地對決策問題進(jìn)行建模，并且軟集中的對象集和參數(shù)集可以與決策中的備選方案集和屬性集相對應(yīng)。

設(shè)={,,…,u}(> 2)是備選方案集，={,,…,c}(> 2) 屬性集，定義二值決策集S={ (u,u)|u,u∈,u≠u},其中二元組(u,u)為二值決策對。

對于論域上的軟集=(,)來說，對象u滿足的參數(shù)越多，其越能滿足決策要求，所以選擇值最大的兩個對象作為決策結(jié)果，即

但是，可能有個對象都滿足σ(u)=max(σ())，則會產(chǎn)生很多滿足上述條件的二值決策對。

令=(,)是論域上的一個軟集，當(dāng)有個對象都滿足σ(u)= max(σ())，二值決策對選擇值相加為最大的集合記為，

根據(jù)定理1 可知，如果(u,u),(u,u)∈，則σ(u)+ σ(u)= σ(u)+ σ(u), 但是|supp(u) ∪supp(u) |與 |supp(u) ∪supp(u)|可能不相等。因為進(jìn)行二值決策的主要原因是一個對象很難滿足決策的需求，所以在此處選擇參數(shù)支撐集的并集大的二值決策對。

除上述情況外，還會出現(xiàn)滿足σ(u)=max(σ())的對象是唯一的，但是滿足次大值的對象有多個，解決辦法與上述情況相類似。

令=(,)是論域上的一個軟集，且只有一個對象滿足σ(u)= max(σ())。當(dāng)有個對象都滿足σ(u)= max(σ ())，則二值決策對選擇值相加為最大的集合

下面給出基于軟集參數(shù)支撐集的二值決策的具體的步驟：

（1）輸入軟集=(,)。

（2）計算對象集中每個對象u的選擇值函數(shù)σ(u)，并按照選擇值大小進(jìn)行降序排序。

（3）判斷選擇值為最大的對象的個數(shù)，如果個數(shù)是1，則執(zhí)行（4）；如果個數(shù)不是1，則執(zhí)行（5）。

為了更好的理解與應(yīng)用，下面給出具體的實例進(jìn)行說明。

李先生為了保持身體的健康與活力，打算購買保健品，由于保健品選擇太多會導(dǎo)致相克的問題，李先生在對保健品進(jìn)行品牌、價格和服用方式等初步的篩選后，決定從符合條件的6 個保健品中選擇2 個購買，即={,,,,,}。 參數(shù)集表示市面上所有符合國家保準(zhǔn)的保健品的功效的集合。李先生選擇出自己所需要的以及感興趣的8個功效，即={,,,,,,,}，分別表示“保護(hù)心臟健康”“預(yù)防心血管疾病”“改善關(guān)節(jié)”“抗氧抗衰”“激活和修復(fù)受損細(xì)胞”“穩(wěn)定三高”“恢復(fù)大腦活力”“緩解眼部疲勞”。對這6個保健品及其功效可以采用軟集來表示，如表1所示。

表1 例1的軟集S =(F,A)

通過簡單計算可以得出選擇值函數(shù)的值，根據(jù)選擇值的大小對u∈進(jìn)行降序排序，

結(jié)果如下：

即選擇值為最大的對象只有對象，個數(shù)為1；選擇值為次大的對象有和，個數(shù)為2。則滿足條件的二值決策對有{ (,),(,) }。計算每個二值決策對的參數(shù)支撐集：

因此，李先生購買2個保健品的最佳選擇為和。

3 基于軟集優(yōu)勢矩陣的二值決策

在實際問題中有時只需要兩個對象中的一個對象滿足某個參數(shù)即可，例如在例1中，在品牌定位是近似的前提下，保健品的價格與其具有的功效是成正比的，也就是說一種保健品的功效越多其價格越高；反之保健品的功效越少，其價格會越低。如果所選擇的兩個保健品包含過多的相同功效，則會增大開支?；诖?，提出了基于軟集優(yōu)勢矩陣的二值決策。

根據(jù)集合的運算可知：

令=(,)是論域上的一個軟集，||=，D為軟集的優(yōu)勢矩陣，定義軟集上的二值決策對(u,u)的相互優(yōu)勢值為V,V= | D|+ |D|(,= 1,2,…,,≠).

令=(,)是論域上的一個軟集， ||=，D為軟集的優(yōu)勢矩陣，

所以在做二值決策的過程中，我們不需要遍歷D中所有的D，只需遍歷矩陣主對角線以上的D即可。

令=(,)是論域上的一個軟集， ||=，D為軟集的優(yōu)勢矩陣，滿足V= max(V),= 1,2,…,,≠的二值決策對(u,u) ∈S構(gòu)成一個新的集合，記為

如 果 (u,u),(u,u) ∈, 則 | D|+| D|= | D|+ | D|。為了求出參數(shù)支撐集最大的二值決策對，需要比較(u,u),(u,u)之 間supp(u) ∩supp(u) 和supp(u) ∩supp(u)的大小，就可以轉(zhuǎn)化為對u和u進(jìn)行“取小”運算，并計算 |u∧u|，|u∧u|結(jié)果最大的二值決策對為最優(yōu)決策對。

具體地解決步驟如下:

（1）輸入軟集=(,)；

（2）計算軟集的優(yōu)勢矩陣（由于該方法只需要每一個D中所包含參數(shù)的個數(shù)，所以在實際編寫代碼過程中只需記錄 | D|+ | D|即可）；

（3）計算出所有的V的值，找出V值最大所有的二值決策對(u,u)并記錄，如果只有一個結(jié)果，則該二值決策對(u,u)為最優(yōu)決策對；如果結(jié)果超過一個，則繼續(xù)后面的步驟；

（4）對（1）執(zhí)行后的所有二值決策對(u,u)進(jìn)行“取大”運算，計算出 |u∧u|的值并記錄|u∧u|結(jié)果最大的二值決策對(u,u)，即為最優(yōu)決策對。

針對例1 中給出的實例，采用基于軟集優(yōu)勢矩陣的二值決策方法進(jìn)行求解。首先求出軟集的優(yōu)勢矩陣D，如表2所示。

表2 例1的軟集的優(yōu)勢矩陣

計算所有的V的值：

max(V)= 7,={(,), (,)}.分別對這2 個二值決策對中的對象進(jìn)行“取小”運算（表3）。

表3 (u1,u6)“取小”運算

表4 (u2,u6)“取小”運算

通過上述運算的結(jié)果 ||∧= 1, ||∧=0。因此，李先生購買2 個保健品的最佳選擇為和。

4 兩種決策方法的對比分析

利用上述兩種方法解決例1 中的實際問題時，可以看到其結(jié)果是不同的。在基于軟集優(yōu)勢矩陣的二值決策方法中，二值決策對(,)的相互優(yōu)勢值為= 6。對和進(jìn)行“取小”運算，結(jié)果如表5所示。

表5 (u3,u6)“取小”運算

在處理實際問題的過程中會有不同的決策要求，例如文中給出的例子，主要考慮的是保健品的性價比，但是也會出現(xiàn)當(dāng)兩個對象具有相同屬性或功能時會產(chǎn)生1 + 1 > 2 的現(xiàn)象，這時采用基于軟集參數(shù)支撐集的二值決策方法會更符合要求。

5 結(jié)語

軟集理論是用來處理不確定性知識的重要的數(shù)學(xué)工具，優(yōu)勢矩陣的提出與建立促進(jìn)了軟集理論的發(fā)展及其在許多領(lǐng)域中的應(yīng)用。本文對現(xiàn)實中的決策問題進(jìn)行歸納總結(jié)，提煉出一種決策結(jié)果為成對的二值決策問題，對二值決策進(jìn)行了定義，同時，基于提出了基于軟集參數(shù)支撐集的二值決策方法和基于軟集優(yōu)勢矩陣的二值決策方法，并利用實例對兩種方法進(jìn)行分析與對比。本文提出的兩種決策方法擴展了在現(xiàn)實生活中對不確定數(shù)據(jù)的處理，增強解決決策問題的能力。