一類雙曲型方程組的Cauchy問題

金啟勝

(1.安慶職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 安慶 246003；2.安慶師范大學(xué)，安徽 安慶 246003)

1 預(yù)備知識

設(shè)aij,bij,ci是區(qū)域Ω中(x,t)的充分光滑的函數(shù)，記

U=[u1

?

um],C=[c1

?

cm],m×n矩陣A=(aij),B=(bij)。

對于向量方程Ut+AUx+BU+C=0對應(yīng)的方程組我們給出：

定義1如果方程組在Ω內(nèi)一點的特征方向(即A的特征值)是實的，則稱方程組在該點是雙曲型方程組；如果方程組在Ω內(nèi)每一點都是雙曲型的，則稱方程組在Ω內(nèi)是雙曲型方程組。

考慮下面雙曲型方程組的Cauchy問題

(1)

(2)

2 主要結(jié)論和證明

定理1在Cauchy問題(2)中，若A(x,t),C(x,t),d(x,t),g(x)在0≤t≤η,|x|<∞上其本身及所有一階偏微商連續(xù)且一致有界，則存在常數(shù)η0>0使得Cauchy問題(2)，當(dāng)0≤t≤η0,|x|<∞時，存在唯一的C1類解[1-3]

V(x,t)=(v1(x,t),v2(x,t),…,vm(x,t))T

+di(αi(τ;x,t),τ)，i=1,2,…,m

(3)

上式沿γi關(guān)于τ在[0,t]上積分得

(4)

其中，cij,vj,di的自變量(X,τ)=(αi(τ;x,t),τ)。

用向量把積分方程組(4)寫成

V(x,t)=W+FV

(5)

其中，W是以wi(i=1,2,…,m)為元素的m維列向量

wi=wi(x,t)

(6)

FV是以(FV)i(i=1,2,…,m)為分量的列向量

(FV)i

(7)

易知，問題(1)(或問題(2))的解必是問題(4)(或問題(5))的解，反之，若問題(4)(或問題(5))的解屬于C1類，則必是問題(1)(或問題(2))的解。所以，要證明問題(1)(或問題(2))存在唯一解，只需證明問題(4)(或問題(5))存在唯一的C1類解即可。

第二步，記

Ω={(x,t)|0≤t≤η,|x|<∞}

(8)

其中，常數(shù)η>0。設(shè)gi,αi,di,cij(i,j=1,2,…,m)及其一階微商在Ω上連續(xù)且一致有界。下證當(dāng)0≤t≤η,η足夠小時，問題(5)存在唯一C1類光滑解。

‖V‖=max{|V|,|Vx|}

其中

(9)

令V(0)(x,t)

=(g1(α1(0;x,t)),…,gm(αm(0;x,t)))T

V(n)(x,t)=TV(n-1)(x,t),n=1,2,…

=nq*

根據(jù)已知函數(shù)所設(shè)知道，q*<∞。取正數(shù)η=η0足夠小，使得η0q*=q0<1。

vi(x,t)=wi(x,t)

(10)

我們知道，并非對一切類型的方程組都可以提Cauchy問題。當(dāng)方程組的特征方程有復(fù)根時，方程組的Cauchy問題的解是不穩(wěn)定的。但對于雙曲型方程組(2)有

證明設(shè)對應(yīng)于初始條件g(1)(x)與g(2)(x)的Cauchy問題的C1類解分別為V(1)與V(2)，根據(jù)(5)式可知

V(j)=W(j)+FV(j),j=1,2

(11)

其中，W(j)的元素wi(j)(i=1,2,…,m)由(6)式確定，只是把那里的wi,gi分別以wi(j),gi(j)代替，j=1,2；i=1,2,…,m。根據(jù)(11)式得

‖V(1)-V(2)‖

≤ ‖g(1)-g(2)‖+‖F(xiàn)(V(1)-V(2))‖

< ‖g(1)-g(2)‖+q0‖V(1)-V(2)‖

所以，(1-q0)‖V(1)-V(2)‖<‖g(1)-g(2)‖。