排序集抽樣下隨機截尾數(shù)據(jù)的平均壽命估計

張良勇，董曉芳

(河北經(jīng)貿(mào)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，河北 石家莊 050061)

排序集抽樣(ranked set sampling，RSS)方法是在估計澳大利亞農(nóng)場牧草產(chǎn)量時首次被提出的，已被廣泛應(yīng)用到系統(tǒng)可靠性、質(zhì)量管理、臨床醫(yī)學(xué)、生態(tài)環(huán)境等領(lǐng)域[1-6].排序集樣本不僅包含了樣本信息，還包含了次序信息.在實際中只要感興趣的樣本不易具體測量，但較容易直觀排序時，RSS方法比簡單隨機抽樣(simple random sampling，SRS)方法更加有效.例如，Awais等[5]將RSS方法應(yīng)用到產(chǎn)品質(zhì)量控制圖方面，并證實了其抽樣效率明顯高于SRS方法.Risch等[6]采用極值RSS方法對配對親屬進行遺傳相關(guān)性試驗，論證了試驗效率能得到顯著地提高.

隨著RSS方法的廣泛應(yīng)用，基于RSS的統(tǒng)計問題被研究，并獲得許多重要的成果.以下只列舉RSS下總體均值的非參數(shù)估計代表性研究成果.Dell等[7]利用排序集樣本均值估計總體均值，并證明了此估計量具有無偏性和適應(yīng)任意分布性.Ozturk[8]研究了總體均值的RSS極大似然估計.Bocci等[9]通過對意大利第5次農(nóng)業(yè)調(diào)查的實例分析，驗證了RSS方法在估計總體均值上的高效率.Balci等[10]給出了RSS下總體均值的修正極大似然估計量.Wang等[11]研究了臨床醫(yī)學(xué)中聚類隨機設(shè)計總體均值的RSS估計問題.李濤等[12]研究了無重疊k-序?qū)SS下總體均值的估計問題.

文獻[7-12]均通過估計效率的比較，證明了RSS方法的抽樣效率高于SRS方法.但是，這些文獻研究的RSS測量值都是完全數(shù)據(jù).然而在許多壽命試驗中，由于種種條件的限制只能得到隨機截尾數(shù)據(jù)，其統(tǒng)計分析在可靠性工程、醫(yī)藥衛(wèi)生、環(huán)境科學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用[13-14]，因而研究RSS下隨機截尾數(shù)據(jù)的統(tǒng)計推斷就變得非常重要.平均壽命是刻畫產(chǎn)品壽命的重要度量指標(biāo)，它在壽命分析中的地位相當(dāng)于完全觀測下的總體均值.為了提高估計效率，本文利用RSS下隨機截尾數(shù)據(jù)，采用平均秩思想，構(gòu)建總體平均壽命的非參數(shù)估計量，分析新估計量的性質(zhì)，并與SRS下相應(yīng)估計量進行估計效率的比較.

1 排序集抽樣過程及其樣本特點

RSS方法的具體抽樣過程：第1步，從總體中隨機抽取m2個個體，隨機分為m組，每組m個；第2步，利用主觀經(jīng)驗判斷、專家觀點等易于獲得的直觀感知信息對每組進行由小到大的排序； 第3步，在第i個小組中抽出次序為i的個體，i=1,2,…,m.

以上過程稱為一次循環(huán)，為了增大樣本量，循環(huán)重復(fù)k次.若令T(i)j表示在第j次循環(huán)中從第i組中抽出次序為i的樣本單元，則排序集樣本表示為

最終只對這n=mk個樣本單元進行實際測量.排序集樣本的顯著特點有：1)排序集樣本單元之間相互獨立；2)每一行的樣本單元之間獨立同分布；3)每一列都包含了各個秩次的信息.為簡便，排序集樣本一般記為T(i)j，i=1,2,…,m;j=1,2,…，k.

2 平均壽命的RSS非參數(shù)估計量

令非負隨機變量T表示產(chǎn)品的壽命，R(t)=P(T>t)表示T的可靠度函數(shù).當(dāng)T的分布未知時，想要估計T的平均壽命μ，定義為

(1)

令T(i)j,i=1,2,…,m;j=1,2,…,k為抽自T的排序集樣本；Cij(i=1,2,…,m；j=1,2,…,k)表示截尾的隨機變量，非負獨立同分布，具有分布函數(shù)G.在隨機截尾模型下，只能觀察到

Y(i)j=min(T(i)j，Cij)，δ(i)j=I(T(i)j≤Cij),i=1,2,…,m；j=1,2,…,k.

對于任意的i(1≤i≤m)和j(1≤j≤k)，Y(i)j的分布與j無關(guān)，其分布函數(shù)為

H(i)(t)=P(Y(i)j≤t)=1-P(Y(i)j>t)=1-P(T(i)j>t,Cij>t)=1-R(i)(t)[1-G(t)]，

其中,R(i)(t)為樣本量為m的SRS第i次序統(tǒng)計量的可靠度函數(shù).

從排序集抽樣過程可知，Y(i)1,Y(i)2,…,Y(i)k可以看作可靠度函數(shù)為R(i)(t)和平均壽命為μ(i)的隨機截尾模型下SRS樣本，其中μ(i)為樣本量為m的SRS第i次序統(tǒng)計量的平均壽命.這樣，可以利用Gill[15]的研究方法來構(gòu)建μ(i)的非參數(shù)估計量.

令Y(i:1:k)≤Y(i:2:k)≤…≤Y(i:k:k)是Y(i)1,Y(i)2,…,Y(i)k的次序值，μ(i)的非參數(shù)估計量定義為

(2)

其中,δ(i:r:k)是Y(i:r:k)的δ值.

根據(jù)式(2)，采用平均秩思想，總體平均壽命μ的RSS非參數(shù)估計量定義為

(3)

3 新估計量的漸近正態(tài)性

下面證明一個重要的定理.

證明： 由文獻[16]知，對于任意給定的m，

于是

定理得證.

定理2若R和G連續(xù)，且滿足

其中

證明：由式(3)、定理1和n=mk，得

其中

4 估計效率

令T1、T2、…、Tn為抽自總體T的簡單隨機樣本，C1、C2、…、Cn表示截尾的隨機變量，非負獨立同分布，具有分布函數(shù)G.在隨機截尾模型下，只能觀察到Y(jié)i=min(Xi，Ci)，δi=I(Ti≤Ci),i=1,2,…,n.設(shè)Y(1)≤Y(2)≤…≤Y(n)是Y1,Y2,…,Yn的次序值，δ(i)是對應(yīng)于Y(i)的δ值.Gill[15]定義了μ的SRS非參數(shù)估計量

(4)

表1 平均壽命估計量與的相對效率

5 應(yīng)用

表2 鋁條壽命中與的均方誤差

6 結(jié)論

本文利用RSS下隨機截尾數(shù)據(jù)，建立了總體平均壽命的非參數(shù)估計量，證明了新估計量的漸近正態(tài)性，給出了新估計量的漸近方差，模擬比較了新估計量與SRS下相應(yīng)估計量的估計效率，并進行了實際應(yīng)用分析，研究結(jié)果表明：RSS方法的抽樣效率高于SRS方法.