畫(huà)數(shù)學(xué)，思維的“拐杖”

許玲娜

[摘要]數(shù)學(xué)是一門(mén)思維容量較高的學(xué)科，它具有高度的概括性，而小學(xué)生尤其是低年級(jí)學(xué)生的思維是以直觀形象思維為主，如何平衡兩者之間的關(guān)系，“畫(huà)數(shù)學(xué)”不失為一個(gè)好辦法。“畫(huà)”讓每一個(gè)孩子的思考變得與眾不同，“畫(huà)”讓每一個(gè)孩子的思考躍然紙上。

[關(guān)鍵詞]畫(huà)數(shù)學(xué);思維;直觀形象

在關(guān)注學(xué)科核心素養(yǎng)的當(dāng)下，“用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”已成為基本共識(shí)。如果說(shuō)，語(yǔ)言是思維的物質(zhì)外殼和邊界，那么畫(huà)就是小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維外衣。畫(huà)能夠讓學(xué)生把自己的數(shù)學(xué)思維外顯出來(lái)。畫(huà)數(shù)學(xué)，也就給學(xué)生的數(shù)學(xué)思維穿上了一件“華麗”的外衣。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》把幾何直觀作為十大核心概念之一，提倡利用圖形描述和分析問(wèn)題，并指出：在日常教學(xué)中，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程中，幫助學(xué)生養(yǎng)成畫(huà)圖的習(xí)慣至關(guān)重要。因此在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生借助示意圖或線段圖，在直觀理解的基礎(chǔ)上解決問(wèn)題。

一、“畫(huà)”出需要——有需要才畫(huà)

所謂“畫(huà)數(shù)學(xué)”，是指學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，用簡(jiǎn)單的圖形表示出題目的意思，或者用“畫(huà)畫(huà)”的方法表達(dá)自己的思維過(guò)程的一種學(xué)習(xí)方法。從本質(zhì)上看，“畫(huà)”是幫助學(xué)生解決問(wèn)題的思維工具，而工具的價(jià)值在于能否滿足學(xué)生的實(shí)際需要，因此，“畫(huà)數(shù)學(xué)”是出于學(xué)生本身解決問(wèn)題的需要。

（一）百思不解，尋求“突破”

小學(xué)生的思維是靈活敏捷、富有創(chuàng)造性的，卻又受定性思維的影響。數(shù)學(xué)問(wèn)題有時(shí)也會(huì)“調(diào)皮”地跟孩子們玩迷宮戰(zhàn)術(shù)，讓學(xué)生束手無(wú)策，使學(xué)生在自主探索中常常無(wú)法選擇對(duì)的方法和策略，從而出現(xiàn)思維受阻的情況，這時(shí)候就需要另辟蹊徑，尋找新的突破點(diǎn)。由于小學(xué)生的思維以直觀思維和形象思維為主，這時(shí)候“畫(huà)數(shù)學(xué)”就起到了一種“橋梁”的作用，通過(guò)“畫(huà)數(shù)學(xué)”，可以將較為死板的文字或符號(hào)轉(zhuǎn)變成生動(dòng)鮮明的圖形，將抽象的數(shù)學(xué)直觀化、形象化、具體化，使學(xué)生在畫(huà)的過(guò)程中更好地豐富數(shù)學(xué)感知體驗(yàn)，發(fā)展思維能力，走出思維迷宮，清晰數(shù)學(xué)思路。

例1：敲鐘問(wèn)題“廣場(chǎng)上的大鐘5時(shí)敲5下，8秒鐘敲完。12時(shí)敲響12下，敲完需要多長(zhǎng)時(shí)間？”對(duì)于這種典型問(wèn)題，學(xué)生剛接觸時(shí)束手無(wú)策，分不清誰(shuí)代表棵樹(shù)，誰(shuí)代表間隔數(shù)。此時(shí)我引導(dǎo)學(xué)生試著畫(huà)一畫(huà)，把抽象的文字描述變成直觀的圖形表征。學(xué)生邊畫(huà)邊討論，很快就有學(xué)生舉起手，此時(shí)我沒(méi)有著急讓他們回答，而是讓學(xué)生們先在小組內(nèi)交流畫(huà)的過(guò)程，再小組匯報(bào)。學(xué)生匯報(bào)時(shí)，對(duì)自己畫(huà)出來(lái)的圖（如圖1）進(jìn)行解釋說(shuō)明：“大鐘敲5下有4個(gè)間隔，每個(gè)間隔2秒，12時(shí)敲響12下，中間有11個(gè)間隔，所用時(shí)間是11x2=22（秒）”。這樣一來(lái)，“看不見(jiàn)”變?yōu)椤翱吹靡?jiàn)”，學(xué)生一目了然。

（二）心存疑慮，直觀“驗(yàn)證”

蘇霍姆林斯基曾說(shuō)過(guò)：“圖畫(huà)是發(fā)展創(chuàng)造性思維和想象力的手段之一，是通往邏輯認(rèn)識(shí)的道路上必不可少的階梯。如果哪個(gè)孩子學(xué)會(huì)‘畫(huà)應(yīng)用題，可以有根據(jù)地說(shuō)，他一定能學(xué)會(huì)解應(yīng)用題。”兒童的智慧在他的手指間，給學(xué)生一張草稿紙，把數(shù)學(xué)畫(huà)出來(lái)，使抽象的問(wèn)題直觀化，數(shù)量關(guān)系明確了，問(wèn)題也就迎刃而解，這也是用“畫(huà)數(shù)學(xué)”進(jìn)行直觀驗(yàn)證的好處。

例2：解決問(wèn)題“在一個(gè)正方形花園的四周種樹(shù)，每邊種5棵，至少要多少棵樹(shù)？”很多學(xué)生這樣算：4x5=20（棵）。老師問(wèn)“真的有20棵？”“只有16棵?！庇袀€(gè)學(xué)生說(shuō)到，“我通過(guò)畫(huà)圖，發(fā)現(xiàn)正方體的四個(gè)角上都有一棵樹(shù)被數(shù)了兩次，所以還要從20棵里面再減去4棵?！甭?tīng)他這么一說(shuō)，孩子們紛紛動(dòng)手畫(huà)了起來(lái)（如圖2），結(jié)果一數(shù)，真的只有16棵樹(shù)！”

二、“畫(huà)”出價(jià)值——讓思維的軌跡更清晰

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休?！弊鳛榻處?，在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)重視數(shù)形結(jié)合思想方法的熏陶，注重“畫(huà)圖策略”的培養(yǎng)，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也指出：“通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，要使學(xué)生能了解數(shù)學(xué)的價(jià)值。”因此，讓學(xué)生“畫(huà)數(shù)學(xué)”，不是“畫(huà)”了就會(huì)產(chǎn)生價(jià)值，在教學(xué)的過(guò)程中，教師的主動(dòng)參與和積極引導(dǎo)才是學(xué)生“了解數(shù)學(xué)的價(jià)值”的前提。

例3：教師教學(xué)《植樹(shù)問(wèn)題——兩端都種》時(shí)，可以這樣引導(dǎo)：

第一層次：動(dòng)手操作，初步體驗(yàn)

題目：在20m的瀝青路一邊植樹(shù)，每隔5m栽一棵（兩端要栽）。需要準(zhǔn)備多少棵樹(shù)苗？教師引導(dǎo)學(xué)生用學(xué)具擺一擺，并示范每一個(gè)5米就擺一棵樹(shù)（如圖3）? ? ? ， 使學(xué)生初步感知棵數(shù)比間隔數(shù)多1。

第二層次：數(shù)形結(jié)合，深入體驗(yàn)

題目：在全長(zhǎng)25m的瀝青路一邊植樹(shù)，每隔5m栽一棵（兩端要栽），一共要栽幾棵樹(shù)？此時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生用畫(huà)線段圖的方法畫(huà)出來(lái)，使抽象的數(shù)學(xué)具體化。（如圖4）

第三層次：合理推測(cè)，感知規(guī)律

如果這條瀝青路長(zhǎng)30米、35米……又應(yīng)栽幾棵樹(shù)呢？

教師讓學(xué)生在不斷的操作和交流中，充分體驗(yàn)和感悟，經(jīng)歷擺一擺、畫(huà)一畫(huà)的全過(guò)程，使學(xué)生明確“間隔數(shù)”與“棵數(shù)”這兩者之間“一一對(duì)應(yīng)”的關(guān)系，此時(shí)學(xué)生沒(méi)有擺，沒(méi)有畫(huà)，卻能紛紛舉手直接回答，學(xué)到解決問(wèn)題的方法。

畫(huà)的最終目的是為了不畫(huà)。通過(guò)設(shè)計(jì)三個(gè)層次的練習(xí)，層層遞進(jìn)，使學(xué)生從“擺一擺”“畫(huà)一畫(huà)”中得出規(guī)律：兩端都種時(shí)，棵數(shù)=間隔數(shù)+1，通過(guò)數(shù)與形的結(jié)合，幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際生活種的植樹(shù)問(wèn)題，學(xué)生在“畫(huà)”中感悟到其作為策略的價(jià)值，使“畫(huà)”有所值。

三、“畫(huà)”出個(gè)性——給予“畫(huà)”的自主權(quán)

陳鶴先生指出：“繪畫(huà)是言語(yǔ)的先導(dǎo)，表達(dá)美感之良器。”每個(gè)孩子都會(huì)有繪畫(huà)的天性及自己的理解，因此教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)給予學(xué)生“畫(huà)”的自主權(quán)，讓學(xué)生從本身已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，才能彰顯個(gè)性，碰撞出思維的火花。

例4：在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘除法，學(xué)生很容易混淆“單位1”，此時(shí)可以通過(guò)題組，讓學(xué)生分析題組中每道題的異同，根據(jù)自己的理解通過(guò)畫(huà)圖來(lái)表達(dá)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系。（如圖5）

學(xué)生通過(guò)畫(huà)，凸顯了每道題的異同之處，學(xué)生說(shuō)不清思維數(shù)量關(guān)系，通過(guò)畫(huà)也變得更加清晰具體了。

例5：教完《簡(jiǎn)易方程》這個(gè)單元時(shí)，我讓學(xué)生用思維導(dǎo)圖梳理本單元的知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生交上來(lái)的作品放飛了學(xué)生的思維，釋放了學(xué)生的激情，如圖6。

例6：在2020年“加長(zhǎng)版”的寒假里，我們采用了劉燕老師推出的“像數(shù)學(xué)家一樣探究”系列課程對(duì)孩子們進(jìn)行“充電”，在即將復(fù)課時(shí)，我讓學(xué)生用自己喜歡的方式記錄自己的收獲與體會(huì)、困惑和難題，學(xué)生交上來(lái)的作品既讓我為他們的腦洞大開(kāi)、創(chuàng)意十足感到驚喜，又為他們的一絲不茍、認(rèn)真細(xì)致所感動(dòng)，如圖7。

畫(huà)，放飛了學(xué)生的思維;畫(huà)，釋放了學(xué)生的激情;畫(huà)，引領(lǐng)著學(xué)生走進(jìn)五彩繽紛的數(shù)學(xué)王國(guó)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們可以因勢(shì)利導(dǎo)，在“畫(huà)數(shù)學(xué)”中感悟數(shù)學(xué)思想，讓每一個(gè)孩子的思維得到放飛;在“畫(huà)數(shù)學(xué)”中培養(yǎng)創(chuàng)造力，讓每一個(gè)孩子的思考變得與眾不同;在“畫(huà)數(shù)學(xué)”中感受數(shù)學(xué)知識(shí)的奧秘，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，讓“畫(huà)數(shù)學(xué)”成為學(xué)生思維的“拐杖”。

參考文獻(xiàn)

[1]劉善娜.把數(shù)學(xué)畫(huà)出來(lái)—小學(xué)畫(huà)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐手冊(cè)[M].北京：教育科學(xué)出版社，2019-09.

[2]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012-01.

[3]孫蕾.“畫(huà)一畫(huà)”，數(shù)學(xué)更精彩[J].讀寫(xiě)算（教育導(dǎo)刊），2013（24）.

[4]周雪.經(jīng)歷探究過(guò)程 滲透數(shù)學(xué)思想方法——《植樹(shù)問(wèn)題》（兩端都栽）案例設(shè)計(jì)與反思[J].湖北教育（教育教學(xué)），2018（03）：58-59.

[5]楊傳杰.淺析數(shù)學(xué)教學(xué)中的“畫(huà)數(shù)學(xué)”[J]，新教育時(shí)代電子雜志（教師版），2015-08.