一類連續(xù)預(yù)防接種的母嬰傳染病模型的穩(wěn)定性分析

王俊榮

(山西應(yīng)用科技學(xué)院 山西太原 030000)

母嬰傳染病一直是人類關(guān)注的話題之一，它給許多家庭帶來了不幸和災(zāi)難.近年來，隨著生活水平的提高，環(huán)境受到嚴重的破壞，這對優(yōu)生有著很大的影響.目前有大量研究母嬰傳染病規(guī)律的文獻[1]，且在研究過程中考慮的與傳染有關(guān)的因素也越來越全面，使研究得到的結(jié)論更符合了實際的需要.文獻[1]建立了SIR模型，討論標準傳染率、垂直傳染和連續(xù)預(yù)防接種對傳染病的影響，并且得出避免傳染病發(fā)展成地方病的措施.文獻[2]討論了標準形式接觸率的SIRS模型的定性分析，并分別研究了連續(xù)方式和不連續(xù)方式的控制策略，豐富了傳染病動力學(xué)的研究工作.文獻[3-4]介紹的是關(guān)于SEIR傳染病模型的穩(wěn)定性分析.文獻[5]討論了人口數(shù)是非常數(shù)的SEIS傳染病模型的全局穩(wěn)定性.文獻[7]討論的是兩類傳染病模型關(guān)于預(yù)防接種的穩(wěn)定性分析.文獻[7-10]詳細地介紹了傳染病的相關(guān)理論知識.

通過閱讀大量關(guān)于母嬰傳染病模型的文獻，文章討論在雙線性傳染率下，連續(xù)預(yù)防接種的母嬰傳染病SIRS模型的動力學(xué)行為.最后得出人口輸入率、自然死亡率、因病死亡率、母嬰傳染率、病人恢復(fù)能力、抗體有效率和預(yù)防接種率等對傳染病模型的動力學(xué)行為都有影響，并且它們之間也相互影響.

1模型建立

根據(jù)具有連續(xù)預(yù)防接種的母嬰傳染病的傳染機制圖，作如下假設(shè)及符號說明,見圖1.

圖1 疾病的傳染機制圖

(1)S、I、R分別表示易感者、疾病者、移出者；

(2)人口總數(shù)為N，N=S+I+R；

(3)S中未被預(yù)防接種的、R中抗體失效的和I中新生兒沒有被垂直感染的部分都是易感者；

(4)A新生兒常數(shù)輸入率，b新生兒出生率，d自然死亡率，α因病死亡率，p垂直傳染率，ε恢復(fù)率，δ抗體失效率，σ預(yù)防接種比例，β一個病人能感染易感染者生病的比例.

模型為：

(1)

2平衡點的存在性

定理1 結(jié)合系統(tǒng)(1)的實際意義， 系統(tǒng)(1)的一個正向不變集是

證明：由系統(tǒng)(1)可知，總?cè)丝诜匠?/p>

解得：

則有：

又因S、I、R都是非負數(shù)，故定義：

則D是系統(tǒng)(1)的一個正向不變集.

證明：(1)當(dāng)I=0時，(1)就等價于：

(1)

系統(tǒng)(1)的平衡點滿足：

則解得：

即存在無病平衡點

故當(dāng)ε+d+α>pb時，S>0，記為S+.

將S的值代入(1)中，得：

3平衡點的穩(wěn)定性分析

定理3 當(dāng)R0≤1時，系統(tǒng)(1)的無病平衡點E0全局漸近穩(wěn)定，且平衡點E0是結(jié)點；當(dāng)R0>1時，E0不穩(wěn)定，此時平衡點E0是鞍點.

證明：系統(tǒng)(1)在

該Jacobi矩陣的特征值滿足方程：

(λ+H1)(λ+H2)(λ+H3)=0

對應(yīng)的特征值有：

因此，由文獻[11]定理3.11可知，當(dāng)R0≤1則有H3≤0，則系統(tǒng)(1)的無病平衡點E0是局部漸近穩(wěn)定的，又因三個特征值λ是互不相等且同號的實數(shù)，故平衡點E0是結(jié)點；若R0>1則有H3>0，則E0不穩(wěn)定，又因特征值λ是異號實數(shù)，故平衡點E0是鞍點.

下面證明R0≤1時，系統(tǒng)(1)的無病平衡點E0全局漸近穩(wěn)定.

構(gòu)造Liapunov函數(shù)，令：

V(t)=I(t)，

沿系統(tǒng)(1)軌線的導(dǎo)數(shù)為：

=[βS+pb-(ε+d+α)]I

=(R0-1)(ε+d+α-pb)I

≤0

所以，當(dāng)I(t)→0,R(t)→0(t→∞)時，系統(tǒng)(1)的極限方程：

得：

由上述證明可知，當(dāng)p=0或σ=0時，結(jié)論仍成立.

定理4 當(dāng)R0>1時，系統(tǒng)(1)的地方病平衡點E+局部漸近穩(wěn)定.

證明：系統(tǒng)(1)在E+(S+,I+,R+)處的Jacobi矩陣為

該Jacobi矩陣的特征值滿足方程：

λ3+A1λ2+A2λ+A3=0

其中：

A1=βI++2d+σ+δ>0,

A2=βI+(2d+ε+σ+δ)+d(d+σ+δ)>0,

A3=βI+[εd+(d+α)(d+δ)]>0,

A1A2-A3=βI+d(2βI++4d+σ+δ)+d2(2d+σ+δ)+βI+ε(βI++d+σ+δ)+βI+α(βI++2d+σ)+αδ+(βI++2d+σ+δ)(βI+δ+dδ+σd)>0

因此由Hurwitz判據(jù)可知，系統(tǒng)(1)地方疾病平衡點E+(S+,I+,R+)是局部漸近穩(wěn)定的.

若p=0或σ=0時，由上述證明知，結(jié)論仍成立.

4數(shù)值模擬

下面用MATLAB進行數(shù)值模擬，進一步驗證定理3和定理4的可靠性.

(1)取A=0.4,β=0.2,d=0.3,δ=0.3,ε=0.5,α=0.1,b=0.2,σ=0.3,由定理2可知，只要p≤1就能滿足無病平衡點E0全局漸近穩(wěn)定，即疾病被根除.取一組初值S(0)=1,I(0)=0.375,R(0)=0.225，對不同的p進行模擬，結(jié)果如圖2.其中，圖(a)、圖 (b)和圖(c)分別表示母嬰傳染率是0、0.5、1的情形下易感染者、染病者和恢復(fù)者人數(shù)的變化趨勢.

(a) (b)

(c)圖2 R0≤1時，在不同p值下S、I、R隨時間t的變化趨勢

從圖2可以看出，當(dāng)R0≤1時，疾病被根除，同時易感染者和恢復(fù)者人數(shù)都趨于穩(wěn)定狀態(tài)，則定理3得到驗證.同時，也發(fā)現(xiàn)當(dāng)R0≤1時，母嬰傳染率對易感染者、疾病者和恢復(fù)者人數(shù)變化的影響不明顯.

(2)取A=0.4,β=0.2,d=0.3,δ=0.3,ε=0.5,α=0.1,b=0.2,p=0.5,由定理2可知，只要σ≥0就能滿足無病平衡點E0全局漸近穩(wěn)定，即疾病被根除.取一組初值S(0)=1,I(0)=0.375,R(0)=0.225，對不同的σ進行模擬，結(jié)果如圖3.其中，圖(d)、圖 (e)和圖(f)分別表示預(yù)防接種率是0和0.5的情形下易感染者、染病者和恢復(fù)者人數(shù)的變化趨勢.

(d) (e)

(f)圖3 R0≤1時，在不同σ值下S、I、R隨時間t的變化趨勢

(3)當(dāng)其余值不變，取p=0.5,σ=0.5時，初值仍為S(0)=1,I(0)=0.375,R(0)=0.225，觀察S、I、R隨時間t的變化趨勢，結(jié)果如圖4所示.

圖4 R0≤1時，在p=0.5,σ=0.5的值下S、I、R隨時間t的變化趨勢

通過觀察圖4，發(fā)現(xiàn)無病平衡點E0的類型是結(jié)點，符合定理3.

(4)取A=0.6,β=0.7,d=0.3,δ=0.3,ε=0.2,α=0.1,b=0.2,σ=0.3,由定理3知，需p>0.13就能滿足地方病平衡點E+局部漸近穩(wěn)定，即疾病發(fā)展成地方病.取一組初值S(0)=1,I(0)=0.375,R(0)=0.225，對不同的p進行模擬，結(jié)果如圖5.其中，圖(a)、圖 (b)和圖(c)分別表示母嬰傳染率是0.2和0.7情形下易感染者、染病者和恢復(fù)者人數(shù)的變化趨勢.

(a)

(b)

(c)圖5 R0>1時，在不同p值下S、I、R隨時間t的變化趨勢

從圖5可以看出，當(dāng)R0>1時，疾病將發(fā)展成地方病，同時易感染者和恢復(fù)者人數(shù)也都趨于穩(wěn)定狀態(tài)，則定理3得到驗證.但是觀察圖(a)、(b)和(c)，發(fā)現(xiàn)降低母嬰傳染率可減少疾病人數(shù).因此，為防止疾病發(fā)展成地方病或者減少疾病人數(shù)，應(yīng)努力降低母嬰傳染率.

因母嬰傳染不僅僅可以通過胎盤感染嬰兒，還可以通過產(chǎn)道和母乳感染嬰兒，所以如果攜帶可遺傳病毒的妊娠女性，應(yīng)停止妊娠進行藥物阻斷或者進行人工喂養(yǎng)嬰兒，有效降低母嬰傳染率.

(5)取A=0.6,β=0.7,d=0.3,δ=0.3,ε=0.2,α=0.1,b=0.2,p=0.7,由定理3知，需σ<1就能滿足地方病平衡點E+局部漸近穩(wěn)定，即疾病發(fā)展成地方病.取一組初值S(0)=1,I(0)=0.375,R(0)=0.225，對不同的σ進行模擬，結(jié)果如圖6.其中，圖(d)、圖 (e)和圖(f)分別表示預(yù)防接種率是0和0.7情形下易感染者、染病者和恢復(fù)者人數(shù)的變化趨勢.

(d) (e)

(f)圖6 R0>1時，在不同σ值下S、I、R隨時間t的變化趨勢

從圖6可以看出，當(dāng)R0>1時，疾病將發(fā)展成地方病，同時易感染者和恢復(fù)者人數(shù)也都趨于穩(wěn)定狀態(tài)，則定理4得到驗證.但是觀察圖(e)和(f)，發(fā)現(xiàn)增加接種率可減少疾病人數(shù).因此，為防止疾病發(fā)展成地方病或者減少疾病人數(shù)，應(yīng)努力增加抗體接種率.

(6)取A=0.6,β=0.7,d=0.3,δ=0.3,ε=0.2,α=0.1,b=0.2,p=0.7,σ=0.3.初值仍為S(0)=1,I(0)=0.375,R(0)=0.225，觀察S、I、R隨時間t的變化趨勢，結(jié)果如圖7所示.

圖7 R0≤1時，在p=0.7,σ=0.3的值下S、I、R隨時間t的變化趨勢

通過觀察圖7，發(fā)現(xiàn)無病平衡點E0是鞍點，符合定理2.

5結(jié)論

(1)文章主要研究了母嬰傳染和連續(xù)預(yù)防接種對雙線性發(fā)病率的SIRS傳染病的衍化趨勢進行了定性分析。文中通過對基本再生數(shù)R0的討論，得出：當(dāng)R0≤1時，無病平衡點全局漸近穩(wěn)定，此時疾病將被根除；當(dāng)R0>1時，無病平衡點不穩(wěn)定，地方病平衡點局部漸近穩(wěn)定，疾病將會持續(xù)存在.

(2)當(dāng)R0≤1時，預(yù)防接種率的高低對易感染者和恢復(fù)者的人數(shù)有很大影響，但母嬰傳染率對易感染者、疾病者和恢復(fù)者的人數(shù)變化影響不明顯.

當(dāng)R0>1時，預(yù)防接種率和母嬰傳染率的高低對疾病者的人數(shù)有很大影響，故防止疾病發(fā)展成地方病或者減少疾病人數(shù)，應(yīng)努力增加預(yù)防接種率和降低母嬰傳染率.

(3)關(guān)于有效降低母嬰傳染率的具體措施有進行藥物阻斷、剖腹生產(chǎn)和人工喂養(yǎng)嬰兒.

(4)人口輸入率、自然死亡率、因病死亡率、母嬰傳染率、病人恢復(fù)能力、抗體有效率、預(yù)防接種率和有效接觸率對傳染病都有一定的影響，而且它們之間也相互制約和相互影響.

(5)文章通過對母嬰傳染病SIRS模型的研究，為該類傳染病的防治提供了理論依據(jù)和數(shù)量依據(jù).文章在傳染病模型中主要考慮的是連續(xù)預(yù)防接種，對于不連續(xù)預(yù)防接種狀態(tài)下的母嬰傳染病也在研究中.