問題驅動概念教學的實踐與反思
——以“等差數(shù)列前n項和”為例

丁永剛 (江蘇省徐州市第一中學 221140)

1 基本情況

1.1 授課對象

學生來自江蘇省四星級高中重點班，數(shù)學基礎較好，有一定的自學能力、邏輯推理能力和數(shù)學運算能力．

1.2 課標要求

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》(下稱《課標2017》)指出：探索并掌握等差數(shù)列的前n項和公式，理解等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關系；在數(shù)列教學過程中，可以組織學生閱讀數(shù)列方面的研究成果，尤其是我國古代的優(yōu)秀研究成果，感悟我國古代數(shù)學的輝煌成就．[1]

2 教學實踐

2.1 細心觀察，大膽猜想

問題1如何將下列古文“翻譯”成現(xiàn)代文？

今有與人錢，初一人與一錢，次一人與二錢，次一人與三錢，以次與之，轉多一錢，共有百人，問共與幾錢？——《張邱建算經(jīng)》

設計意圖通過中國北魏時期《張邱建算經(jīng)》中一道數(shù)學題導入所學內(nèi)容，引導學生通過觀察、討論、“翻譯”來發(fā)現(xiàn)問題中的等差數(shù)列，a1=1,a2=2,a3=3,…,a100=100，需求a1+a2+a3+…+a100．“翻譯”的過程滲透數(shù)學建模方法解決實際問題的思想，借此引出本節(jié)課的第一個概念：等差數(shù)列{an}前n項和定義：一般地，我們稱a1+a2+a3+…+an為等差數(shù)列{an}的前n項和，用Sn表示，即Sn=a1+a2+a3+…+an.回到古代的問題，轉化為數(shù)學語言，提出問題2．

問題2如何求1+2+3+…+100？

學生活動 分組討論首尾配對求和的原理和方法，討論高斯求和的精髓和局限性．

設計意圖適當滲透數(shù)學史，了解數(shù)學家 的故事．高斯求和的精髓在于首尾配對，體現(xiàn)了消項的思想，下面利用高斯求和法研究一個實際問題．

圖1 高斯 圖2

問題3怎樣計算圖2中鋼管的總數(shù)？

問題4如何求1+2+3+…+n？

學生活動 小組討論，如何求和？

問題5猜想等差數(shù)列前n項和Sn=a1+a2+…+an的計算公式．

學生活動 思考并猜想結果能否與實際問題一致．

設計意圖由問題4類比推理問題5，引發(fā)學生合理猜想，接著肯定學生的猜想，猜想出的結論需經(jīng)過嚴格的證明，從而引出下一環(huán)節(jié)“合作探究，嚴格證明”．

2.2 合作探究，嚴格證明

問題6如何證明等差數(shù)列的前n項和公式？

學生活動 討論一般情況下的等差數(shù)列如何推導求和公式，嘗試總結公式的記憶方法．

問題7審視問題3解法中兩幅圖與解法的關系，能否避開分類，重新證明問題6？

設計意圖為“倒序相加法”的出現(xiàn)做鋪墊．

師：生2將數(shù)列中的每一項都用基本量首項a1、公差d表示，這是研究等差數(shù)列問題的通法，將數(shù)列通項的順序顛倒后相加實現(xiàn)等差數(shù)列的求和．

問題8如何改進生2的證法，使之更簡潔？

設計意圖倒序相加已經(jīng)呈現(xiàn)，但需要再次簡化過程．

師：生3的證法更簡潔直觀，當數(shù)列首末兩項的和a1+an為常數(shù)時，常用倒序相加法求數(shù)列的和，如何記憶此公式？

生4：借助梯形面積公式記憶更牢固.

設計意圖小組討論，學生多人合作終于完成證明過程，可以讓學生感受倒序相加法的形成過程和使用條件，學生總結公式的記憶方法，完成知識建構．

2.3 新知初學，牛刀小試

問題9在等差數(shù)列{an}中，an=2n-1，求Sn．(結果用n表示)

學生活動 學生以搶答的方式進行，口述解題過程與結果．

設計意圖讓學生體會公式的簡單運用，小試牛刀，提升學習的熱情．

2.4 師生合作，公式運用

問題10等差數(shù)列{an}中：

(1)已知a1=3，a50=101，求S50；

學生活動 學生回答解題思路與過程，教師黑板板演完整解題過程．

學生活動 學生在草稿紙上書寫解題過程，教師利用投屏技術，展示學生完整解題過程，讓學生講解思路，鼓勵學生一題多解．

設計意圖本題是等差數(shù)列求和公式的逆向運用，訓練學生逆向思維能力．

問題12已知等差數(shù)列{an}，填寫下表：

序號a1dnanSn112152-1327

學生活動 學生以小組為單位進行搶答．

設計意圖此題是對于求和公式“知三求二”的鞏固練習．

問題13在等差數(shù)列{an}中，已知第1項到第10項的和為310，第11項到第20項的和為910，求第21項到第30項的和．

學生活動 學生先獨立完成，然后小組討論，利用投屏技術展示完整解法．引導學生深入思考：此題除了基本量法之外，還有別的解法嗎？

設計意圖此題是公式的靈活運用，將題目條件化為基本量，這是解數(shù)列題的通法，強調(diào)通性通法.本題體現(xiàn)了化歸轉化思想，尊重學生思維發(fā)展的廣度，鼓勵創(chuàng)新解法．

2.5 課堂檢測，鞏固新知

問題14在等差數(shù)列{an}中，an=2n+3，Sn=an2+bn+c(a,b,c是常數(shù))，求a-b+c．

學生活動 通過抽簽抽取學生答題，小組內(nèi)部可提供幫助，10秒鐘內(nèi)若沒有思路則重新進行抽簽．

設計意圖本環(huán)節(jié)為課堂檢測環(huán)節(jié)，通過控件抽簽器(利用Int函數(shù)，抽取隨機數(shù))抽取學生來答題，為求和公式性質(zhì)的學習做鋪墊，以此方式調(diào)動學生的學習興趣，提高課堂學習的效率．問題9讓學生初次體驗計算成功的喜悅，問題10～12是公式的正用、逆用、變形用，層層推進，讓學生感受數(shù)學解題中的變化．

2.6 小結提升，反思升華

問題15本節(jié)課你學到了哪些知識與技能、過程與方法？

3 教后反思

本課的授課對象整體水平較高，整個教學過程基本與課前預設一致，達到了預期的教學效果．

3.1 內(nèi)容響應課標，突出重點

《課標2017》指出：在教學中可以組織學生收集、閱讀數(shù)列方面的研究成果，特別是我國古代的優(yōu)秀研究成果……感悟我國古代數(shù)學的輝煌成就．[1]本節(jié)課設計用到中國古代數(shù)學家張邱建的著作《張邱建算經(jīng)》與高斯求和等數(shù)學文化內(nèi)容，特別突出張邱建的研究，讓學生體驗深厚的民族自豪感．教學設計凸顯數(shù)學建模、邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學學科素養(yǎng)的培養(yǎng)指向，在教學目標達成的同時，傳遞給學生數(shù)學學習的必備品質(zhì)、學習能力和正確的價值觀念．

本節(jié)課的教學重點在于公式的推導，在問題3和問題4中讓學生充分感受高斯首尾配對算法的局限性，通過教材上的實例，感受倒序相加法的巧妙之處，從而在公式推導過程中自然呈現(xiàn)．本節(jié)課的教學難點在于公式的運用，問題9到問題12均為對公式的運用．在問題10第(2)題中，將通項公式代入求和公式，可引出本節(jié)課的第二個求和公式，通過對兩個公式與通項公式的分析，發(fā)現(xiàn)共有5個量，可“知三求二”．問題12為趣味競答環(huán)節(jié)，設置控件抽簽器，抽取學號，由學生現(xiàn)場抽題，激發(fā)了學生課堂學習的樂趣．

3.2 問題驅動探究，訓練思維

數(shù)學是思維的科學，而問題是數(shù)學的心臟，語言是思維的外殼．布魯納說過：“教學過程是一種提出問題和解決問題持續(xù)不斷的活動，思維永遠是從問題開始．”本節(jié)課共設計了15個問題組成問題串(有預設的問題，也有生成的問題，如問題7和問題8)，問題1讓學生對等差數(shù)列前n項和的概念產(chǎn)生直覺猜想，問題2解決問題1提出的問題，問題3是問題2的特殊情況，問題4是從問題2、問題3的特殊情況到一般情況，問題5是問題4的更一般情況，問題6到問題8是對問題5的證明過程的層層改進，為引出“倒序相加求和法”做鋪墊，由此獲得對“倒序相加求和法”的本質(zhì)的認識，可謂是精心設計.問題13和問題14是公式的靈活應用，體現(xiàn)了公式的應用價值，問題15有效地促進學生反思，在總結知識、升華內(nèi)容的同時，有效培養(yǎng)了學生的理性思考和概括能力.15個高質(zhì)量的問題驅動學生對等差數(shù)列前n項和的求和公式進行了深入的探究，由此獲得對等差數(shù)列求和公式的本質(zhì)認識，在問題串的驅動下，數(shù)學建構、數(shù)學探究過程嚴謹而又流暢，在潛移默化中訓練了學生的思維能力．

3.3 過程引領發(fā)展，提升素養(yǎng)

學生經(jīng)歷“觀察—猜想—證明—運用”的探究過程，探究等差數(shù)列前n項和公式的多種證明方法，通過古代數(shù)學問題發(fā)現(xiàn)了數(shù)列求和，繼而提出如何求等差數(shù)列前n項和，通過小組合作，得出等差數(shù)列的前n項和公式.此過程中，學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力得到培養(yǎng)，其從特殊到一般的邏輯推理能力得到訓練，教師引領學生走上了科學研究的正確道路，提升了學生的學科核心素養(yǎng)．

3.4 知識表征多樣，促進建構

20世紀80年代美國數(shù)學教育學家杜賓斯基提出了一種關于數(shù)學概念教學的APOS理論，該理論的主要觀點是：學生學習數(shù)學概念就是心智結構建構的過程，具體可分為操作階段、過程階段、對象階段和圖式階段．以此理論為出發(fā)點，本節(jié)課在設計教學流程時重視如何使學生在心智建構過程中發(fā)揮較好的主體作用．為此，筆者在設計教學過程時，向學生提供了圖形、文字、符號等多樣化的知識表征，創(chuàng)造出靈活變化的教學情境，激發(fā)學生的數(shù)學思考，給學生創(chuàng)造探索數(shù)學規(guī)律、發(fā)現(xiàn)數(shù)學本質(zhì)的機會，使教學活動開展得富有成效，從而將探究式學習得到落實與推進[2]．

3.5 知識鼓勵應用，升華思想

在引導學生探索并證明等差數(shù)列前n項和公式之后，筆者還啟發(fā)學生利用公式解決相關數(shù)學實際問題，體會和挖掘數(shù)學公式在解決實際問題中的作用．筆者一方面設計了配套的題組，使學生熟練掌握公式并加深對公式的理解；另一方面從形式上、結構上引導學生思考除了“知三求二”還有哪些應用與推廣，隨著后續(xù)章節(jié)的不斷推進，學生會在后續(xù)學習中不斷領會知識應用中滲透的相關數(shù)學思想[3]．