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    引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會編題 構(gòu)建深度學(xué)習(xí)課堂

    2022-04-21 14:20:26201106上海外國語大學(xué)閔行外國語中學(xué)葉慧勤
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年4期
    關(guān)鍵詞:編題原題解題

    201106 上海外國語大學(xué)閔行外國語中學(xué) 葉慧勤

    高中新課程、新教材的改革堅持“以學(xué)生發(fā)展為本”的教育理念,該理念強(qiáng)調(diào)學(xué)生在教學(xué)中的主體性、參與性

    .

    數(shù)學(xué)家波利亞說:“問題是數(shù)學(xué)的心臟

    .

    ”問題的研究就是數(shù)學(xué)研究的核心內(nèi)容,正如康托爾所說:“‘提出問題’的重要性遠(yuǎn)比‘解答問題’的重要性高

    .

    ”根據(jù)建構(gòu)主義理論,學(xué)習(xí)的主動性是掌握知識的一個重要的前提條件,可見,激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動機(jī)是非常重要的

    .

    充分利用數(shù)學(xué)問題讓學(xué)生參與到數(shù)學(xué)習(xí)題的編制過程中,能夠調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性、主動性,從而激發(fā)學(xué)生高質(zhì)量完成學(xué)習(xí)任務(wù)的動機(jī),可以讓學(xué)生從學(xué)習(xí)準(zhǔn)備到學(xué)習(xí)過程再到學(xué)習(xí)反饋各個環(huán)節(jié)都能積極能動地進(jìn)行,使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中真正達(dá)到高效學(xué)習(xí)的狀態(tài)

    .

    引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行編題也可以培養(yǎng)他們深度學(xué)習(xí)的習(xí)慣

    .

    深度學(xué)習(xí)是一個動態(tài)的學(xué)習(xí)過程,需要不斷總結(jié)規(guī)律,發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵特征,由此發(fā)現(xiàn)問題的本源,把握問題的本質(zhì)

    .

    引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘編題的樂趣,與學(xué)生一起探究編題策略是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和創(chuàng)造力的有效做法

    .

    學(xué)生參與編題就是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,根據(jù)所學(xué)的概念、公式、法則、方法的理解,在給出某個數(shù)學(xué)對象(如數(shù)字、圖表等)的基礎(chǔ)上,進(jìn)行再加工、再創(chuàng)造,用文字語言進(jìn)行數(shù)學(xué)建模,編擬數(shù)學(xué)問題

    .

    在這樣的學(xué)習(xí)過程中,教師引導(dǎo)學(xué)生善于把握數(shù)學(xué)問題本質(zhì),實現(xiàn)知識的有效建構(gòu),學(xué)會從數(shù)學(xué)角度思考問題,這種深度學(xué)習(xí)讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)魅力,教師與學(xué)生一起合作探究,在編題策略視角下,構(gòu)建數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)課堂

    .

    筆者在高三教學(xué)中嘗試設(shè)計了引導(dǎo)學(xué)生編題的兩節(jié)單元系列課,遵循“以學(xué)生為主體,教師是數(shù)學(xué)課堂活動的組織者、引導(dǎo)者和參與者”的現(xiàn)代教育原則,教師在教學(xué)中采用啟發(fā)式教學(xué)法,學(xué)生采用探究式學(xué)習(xí)法,在教師引領(lǐng)下,學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題,全身心積極參與,體驗探究之旅

    .

    一、 創(chuàng)設(shè)導(dǎo)學(xué)情境,促進(jìn)自主發(fā)展

    創(chuàng)設(shè)質(zhì)疑的問題情境,引導(dǎo)學(xué)生在模仿中編題

    .

    筆者在一節(jié)數(shù)列復(fù)習(xí)課上進(jìn)行了探究式編題教學(xué)的初探,學(xué)生思維的廣度和創(chuàng)造力超出筆者的想象

    .

    在復(fù)習(xí)完等差數(shù)列的通項和性質(zhì)后,筆者引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)等差數(shù)列的定義和遞推關(guān)系,變差為和,即“若在一個數(shù)列中,如果從第二項開始,每項與它前一項的和都為同一個常數(shù)”,學(xué)生將其自定義為“等和數(shù)列”

    .

    這樣的“等和數(shù)列”具備怎樣的性質(zhì)?提出質(zhì)疑后,學(xué)生模仿等差數(shù)列,自編了如下一道題

    .

    編題1.1

    已知在探究等差數(shù)列時,學(xué)生通過枚舉的方法發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的規(guī)律,同理,學(xué)生枚舉出這個“等和數(shù)列”的規(guī)律2,3,2,3,…,猜想此數(shù)列周期為2

    .

    接著學(xué)生模仿周期函數(shù)的證明來證明這個數(shù)列的周期性,即

    n

    ≥3時,

    a

    +

    a

    -1=

    a

    -1+

    a

    -2=5,得

    a

    =

    a

    -2,即周期為2

    .

    a

    +

    a

    =5,

    a

    =2,可得

    a

    =3,從而通項學(xué)生模仿等差數(shù)列的概念變差為和,自定義出“等和數(shù)列”,用研究等差數(shù)列的方法研究出“等和數(shù)列”的規(guī)律,還有學(xué)生自發(fā)將“求通項

    a

    ”改為“求前

    n

    項和

    S

    .

    在筆者的引導(dǎo)下,學(xué)生自編自解,參與課堂教學(xué)的主動性和積極性被調(diào)動了起來

    .

    課堂進(jìn)行到這里,筆者預(yù)設(shè)會有學(xué)生主動類比等比數(shù)列的特征,變比為積,自定義“等積數(shù)列”,果然有學(xué)生自編了如下題目

    .

    編題1.2

    已知

    該生模仿以上研究方法得到

    在這節(jié)課中,有三個小組的創(chuàng)造力超出筆者的想象

    .

    小組1

    學(xué)生的總結(jié)如下

    .

    編題1.3

    類似為常數(shù)(

    a

    、

    c

    為常數(shù))的數(shù)列都是周期為2的數(shù)列

    .

    小組1成員從特殊解題方法推廣到一般規(guī)律,學(xué)生邊思考邊歸納,探究問題的本質(zhì)

    .

    小組2

    生1:若滿足遞推關(guān)系

    a

    -1+

    a

    =

    a

    +1(

    n

    ≥2,

    n

    N

    ), 即

    a

    +

    a

    -1不是常數(shù),如何解決?生2:這是一個二階遞推關(guān)系,需要已知前兩項的值才能將這個數(shù)列確定下來,以如下題目為例

    .

    編題1.4

    已知著名的斐波那契數(shù)列求

    a

    .

    可用特征根法或數(shù)學(xué)歸納法求這個數(shù)列的通項

    a

    , 用數(shù)學(xué)歸納法證明就是先求出此數(shù)列的前幾項值為1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…, 歸納出通項公式再證明得生2的推導(dǎo)過程讓筆者感嘆學(xué)生思維的深度,但更讓筆者嘆服的是生2知識面的寬廣

    .

    斐波那契數(shù)列又稱“兔子數(shù)列”,這是因為斐波那契以兔子繁殖數(shù)為例子引入此數(shù)列

    .

    數(shù)列中,當(dāng)

    n

    趨向無窮大時,前一項與后一項的比值越來越逼近黃金比例0

    .

    618,所以也稱黃金分割數(shù)列

    .

    此數(shù)列在自然界有很廣泛的體現(xiàn),有許多花的花瓣數(shù)就遵循斐波那契數(shù)列規(guī)律,譬如雛菊、百合花、蝴蝶花等

    .

    為什么這些花朵的花瓣數(shù)會與此數(shù)列如此巧合呢?或許這既是自然界長期進(jìn)化的結(jié)果,也是植物排列種子的“優(yōu)化方式”,它可以令種子排列疏密得當(dāng),不至于圓心處擠太多種子,而在圓周處卻又稀稀拉拉

    .

    此時已有很多學(xué)生對斐波那契數(shù)列產(chǎn)生興趣,筆者馬上布置了一項探究性作業(yè),請學(xué)生探究斐波那契數(shù)列在金融、藝術(shù)、美學(xué)、生物、科技等領(lǐng)域的運(yùn)用,以小組為單位整理成調(diào)查報告

    .

    學(xué)習(xí)小組2的成員不僅將所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行遷移,同時學(xué)以致用,在生活中體會數(shù)學(xué)思維之美

    .

    小組3

    小組3在生1提出的遞推關(guān)系上進(jìn)行改編

    .

    編題

    馬上有學(xué)生用“等和數(shù)列”的研究方法枚舉并證明

    a

    是周期為6的數(shù)列,其中前6項為1,1,0,-1,-1,0

    .

    這節(jié)課進(jìn)行到此,學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和積極性已達(dá)到飽和

    .

    學(xué)生在模仿中編題,不僅填補(bǔ)了對數(shù)學(xué)知識的理解漏洞,也在改編過程中體悟到研究問題的一般方法,獲得成長與成功的體驗,增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心與興趣

    .

    這種自主教育是以“生趣”為導(dǎo)向的自主發(fā)展,筆者引領(lǐng)學(xué)生開始感受數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的樂趣

    .

    二、創(chuàng)設(shè)樂學(xué)情境,促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

    創(chuàng)設(shè)真實情境,以優(yōu)質(zhì)主問題驅(qū)動,讓學(xué)生樂學(xué)善思、悟?qū)W省思

    .

    筆者在復(fù)習(xí)數(shù)列章節(jié)時嘗試了探究式編題教學(xué)后,又進(jìn)行了第二次嘗試,設(shè)計的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動從“解題”走向“解決問題”

    .

    高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有許多可以運(yùn)用類比法進(jìn)行變式的知識點,如由等差數(shù)列類比到等比數(shù)列、由橢圓類比到雙曲線、由特殊類比到一般、由平面圖形類比到立體圖形等

    .

    教師可以引領(lǐng)學(xué)生通過類比現(xiàn)有問題進(jìn)行整理歸納,從而推廣出合理的新問題

    .

    相對于解題而言,學(xué)生參與編題實際操作難度更大一些,更需要舉一反三、模擬創(chuàng)新的能力

    .

    教師可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比法、等價變換法、只換條件、只換結(jié)論、條件結(jié)論都換、條件結(jié)論互換、弱化條件、強(qiáng)化條件等方法進(jìn)行編題

    .

    筆者在第一課時結(jié)束時羅列了涉及函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、向量、立體幾何等章節(jié)的適合改編的五道例題,讓學(xué)生利用小組合作的學(xué)習(xí)方式,對選中的例題進(jìn)行改編,學(xué)生亦可自己選擇合適的題目進(jìn)行改編

    .

    在第二課時,學(xué)生從“解題”走向“解決問題”,解決問題的過程就是主動探究事物本質(zhì)、體會數(shù)學(xué)建模的過程

    .

    筆者從小組提出的改編方案中選出一個作為第二課時教學(xué)內(nèi)容,真正實現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容從學(xué)生中來回到學(xué)生中進(jìn)行探究解決的教學(xué)路徑

    .

    筆者通過不同章節(jié)的課堂讓學(xué)生體驗編題的樂趣,體會探究問題本質(zhì)的成功感,學(xué)生通過變式讓同一事物呈現(xiàn)多樣性,進(jìn)而找出事物的本質(zhì)特征

    .

    原題由筆者提供,課前筆者與學(xué)習(xí)小組的五位學(xué)生一起討論,迸發(fā)思維的火花,學(xué)生通過改變敘述角度、改變解題視角、改變設(shè)問方向、創(chuàng)設(shè)變靜為動的問題情境等策略對例題進(jìn)行改編

    .

    原題

    已知函數(shù)

    f

    (

    x

    )=

    x

    +

    ax

    +

    b

    , 存在實數(shù)

    x

    , 且有|

    x

    |≥3, 使得

    f

    (

    x

    )=0, 則

    a

    +

    b

    的最小值是________

    .

    生3的解法不同于常規(guī)的直接法,他的解題視角是分析轉(zhuǎn)換法,將關(guān)于

    x

    的一元二次方程轉(zhuǎn)換成關(guān)于變量(

    a

    ,

    b

    )的直線

    l.

    生3通過此轉(zhuǎn)換,換一個角度解決問題,另辟蹊徑,將繁復(fù)冗長的解題思路變得簡潔明了,具體思路如下

    .

    將一元二次方程

    f

    (

    x

    )=

    x

    +

    ax

    +

    b

    =0轉(zhuǎn)換成經(jīng)過點

    A

    (

    a

    ,

    b

    )的直線

    l

    :

    x

    ·

    a

    +1·

    b

    +

    x

    =0,此時原問題轉(zhuǎn)換成原點到這條直線

    l

    上的距離的平方的最小值問題

    .

    即令在

    t

    ∈[10,+∞)嚴(yán)格單調(diào)遞增,

    t

    =10時,故

    a

    +

    b

    的最小值是在筆者的引導(dǎo)下,生4小試牛刀,改變敘述角度編題,盡管闡述方式不同,但本質(zhì)不變,所以此類改編對解題過程沒有影響

    .

    編題2.1

    已知函數(shù)

    f

    (

    x

    )=

    x

    +

    ax

    +

    b

    ,函數(shù)

    f

    (

    x

    )在(-∞,-3]∪[3,+∞)上存在零點,則

    a

    +

    b

    的最小值是________

    .

    生4改編的此題只要從函數(shù)零點的概念入手,就可以得到原題的條件,答案不變,這是用等價變換法編題

    .

    生5的改編幅度更大一些,改變了設(shè)問方向,他改編的題目如下

    .

    編題2.2

    已知條件不變,則

    a

    +4

    b

    的最小值是________

    .

    設(shè)

    z

    =

    a

    +(2

    b

    ), 點

    A

    (

    a

    ,2

    b

    ), 此時將方程

    f

    (

    x

    )=

    x

    +

    ax

    +

    b

    =0, 轉(zhuǎn)換成變量為(

    a

    ,2

    b

    )的直線解題思路類似生3求最值的方法

    .

    生5改編的編題2

    .

    2的解題思路與原題中生3解題思路涉及的方法都是分析轉(zhuǎn)化法,即將方程看成關(guān)于過點(

    a

    ,

    b

    )的直線

    l

    或過點(

    a

    ,2

    b

    )的直線

    l

    的方程,所求問題轉(zhuǎn)化為原點到直線

    l

    l

    距離的平方的最值問題,從而達(dá)到消元的目的

    .

    編題2

    .

    2改變問題的設(shè)問方向,只是將原題中變量為(

    a

    ,

    b

    )的直線

    l

    轉(zhuǎn)化成變量為(

    a

    ,2

    b

    )的直線

    l

    .

    教師總結(jié)1:

    正因生3、生5發(fā)現(xiàn)了此類題解法的本質(zhì),才能通過解題思路和規(guī)律來建構(gòu)編題2

    .

    2的條件,這展現(xiàn)出他們思維的廣闊性和深刻性

    .

    生6和生7的改編方向是創(chuàng)設(shè)變靜為動的問題情境

    .

    生6改編得到的題目如下

    .

    編題2.3

    已知條件不變,則

    a

    +(

    b

    -3)的最小值是________

    .

    生7改編得到的題目如下

    .

    編題2.4

    已知函數(shù)

    f

    (

    x

    )=

    x

    +

    ax

    +(

    b

    -3), 存在實數(shù)

    x

    , 且有|

    x

    |≥3, 使得

    f

    (

    x

    )=0, 則

    a

    +(

    b

    -3)的最小值是________

    .

    生6是將結(jié)論“求

    a

    +

    b

    ”改編成“求

    a

    +(

    b

    -3)”,若設(shè)點

    A

    (

    a

    ,

    b

    ),生6在生3解題思路基礎(chǔ)上將原點

    O

    (0,0)向上平移至

    P

    (0,3),則問題轉(zhuǎn)換為

    P

    (0,3)到直線

    l

    :

    x

    ·

    a

    +1·

    b

    +

    x

    =0的距離的平方,接下來的解法類似于生3

    .

    與原題相比,生7的改編在條件中將方程

    f

    (

    x

    )=0, 轉(zhuǎn)換成直線在結(jié)論中原問題轉(zhuǎn)換成點

    P

    (0,3)到直線

    l

    的距離的平方,這里同條件中的平移方向一樣,原點盡管條件與結(jié)論都創(chuàng)設(shè)了變靜為動的情境,但已知與所求的幾何圖形都在原題基礎(chǔ)上同時向上平移了3個單位,所以答案與生3一樣

    .

    生7是從幾何圖形平移的角度化歸,亦可以從代數(shù)方法化歸,可設(shè)

    b

    -3=

    B

    ,則此題即為“已知函數(shù)

    f

    (

    x

    )=

    x

    +

    ax

    +

    B

    ,存在實數(shù)

    x

    ,且有|

    x

    |≥3,使得

    f

    (

    x

    )=0,則

    a

    +

    B

    的最小值是________

    .

    ”轉(zhuǎn)化為原題,得答案為

    教師總結(jié)2:

    生6、生7用“形”改編好題目后,不僅能用“形”來解決,亦可用“數(shù)”來解決,變靜態(tài)為動態(tài),以基本圖像為“基準(zhǔn)點”,通過基本圖形的運(yùn)動將問題轉(zhuǎn)換成更一般的問題,開闊解決問題的視野,發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)

    .

    在原題基礎(chǔ)上,生6、生7化靜為動進(jìn)行自編自答的過程,已經(jīng)從繁復(fù)的具體事物中抽象出事物的本質(zhì)

    .

    同學(xué)們運(yùn)用編題策略進(jìn)行改編的學(xué)習(xí)狀態(tài)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出預(yù)設(shè)教學(xué)目標(biāo),這才是真正的學(xué)以致用、活學(xué)活用

    .

    筆者設(shè)計的上述兩節(jié)課,第一節(jié)課是設(shè)計好教學(xué)流程,通過類比等手段使學(xué)生在熟悉的等差、等比數(shù)列上進(jìn)行模仿編題

    .

    第二節(jié)課是學(xué)生小組成員從筆者上節(jié)課結(jié)束時所給的例題中選出一題進(jìn)行改編,通過交流的方式展示不同學(xué)生的想法

    .

    等價變換法、只換結(jié)論、條件結(jié)論都換、變靜為動這四種改編形式的運(yùn)用體現(xiàn)學(xué)生由淺入深、由靜態(tài)到動態(tài)的探究過程

    .

    學(xué)生深度學(xué)習(xí)的效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出筆者的想象,學(xué)生親歷探究過程,自編自答,通過弱化條件實現(xiàn)由具體到抽象,由特殊到一般,從而歸納出問題的一般解決規(guī)律

    .

    學(xué)生積極主動地進(jìn)行有效思考,探究問題的本質(zhì),真正實現(xiàn)從“解題”到“解決問題”的轉(zhuǎn)變

    .

    這兩節(jié)課是以“生趣”為導(dǎo)向的自主發(fā)展系列課程,實踐證明,筆者設(shè)計合理有效、層層推進(jìn)的教學(xué)情境,運(yùn)用小組合作的方式既調(diào)動學(xué)生的好奇心和探究積極性,又促進(jìn)學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維能力,表達(dá)自身的見解和看法

    .

    筆者將整個學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)進(jìn)程都置于情境之中,引發(fā)學(xué)生思考和探究的欲望,率先激活學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性,逐步培育學(xué)生的抽象思維和邏輯思維,達(dá)到深度學(xué)習(xí)的效果

    .

    以往教師習(xí)慣呈現(xiàn)給學(xué)生的數(shù)學(xué)問題往往是封閉式的結(jié)構(gòu)良好問題,條件不多也不少,答案唯一且確定,這樣會讓學(xué)生囿于定向思維,囿于解決常規(guī)的、程式化的數(shù)學(xué)問題,不善于解決復(fù)雜的、開放性的真實問題

    .

    這兩節(jié)編題課讓學(xué)生完整經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—分析問題—解決問題—通過改編發(fā)現(xiàn)新思維—解決更廣泛的一類問題—發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律和問題本質(zhì)”,這樣的深度探究學(xué)習(xí)過程適當(dāng)引入具有開放性的結(jié)構(gòu)不良問題,引導(dǎo)學(xué)生全面、客觀、辯證地分析解決問題,不斷發(fā)展學(xué)生的實踐性反思、批判性思維、創(chuàng)造性思維等高階思維能力

    .

    孔子曰:“舉一隅不以三隅反,則不變也

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    ”這句話強(qiáng)調(diào)的就是深度探究、深刻理解的重要性

    .

    越是上位的思維越貼近問題的本質(zhì),遷移性越寬廣

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    更重要的是學(xué)生的潛力是巨大的,例如第二節(jié)課中學(xué)生小組成員的創(chuàng)造力遠(yuǎn)遠(yuǎn)超乎想象

    .

    通過引導(dǎo)學(xué)生編擬數(shù)學(xué)問題,這種動態(tài)生成的課堂把問題引向深入的研究過程,這是從一個簡單的問題出發(fā)逐步演繹、深化的過程,是學(xué)生主動探究創(chuàng)新的過程

    .

    學(xué)生通過小組合作編題講題,不僅在曼妙的演變中體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂,促進(jìn)知識理解,同時深度探究數(shù)學(xué)問題本質(zhì),發(fā)掘其隱含的數(shù)學(xué)思想

    .

    教師通過探究式編題教學(xué)構(gòu)建數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)課堂,在學(xué)生自編、自解、自講的過程中,其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也得到培養(yǎng)和提高,這樣的課堂才是學(xué)生自我生長、指向深度學(xué)習(xí)的課堂

    .

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