談高中數(shù)學(xué)寫作資源的開發(fā)*

倉萬林 李 紅 (江蘇省江陰市要塞中學(xué) 214432)

數(shù)學(xué)寫作又稱WTL(通過寫作來學(xué)習(xí))，是一種新型的學(xué)習(xí)方式．借新課程改革的東風(fēng)，數(shù)學(xué)寫作活動的教育價值有了新的內(nèi)涵．開發(fā)合適的數(shù)學(xué)寫作資源，對數(shù)學(xué)寫作活動具有重要意義．如果將數(shù)學(xué)寫作作品中的素材看成一桶水，那么寫作資源的開發(fā)就相當(dāng)于去尋找水的源頭．2017年5月，“數(shù)學(xué)寫作”學(xué)校聯(lián)盟成立，目前全國已經(jīng)有20多個省份的100多所學(xué)校加盟．下面結(jié)合“數(shù)學(xué)寫作”學(xué)校聯(lián)盟成員的經(jīng)驗，談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)寫作資源的開發(fā)問題．

1 研讀教材

教材是師生在教和學(xué)過程中最容易得到、也是最常用的材料．筆者在數(shù)學(xué)寫作活動中反復(fù)呼吁教師和學(xué)生們應(yīng)充分合理使用教材，與其感嘆時間不夠用卻又沉湎于題海戰(zhàn)術(shù)不能自拔，不如就地取材，認(rèn)真研讀教材，尤其是新版的人教A版數(shù)學(xué)教材，是數(shù)學(xué)寫作素材的重要源泉．

1.1 教材章首

數(shù)學(xué)教材在歷次版本的更新?lián)Q代中，其可讀性也越來越強，許多圖片也升級為彩色印刷，更加貼近中學(xué)生閱讀的實際．在這個讀圖的時代，這些元素都是必需的．教材的封面、主編寄語(談數(shù)學(xué)的作用和學(xué)習(xí)之法)、本冊導(dǎo)引、目錄、章首語等內(nèi)容中有大量隱性的數(shù)學(xué)課程元素，閱讀這些內(nèi)容可以培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的大局觀，讓學(xué)生從宏觀上認(rèn)識學(xué)習(xí)的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、方法，促使學(xué)生的視角從士兵向?qū)④娹D(zhuǎn)化，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力，幫助學(xué)生更好地親近數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)，改變部分學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的刻板印象．在奶粉行業(yè)的營銷中，大家都說嬰兒的第一口奶特別重要．筆者在指導(dǎo)學(xué)生讀書的時候，特別是起始年級，舍得花時間和學(xué)生一起看這些似乎和數(shù)學(xué)解題無關(guān)的因素，甚至連這本書的價格是多少這一細(xì)節(jié)也不放過，因為這也是有意義的——教材價格與學(xué)生們購買的大量教輔圖書價格相比有很大差異，這是學(xué)生們在今后的建模問題中推敲模型合理性、可靠性的一個重要指標(biāo)．

筆者曾經(jīng)在了解學(xué)情的階段布置過這樣的作業(yè)題：

作業(yè)：我的數(shù)學(xué)之路

認(rèn)真閱讀課本上主編寄語談到的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，你有什么體會？或者你認(rèn)為在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最重要的方法是什么？簡單介紹自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，比如有哪些困惑或者特殊的學(xué)習(xí)經(jīng)歷、需要老師提供什么幫助等．200字以上，文體不限，歡迎更為完整的作品，一周時間完成．

當(dāng)然教材中還有很大篇幅的數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化類閱讀材料，在幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)的同時，也是數(shù)學(xué)寫作的素材來源．

1.2 教材概念

概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容，李邦河院士曾經(jīng)說：“數(shù)學(xué)是玩概念的，技巧不足道也．”在新教材中，我們驚喜地發(fā)現(xiàn)，許多概念后面都有一些圍繞概念理解的思考題，引導(dǎo)學(xué)生更好地理解概念，如“函數(shù)的單調(diào)性”一節(jié)，后面就留下了這兩個思考題．

(1)設(shè)

A

是區(qū)間

D

上某些自變量的值組成的集合，而且對任意

x

,

x

∈

A

，當(dāng)

x

<

x

時，都有

f

(

x

)<

f

(

x

)，我們能說函數(shù)

f

(

x

)在區(qū)間

D

上單調(diào)遞增嗎？你能舉例說明嗎？

(2)函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，你能舉出在整個定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的函數(shù)例子嗎？你能舉出在定義域內(nèi)的某些區(qū)間上單調(diào)遞增但在另一些區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)例子嗎？

筆者在布置學(xué)生預(yù)習(xí)時，順便讓他們看了蘇教版教材上的練習(xí)題8：

下列說法正確的序號是

．(1)若定義在

R

上的函數(shù)

f

(

x

)滿足

f

(2)>

f

(1)，則函數(shù)

f

(

x

)是

R

上的增函數(shù)；(2)若定義在

R

上的函數(shù)

f

(

x

)滿足

f

(2)>

f

(1)，則函數(shù)

f

(

x

)是

R

上不是減函數(shù)；(3)若定義在

R

上的函數(shù)

f

(

x

)在區(qū)間(-∞,0]上是增函數(shù)，在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù)，則函數(shù)

f

(

x

)在

R

上是增函數(shù)；(4)若定義在

R

上的函數(shù)

f

(

x

)在區(qū)間(-∞,0]上是增函數(shù)，在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù)，則函數(shù)

f

(

x

)在

R

上是增函數(shù)．

學(xué)生們可以對照函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)圖象深入思考，對加深概念理解很有作用，功夫在無形中增長．這個概念理解過程就是數(shù)學(xué)寫作的素材之一．

1.3 教材例題(習(xí)題)

新教材中的例題和習(xí)題，其設(shè)計形式和開放程度較以前版本有了很大的變化．認(rèn)真研讀教材后，可能會深刻影響到今后的教和學(xué)．學(xué)生們在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，部分問題(包括例題的解答)和自己的認(rèn)知有很大的差異，將其梳理出來，就是很好的批判性學(xué)習(xí)和寫作的素材．如人教A版教材第206頁例5：

求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

分析 令當(dāng)自變量

x

的值增大時，

z

的值也隨之增大，因此若函數(shù)

y

=sin

z

在某個區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間上也一定單調(diào)遞增．

解

令則因為單調(diào)遞增區(qū)間是且由得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是這個例題的解法很有違和感，學(xué)生們花了不少時間琢磨其通性通法，并整理成文，很有收獲．這就是數(shù)學(xué)寫作活動中一個典型的批判性視角的解題研究文章的素材，開發(fā)類似資源對培養(yǎng)學(xué)生的探究能力很有幫助，能有效提升學(xué)科核心素養(yǎng)

.

目前的教和學(xué)，并沒有跳出傳統(tǒng)經(jīng)驗的“坑”，經(jīng)驗成為學(xué)習(xí)的障礙，這些都值得深刻反思．如果我們認(rèn)真對待教材上的例題和習(xí)題，會發(fā)現(xiàn)這還真不是一個忽悠人的“坑”，而是一個“礦”，一個“富礦”，更是數(shù)學(xué)寫作中的寶貴資源．

2 課堂生成

課堂是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要陣地，受制于時空等多種因素的制約，許多內(nèi)容教師往往講不透，這時候教師常說“這個問題，同學(xué)們可以課后思考一下”，這意猶未盡的部分也是數(shù)學(xué)寫作的重要來源．很多時候，學(xué)生們的個性化學(xué)習(xí)就是這樣形成的．

案例

基本不等式中的素材拓展．

基本不等式是高中數(shù)學(xué)的難點和重點之一，現(xiàn)在放在第二章，許多教師和學(xué)生還是很不適應(yīng)的(這個可以討論)．在基本不等式教學(xué)中，筆者和學(xué)生共同探討的寫作素材方面包含而不僅局限于：

(1)第39頁上基本不等式的無字證明，從趙爽的勾股圖出發(fā)，無字證明基本不等式．

(2)基本不等式中的“1”的代換和配湊問題．

(3)基本不等式中的難言之隱，一換了之——換元法面面觀．

聽課過程中的點點滴滴和疑問都可以成為寫作的重要出發(fā)點，也是寫作的重要資源，在此基礎(chǔ)上，學(xué)生們可以學(xué)會思考和深度思考．

3 數(shù)學(xué)文化

經(jīng)過若干年的預(yù)熱，數(shù)學(xué)文化逐漸為大眾認(rèn)可．比如湖北卷2015年高考中的“鱉臑”問題，仍然是人們“懟人”的經(jīng)典方式之一，成為一種社會文化現(xiàn)象．?dāng)?shù)學(xué)文化也是數(shù)學(xué)寫作的一個重要來源．

海倫公式亦叫海倫-秦九昭公式，相傳這個公式最早是由古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德得出的，而因為這個公式最早出現(xiàn)在海倫的著作《測地術(shù)》中，所以被稱為海倫公式．它是利用三角形的三條邊的邊長直接求三角形面積的公式，表達(dá)式為其中

a

,

b

,

c

分別是三角形的三邊長，已知一根長為8的木棍，截成三段構(gòu)成一個三角形，若其中有一段的長度為2，則該三角形面積的最大值為

．

解析

由海倫公式可知不妨設(shè)

a

=2，則

b

+

c

=6，則當(dāng)且僅當(dāng)4-

b

=4-

c

，即

b

=

c

=3時等號成立，故答案為

某學(xué)生在課后進(jìn)行了深入思考，發(fā)現(xiàn)這是一個簡化加工過的問題，原問題中三角形的動點的軌跡是以兩定點為焦點的橢圓，橢圓方程為由橢圓的幾何性質(zhì)有界性，很快可以解決問題．

這些以數(shù)學(xué)文化為背景的試題，其中最經(jīng)典的案例就是阿波羅尼斯圓，以此為寫作素材的作品很豐富，限于篇幅，本文不再贅述．

4 數(shù)學(xué)游戲

很多游戲之中蘊含著豐富的數(shù)學(xué)原理，比如部分撲克牌中的游戲，可以用數(shù)學(xué)知識、特別是數(shù)論知識來解釋，學(xué)生還可以上網(wǎng)查閱．現(xiàn)在許多學(xué)生宅在家里過春節(jié)，微信搶紅包是少不了的常規(guī)活動，常見的微信紅包方式都可以用數(shù)學(xué)模型來解釋，不僅僅是看運氣或某品牌手機或網(wǎng)絡(luò)速度．比如談祥柏先生作品中的一個有意思的材料，故事選自《談祥柏趣味數(shù)學(xué)詳談》叢書的《數(shù)學(xué)福爾摩斯》分冊．

山不在高，有仙則名；水不在深，有龍則靈．在日本有座名不見經(jīng)傳的吉野寺，這個寺廟的歷史倒也蠻悠久的，方丈曾經(jīng)游覽過許多中國的著名寺廟，看來讀萬卷書和行萬里路都做到了．當(dāng)然，我們關(guān)心的是方丈的數(shù)學(xué)最強大腦．方丈的秘訣是這樣的，任意給出八個數(shù)，比如下面的形式然后有

“零”的諧音即為“靈”，方丈解讀為一切皆“靈”．有這么厲害的方丈，這寺廟的香火想不旺都很難，放在今天也是網(wǎng)紅寺廟了．

有學(xué)生在閱讀后發(fā)現(xiàn)，這是一個數(shù)學(xué)恒等式呀，我們完全可以按方丈的規(guī)則來說明問題，和字母的取值沒有關(guān)系．

將這八個數(shù)一般化得到下面的運算學(xué)生都會做(只需給出二階行列式的定義)，細(xì)心一點，妥妥的送分題嘛！

原來，這是必然成立的結(jié)論！

以數(shù)學(xué)游戲為題材的數(shù)學(xué)寫作，真正實現(xiàn)了寓教于樂．

5 其他形式

除了上面這幾種常見類型外，科普活動、社會實踐活動等，也是數(shù)學(xué)寫作活動重要的素材來源．

數(shù)學(xué)寫作中寫作資源的開發(fā)體現(xiàn)了其學(xué)科融合的特色，在數(shù)學(xué)寫作中，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)、綜合能力等都將得到提升．