問題驅(qū)動(dòng)概念教學(xué)的實(shí)踐與反思
——以“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”為例

丁永剛 (江蘇省徐州市第一中學(xué) 221140)

1 基本情況

1.1 授課對象

學(xué)生來自江蘇省四星級(jí)高中重點(diǎn)班，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，有一定的自學(xué)能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．

1.2 課標(biāo)要求

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(下稱《課標(biāo)2017》)指出：探索并掌握等差數(shù)列的前

n

項(xiàng)和公式，理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前

n

項(xiàng)和公式的關(guān)系；在數(shù)列教學(xué)過程中，可以組織學(xué)生閱讀數(shù)列方面的研究成果，尤其是我國古代的優(yōu)秀研究成果，感悟我國古代數(shù)學(xué)的輝煌成就．

2 教學(xué)實(shí)踐

2.1 細(xì)心觀察，大膽猜想

問題1

如何將下列古文“翻譯”成現(xiàn)代文？

今有與人錢，初一人與一錢，次一人與二錢，次一人與三錢，以次與之，轉(zhuǎn)多一錢，共有百人，問共與幾錢？——《張邱建算經(jīng)》

設(shè)計(jì)意圖

通過中國北魏時(shí)期《張邱建算經(jīng)》中一道數(shù)學(xué)題導(dǎo)入所學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、討論、“翻譯”來發(fā)現(xiàn)問題中的等差數(shù)列，

a

=1,

a

=2,

a

=3,…,

a

=100，需求

a

+

a

+

a

+…+

a

．“翻譯”的過程滲透數(shù)學(xué)建模方法解決實(shí)際問題的思想，借此引出本節(jié)課的第一個(gè)概念：等差數(shù)列{

a

}前

n

項(xiàng)和定義：一般地，我們稱

a

+

a

+

a

+…+

a

為等差數(shù)列{

a

}的前

n

項(xiàng)和，用

S

表示，即

S

=

a

+

a

+

a

+…+

a

.

回到古代的問題，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，提出問題2．

問題2

如何求1+2+3+…+100？

學(xué)生活動(dòng) 分組討論首尾配對求和的原理和方法，討論高斯求和的精髓和局限性．

設(shè)計(jì)意圖

適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)史，了解數(shù)學(xué)家 的故事．高斯求和的精髓在于首尾配對，體現(xiàn)了消項(xiàng)的思想，下面利用高斯求和法研究一個(gè)實(shí)際問題．

圖1 高斯 圖2

問題3

怎樣計(jì)算圖2中鋼管的總數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖

利用高斯求和法計(jì)算聯(lián)想到梯形面積公 式幫助記憶公式，同時(shí)讓學(xué)生指出其中數(shù)量的含義：4(上底)為首項(xiàng)，9(下底)為末項(xiàng)，6(高)為 項(xiàng)數(shù)．引導(dǎo)學(xué)生討論，高斯求和也有局限性，項(xiàng)數(shù)必須是偶數(shù)項(xiàng)．當(dāng)項(xiàng)數(shù)不確定時(shí)如何計(jì)算？引出問題4．

問題4

如何求1+2+3+…+

n

？

學(xué)生活動(dòng) 小組討論，如何求和？

設(shè)計(jì)意圖

引導(dǎo)學(xué)生回顧前兩個(gè)問題，對

n

進(jìn)行分類討論．師生共同得到指出結(jié)果中第一個(gè)

n

的含義是項(xiàng)數(shù)，1的含義是首項(xiàng)，后一個(gè)

n

的含義是末項(xiàng)．引導(dǎo)學(xué)生思考：能否找出一般的規(guī)律來適用于不同的等差數(shù)列，從而給出問題5．此過程重視培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的邏輯推理素養(yǎng)．

問題5

猜想等差數(shù)列前

n

項(xiàng)和

S

=

a

+

a

+…+

a

的計(jì)算公式．

學(xué)生活動(dòng) 思考并猜想結(jié)果能否與實(shí)際問題一致．

設(shè)計(jì)意圖

由問題4類比推理問題5，引發(fā)學(xué)生合理猜想，接著肯定學(xué)生的猜想，猜想出的結(jié)論需經(jīng)過嚴(yán)格的證明，從而引出下一環(huán)節(jié)“合作探究，嚴(yán)格證明”．

2.2 合作探究，嚴(yán)格證明

問題6

如何證明等差數(shù)列的前

n

項(xiàng)和公式？

學(xué)生活動(dòng) 討論一般情況下的等差數(shù)列如何推導(dǎo)求和公式，嘗試總結(jié)公式的記憶方法．

生1：(1)當(dāng)

n

是偶數(shù)時(shí)，(2)當(dāng)

n

是奇數(shù)時(shí)，

由(1)(2)得

問題7

審視問題3解法中兩幅圖與解法的關(guān)系，能否避開分類，重新證明問題6？

設(shè)計(jì)意圖

為“倒序相加法”的出現(xiàn)做鋪墊．生2：設(shè){

a

}的首項(xiàng)為

a

，公差為

d

，則

S

=

a

+(

a

+

d

)+(

a

+2

d

)+…+[

a

+(

n

-1)

d

] ①．又

S

=[

a

+(

n

-1)

d

]+[

a

+(

n

-2)

d

]+…+

a

②

.

①+②，得2

S

=

n

[2

a

+(

n

-1)

d

]=

n

(

a

+

an

)．由此可得師：生2將數(shù)列中的每一項(xiàng)都用基本量首項(xiàng)

a

、公差

d

表示，這是研究等差數(shù)列問題的通法，將數(shù)列通項(xiàng)的順序顛倒后相加實(shí)現(xiàn)等差數(shù)列的求和．

問題8

如何改進(jìn)生2的證法，使之更簡潔？

設(shè)計(jì)意圖

倒序相加已經(jīng)呈現(xiàn)，但需要再次簡化過程．生3：由

S

=

a

+

a

+

a

+…+

a

①,得

S

=

a

+

a

-1+…+

a

②．①+②，得2

S

=(

a

+

a

)+(

a

+

a

-1)+(

a

+

a

-2)+…+(

a

+

a

)=

n

(

a

+

a

)．由此可得師：生3的證法更簡潔直觀，當(dāng)數(shù)列首末兩項(xiàng)的和

a

+

a

為常數(shù)時(shí)，常用倒序相加法求數(shù)列的和，如何記憶此公式？生4：借助梯形面積公式記憶更牢固

.

設(shè)計(jì)意圖

小組討論，學(xué)生多人合作終于完成證明過程，可以讓學(xué)生感受倒序相加法的形成過程和使用條件，學(xué)生總結(jié)公式的記憶方法，完成知識(shí)建構(gòu)．

2.3 新知初學(xué)，牛刀小試

問題9

在等差數(shù)列{

a

}中，

a

=2

n

-1，求

S

．(結(jié)果用

n

表示)

學(xué)生活動(dòng) 學(xué)生以搶答的方式進(jìn)行，口述解題過程與結(jié)果．

設(shè)計(jì)意圖

讓學(xué)生體會(huì)公式的簡單運(yùn)用，小試牛刀，提升學(xué)習(xí)的熱情．

2.4 師生合作，公式運(yùn)用

問題10

等差數(shù)列{

a

}中：(1)已知

a

=3，

a

=101，求

S

；(2)已知求

S

．

學(xué)生活動(dòng) 學(xué)生回答解題思路與過程，教師黑板板演完整解題過程．

設(shè)計(jì)意圖

此題為公式的直接運(yùn)用

.

對于 第(2)題，需先求

a

，若對于求和公式中的

a

利用

a

=

a

+(

n

-1)

d

，則這是本節(jié)課的第二個(gè)求和公式

.

強(qiáng)調(diào)每個(gè)量的含義，并分析兩個(gè)求和公式與通項(xiàng)公式，共有五個(gè)量，觀察問題10，知道其中任意三個(gè)量可求其余兩個(gè)量，即“知三求二”．

問題11

在等差數(shù)列{

a

}中，已知求

a

及

n

．

學(xué)生活動(dòng) 學(xué)生在草稿紙上書寫解題過程，教師利用投屏技術(shù)，展示學(xué)生完整解題過程，讓學(xué)生講解思路，鼓勵(lì)學(xué)生一題多解．

設(shè)計(jì)意圖

本題是等差數(shù)列求和公式的逆向運(yùn)用，訓(xùn)練學(xué)生逆向思維能力．

問題12

已知等差數(shù)列{

a

}，填寫下表：

序號(hào)a1dnanSn112152-1327

學(xué)生活動(dòng) 學(xué)生以小組為單位進(jìn)行搶答．

設(shè)計(jì)意圖

此題是對于求和公式“知三求二”的鞏固練習(xí)．

問題13

在等差數(shù)列{

a

}中，已知第1項(xiàng)到第10項(xiàng)的和為310，第11項(xiàng)到第20項(xiàng)的和為910，求第21項(xiàng)到第30項(xiàng)的和．

學(xué)生活動(dòng) 學(xué)生先獨(dú)立完成，然后小組討論，利用投屏技術(shù)展示完整解法．引導(dǎo)學(xué)生深入思考：此題除了基本量法之外，還有別的解法嗎？

設(shè)計(jì)意圖

此題是公式的靈活運(yùn)用，將題目條件化為基本量，這是解數(shù)列題的通法，強(qiáng)調(diào)通性通法

.

本題體現(xiàn)了化歸轉(zhuǎn)化思想，尊重學(xué)生思維發(fā)展的廣度，鼓勵(lì)創(chuàng)新解法．

2.5 課堂檢測，鞏固新知

問題14

在等差數(shù)列{

a

}中，

a

=2

n

+3，

S

=

an

+

bn

+

c

(

a

,

b

,

c

是常數(shù))，求

a

-

b

+

c

．

學(xué)生活動(dòng) 通過抽簽抽取學(xué)生答題，小組內(nèi)部可提供幫助，10秒鐘內(nèi)若沒有思路則重新進(jìn)行抽簽．

設(shè)計(jì)意圖

本環(huán)節(jié)為課堂檢測環(huán)節(jié)，通過控件抽簽器(利用Int函數(shù)，抽取隨機(jī)數(shù))抽取學(xué)生來答題，為求和公式性質(zhì)的學(xué)習(xí)做鋪墊，以此方式調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高課堂學(xué)習(xí)的效率．問題9讓學(xué)生初次體驗(yàn)計(jì)算成功的喜悅，問題10～12是公式的正用、逆用、變形用，層層推進(jìn)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)解題中的變化．

2.6 小結(jié)提升，反思升華

問題15

本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)與技能、過程與方法？

生5：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了一種方法：倒序相加法；兩個(gè)公式：和三種思想：特殊與一般思想、方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想．

3 教后反思

本課的授課對象整體水平較高，整個(gè)教學(xué)過程基本與課前預(yù)設(shè)一致，達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)效果．

3.1 內(nèi)容響應(yīng)課標(biāo)，突出重點(diǎn)

《課標(biāo)2017》指出：在教學(xué)中可以組織學(xué)生收集、閱讀數(shù)列方面的研究成果，特別是我國古代的優(yōu)秀研究成果……感悟我國古代數(shù)學(xué)的輝煌成就．本節(jié)課設(shè)計(jì)用到中國古代數(shù)學(xué)家張邱建的著作《張邱建算經(jīng)》與高斯求和等數(shù)學(xué)文化內(nèi)容，特別突出張邱建的研究，讓學(xué)生體驗(yàn)深厚的民族自豪感．教學(xué)設(shè)計(jì)凸顯數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)指向，在教學(xué)目標(biāo)達(dá)成的同時(shí)，傳遞給學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必備品質(zhì)、學(xué)習(xí)能力和正確的價(jià)值觀念．

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)在于公式的推導(dǎo)，在問題3和問題4中讓學(xué)生充分感受高斯首尾配對算法的局限性，通過教材上的實(shí)例，感受倒序相加法的巧妙之處，從而在公式推導(dǎo)過程中自然呈現(xiàn)．本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)在于公式的運(yùn)用，問題9到問題12均為對公式的運(yùn)用．在問題10第(2)題中，將通項(xiàng)公式代入求和公式，可引出本節(jié)課的第二個(gè)求和公式，通過對兩個(gè)公式與通項(xiàng)公式的分析，發(fā)現(xiàn)共有5個(gè)量，可“知三求二”．問題12為趣味競答環(huán)節(jié)，設(shè)置控件抽簽器，抽取學(xué)號(hào)，由學(xué)生現(xiàn)場抽題，激發(fā)了學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的樂趣．

3.2 問題驅(qū)動(dòng)探究，訓(xùn)練思維

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，而問題是數(shù)學(xué)的心臟，語言是思維的外殼．布魯納說過：“教學(xué)過程是一種提出問題和解決問題持續(xù)不斷的活動(dòng)，思維永遠(yuǎn)是從問題開始．”本節(jié)課共設(shè)計(jì)了15個(gè)問題組成問題串(有預(yù)設(shè)的問題，也有生成的問題，如問題7和問題8)，問題1讓學(xué)生對等差數(shù)列前

n

項(xiàng)和的概念產(chǎn)生直覺猜想，問題2解決問題1提出的問題，問題3是問題2的特殊情況，問題4是從問題2、問題3的特殊情況到一般情況，問題5是問題4的更一般情況，問題6到問題8是對問題5的證明過程的層層改進(jìn)，為引出“倒序相加求和法”做鋪墊，由此獲得對“倒序相加求和法”的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，可謂是精心設(shè)計(jì)

.

問題13和問題14是公式的靈活應(yīng)用，體現(xiàn)了公式的應(yīng)用價(jià)值，問題15有效地促進(jìn)學(xué)生反思，在總結(jié)知識(shí)、升華內(nèi)容的同時(shí)，有效培養(yǎng)了學(xué)生的理性思考和概括能力

.

15個(gè)高質(zhì)量的問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生對等差數(shù)列前

n

項(xiàng)和的求和公式進(jìn)行了深入的探究，由此獲得對等差數(shù)列求和公式的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，在問題串的驅(qū)動(dòng)下，數(shù)學(xué)建構(gòu)、數(shù)學(xué)探究過程嚴(yán)謹(jǐn)而又流暢，在潛移默化中訓(xùn)練了學(xué)生的思維能力．

3.3 過程引領(lǐng)發(fā)展，提升素養(yǎng)

學(xué)生經(jīng)歷“觀察—猜想—證明—運(yùn)用”的探究過程，探究等差數(shù)列前

n

項(xiàng)和公式的多種證明方法，通過古代數(shù)學(xué)問題發(fā)現(xiàn)了數(shù)列求和，繼而提出如何求等差數(shù)列前

n

項(xiàng)和，通過小組合作，得出等差數(shù)列的前

n

項(xiàng)和公式

.

此過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力得到培養(yǎng)，其從特殊到一般的邏輯推理能力得到訓(xùn)練，教師引領(lǐng)學(xué)生走上了科學(xué)研究的正確道路，提升了學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)．

3.4 知識(shí)表征多樣，促進(jìn)建構(gòu)

20世紀(jì)80年代美國數(shù)學(xué)教育學(xué)家杜賓斯基提出了一種關(guān)于數(shù)學(xué)概念教學(xué)的APOS理論，該理論的主要觀點(diǎn)是：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念就是心智結(jié)構(gòu)建構(gòu)的過程，具體可分為操作階段、過程階段、對象階段和圖式階段．以此理論為出發(fā)點(diǎn)，本節(jié)課在設(shè)計(jì)教學(xué)流程時(shí)重視如何使學(xué)生在心智建構(gòu)過程中發(fā)揮較好的主體作用．為此，筆者在設(shè)計(jì)教學(xué)過程時(shí)，向?qū)W生提供了圖形、文字、符號(hào)等多樣化的知識(shí)表征，創(chuàng)造出靈活變化的教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，給學(xué)生創(chuàng)造探索數(shù)學(xué)規(guī)律、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的機(jī)會(huì)，使教學(xué)活動(dòng)開展得富有成效，從而將探究式學(xué)習(xí)得到落實(shí)與推進(jìn)．

3.5 知識(shí)鼓勵(lì)應(yīng)用，升華思想

在引導(dǎo)學(xué)生探索并證明等差數(shù)列前

n

項(xiàng)和公式之后，筆者還啟發(fā)學(xué)生利用公式解決相關(guān)數(shù)學(xué)實(shí)際問題，體會(huì)和挖掘數(shù)學(xué)公式在解決實(shí)際問題中的作用．筆者一方面設(shè)計(jì)了配套的題組，使學(xué)生熟練掌握公式并加深對公式的理解；另一方面從形式上、結(jié)構(gòu)上引導(dǎo)學(xué)生思考除了“知三求二”還有哪些應(yīng)用與推廣，隨著后續(xù)章節(jié)的不斷推進(jìn)，學(xué)生會(huì)在后續(xù)學(xué)習(xí)中不斷領(lǐng)會(huì)知識(shí)應(yīng)用中滲透的相關(guān)數(shù)學(xué)思想．