帶電粒子在有界勻強磁場中運動的“四種模型”

楊學云

[摘 要]文章以帶電粒子在有界勻強磁場中運動[1]的“四種模型”為例，分析探討帶電粒子在勻強磁場中運動問題的解答方法——軌跡圓對稱法、軌跡圓放縮法、軌跡圓旋轉(zhuǎn)法、軌跡圓平移法，從而揭示帶電粒子在有界勻強磁場中的運動規(guī)律。

[關(guān)鍵詞]有界勻強磁場;軌跡圓對稱法;軌跡圓放縮法;軌跡圓旋轉(zhuǎn)法;軌跡圓平移法

[中圖分類號]? ? G633.7? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）05-0037-04

新一輪高考改革突出對學科必備知識、關(guān)鍵能力、學科素養(yǎng)的考查。正確分析帶電粒子在有界勻強磁場中運動偏轉(zhuǎn)問題，可以培養(yǎng)學生規(guī)范、準確地畫出運動軌跡圖像的能力、抽象思維能力、形象思維能力、演繹推理能力等關(guān)鍵能力[2]。本文通過“四種模型”，分析帶電粒子在有界勻強磁場中的運動，具體是抓住題目中的已知條件，如恰好、最大、最高、至少等詞語 [3]，挖掘試題的隱含條件，分析粒子運動軌跡的可能情況;突出有界磁場與運動軌跡間的幾何關(guān)系，使抽象的物理問題更加形象、直觀。

一、軌跡圓對稱法

帶電粒子垂直射入磁場后，將做勻速圓周運動，如圖1所示。要計算粒子在磁場中運動時的軌道半徑、周期等物理量，則應結(jié)合題中已知信息，規(guī)范畫出粒子運動軌跡圖像，利用軌跡圖像具有對稱性的特點，即粒子的運動軌跡關(guān)于入射點[P]與出射點[Q]的中垂線對稱，軌跡圓心[O]位于對稱線上，入射速度、出射速度與[PQ]間的夾角相等，有[φ=α=2θ=ωt]，運用以上規(guī)律尋找臨界條件方便快捷。

[例1]如圖2所示，在[0≤x≤2a]的區(qū)域Ⅰ內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強磁場;在[x>2a]的區(qū)域Ⅱ內(nèi)有垂直紙面向外的勻強磁場，區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ內(nèi)磁場的磁感應強度大小分別為[B]和2[B]。已知質(zhì)量為[m]、帶電荷量為[q]（[q]>0）的粒子沿[x]軸正方向從原點射入?yún)^(qū)域Ⅰ中。

（1）若粒子能進入?yún)^(qū)域Ⅱ的勻強磁場，求粒子第一次進入?yún)^(qū)域Ⅱ的可能位置和速度的范圍。

（2）為使粒子能進入?yún)^(qū)域Ⅱ且不能返回原點，粒子射入?yún)^(qū)域Ⅰ時的速度應滿足什么條件？

解析：（1）設(shè)帶電粒子剛好進入?yún)^(qū)域Ⅱ磁場，因為區(qū)域Ⅰ磁場的最大寬度為2a，運動軌跡恰好與區(qū)域Ⅱ磁場左邊界相切，半徑為[R0=2a]，所以第一次進入?yún)^(qū)域Ⅱ磁場的可能位置為橫坐標[x=2a]，縱坐標[0<y<2a]的區(qū)域內(nèi)，此時對應的速度為[v1]，因為洛倫茲力提供向心力，所以有[qv1B=mv122a]，解得[v1=2qBam]，故有[v>2qBam]。

（2）粒子能返回原點的條件是在區(qū)域Ⅱ磁場中粒子偏轉(zhuǎn)軌跡的圓心必須在[x]軸上，草圖如圖3所示，粒子在區(qū)域Ⅰ磁場和區(qū)域Ⅱ磁場里的偏轉(zhuǎn)半徑和幾何關(guān)系有：[R1=2R2]，[R1R1+R2=2ax]，[x=3a]，[yR1=a3a]，[y=13R1]，[y2+a2=R22]，[R1=655a]。在磁場中，洛倫茲力充當向心力，使粒子做勻速圓周運動，故有：[qv2B=mv22R1]，[v2=qBR1m=65qBa5m]，因此粒子能進入?yún)^(qū)域Ⅱ磁場且不能返回原點的條件是射入?yún)^(qū)域Ⅰ磁場時的速度滿足：[v>2qBam]且[v≠65qBa5m]。

[例2]在科學研究中，可以通過施加適當?shù)拇艌鰜韺崿F(xiàn)對帶電粒子運動的控制。在如圖4所示的平面直角坐標系[xOy]內(nèi)，以坐標原點[O]為圓心，[d]為半徑的圓形區(qū)域外存在范圍足夠大的勻強磁場。一質(zhì)量為[m]、電荷量為[+q]的粒子從[P0，3d]點沿[y]軸正方向射入磁場，當入射速度為[v0]時，粒子從[a-3d2，3d2]處進入無場區(qū)射向原點[O]，不計粒子重力。求：（1）磁場的磁感應強度[B]的大小;（2）粒子離開[P]點后經(jīng)多長時間第一次回到[P]點。

解析：（1）粒子的運動軌跡如圖5所示，由題目條件可求得粒子做圓周運動的軌道半徑為[R=d]。在磁場中，粒子所受洛倫茲力充當向心力，使粒子做勻速圓周運動，有[qv0B=mv20R]，解得[B=mv0qd]。

（2）粒子運動軌跡如圖6所示，粒子在磁場中運動的時間[t1=3×23T=2T]，粒子在磁場中運動的周期為[T=2πRv0]，粒子在無場區(qū)運動的時間[t2=3×23dv0]。粒子再次回到[P]點的時間[t=t1+t2]，聯(lián)立方程解得：

[t=4πdv0+63dv0]

二、軌跡圓放縮法

帶電的相同粒子從某點沿同一方向以不同速率發(fā)射，在磁場中做勻速圓周運動，軌道半徑[R]與速率[v]成正比，即速度[v0]越大，運動軌跡半徑[R]越大，根據(jù)半徑從小到大的順序，畫出不同速率粒子的運動軌跡圓，如圖7所示，軌跡圓的圓心在垂直速度方向的直線[PP′]上，將半徑放縮畫出粒子的運動軌跡圖像，從而尋找臨界條件。

[例3]（2020年全國高考課標Ⅰ卷）一勻強磁場的磁感應強度大小為[B]，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖8中虛線所示，[ab]為半圓，[ac]、[bd]與直徑[ab]共線，[ac]間的距離等于半圓的半徑。一束質(zhì)量為[m]、電荷量為[q（q>0）]的粒子，在紙面內(nèi)從[c]點垂直于[ac]射入磁場，這些粒子具有各種速率。不計粒子之間的相互作用。求粒子在磁場中運動的最長時間。

解析：粒子在磁場中做勻速圓周運動，有：[qBv=mv2r]，[T=2πrv]，可求得粒子在磁場中做圓周運動的周期為[T=2πmqB]，粒子在磁場中運動的時間為[t=θ2π·T=θmqB]。

粒子在磁場中運動的時間與速度無關(guān)，軌跡對應的圓心角越大，運動時間越長。畫出運動軌跡圖像如圖9，采用放縮圓解決該問題，粒子垂直[ac]邊射入磁場，則軌跡圓的圓心必在[ac]直線上，將粒子的軌跡半徑由零逐漸放大。設(shè)粒子運動軌跡半徑為[r]。

（1）當半徑[r≤0.5 R]和[r≥1.5 R]時，粒子分別從ac、bd區(qū)域射出，磁場中的軌跡為半圓，運動時間等于半個周期。

（2）當[0.5 R<r<1.5 R]時，粒子從半圓邊界射出，將軌跡半徑從[0.5 R]逐漸放大，粒子射出磁場的位置從半圓頂端向下移動，軌跡圓的圓心角從[π]逐漸增大，當軌跡半徑為[R]時，軌跡圓的圓心角最大，然后再增大軌跡半徑，軌跡圓的圓心角減小，因此當軌跡半徑等于[R]時軌跡圓的圓心角最大，即軌跡對應的最大圓心角為[θ=π+π3=43π]。粒子運動最長時間為[t=θ2πT=43π2π×2πmqB=4πm3qB]。

[例4]如圖10所示，正方形區(qū)域abcd內(nèi)（含邊界）有垂直紙面向里的勻強磁場，[ab=l]，[Oa=0.4 l]，大量帶正電的粒子從O點沿與ab邊成37°的方向以不同的初速度[v0]射入磁場，不計粒子重力和粒子間的相互作用，已知帶電粒子的質(zhì)量為[m]，電荷量為[q]，磁場的磁感應強度大小為[B]，[sin37°=0.6]，[cos37°=0.8]。

（1）求帶電粒子在磁場中運動的最長時間;

（2）若帶電粒子從ad邊離開磁場，求[v0]的取值范圍。

解析：（1）粒子從ab邊離開磁場時，在磁場中運動的時間最長，如圖11所示，有[qBv0=mv20R]，又[T=2πRv0]，解得[T=2πmBq]。

又由幾何關(guān)系得[θ=74°]，則粒子在磁場中運動的最長時間[t=360°-θ360°T=143πm90qB]。

（2）當粒子軌跡與[ad]邊相切時，如圖12所示，設(shè)此時初速度為[v01]，軌道半徑為[R1]，由幾何關(guān)系可得[R1+R1sin37°=0.4 l]，又[qBv01=mv201R1]，解得[v01=qBl4m]。

當粒子運動軌跡與cd邊相切時，如圖13所示，設(shè)此時初速度為[v02]，軌道半徑為[R2]，由幾何關(guān)系可得[R2+R2cos37°=l]，又[qBv02=mv202R2]，解得[v02=5qBl9m]。

綜上可得[qBl4m<v0≤5qBl9m]。

三、軌跡圓旋轉(zhuǎn)法

大量帶相同電量的粒子從[O]點以相同速率沿不同方向發(fā)射進入勻強磁場中（如圖14所示），由圓周運動可得，軌道半徑[R]與速率[v]成正比。速率相同，軌道半徑相等，速度方向不同，運動軌跡圓大小一樣，但圓心在改變。因此，畫出某個方向的運動軌跡圓，以[O]點所在垂直軸為軸旋轉(zhuǎn)畫出圓心軌跡，利用題中所給條件，尋找臨界條件。

[例5]（2017年全國高考課標Ⅱ卷）如圖15虛線所示的圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直于紙面的勻強磁場，[P]為磁場邊界上的一點。大量相同的帶電粒子以相同的速率經(jīng)過[P]點，在紙面內(nèi)沿不同的方向射入磁場。若粒子射入磁場時速率為[v1]，這些粒子在磁場邊界的出射點分布在六分之一圓周上。若粒子射入磁場時的速率為[v2]，相應的出射點分布在三分之一圓周上。不計重力及帶電粒子之間的相互作用。則速度大小[v2]∶[v1]之比為多少？

解析：相同的帶電粒子垂直勻強磁場入射，粒子均做勻速圓周運動。粒子以[v1]入射，一端為入射點[P]，對應圓心角為60°（對應六分之一圓周）的弦[PP′]必為垂直該弦入射粒子運動軌跡的直徑[2r1]，如圖16所示，設(shè)圓形區(qū)域的半徑為[R]，由幾何關(guān)系知：[r1=12R]。

其他不同方向以[v1]入射的粒子的出射點在[PP′]對應的圓弧內(nèi)。

同理可知，粒子以[v2]入射及出射情況，如圖17所示。由幾何關(guān)系知[r2=R2-R22=32R]，可得[r2]∶[r1=3]∶1。

因為[m]、[q]、[B]均相同，由公式[r=mvqB]可得[v∝r]，所以[v2]∶[v1=3]∶1。

[例6]如圖18，在[0≤x≤a]區(qū)域內(nèi)存在與[xOy]平面垂直的勻強磁場，磁感應強度的大小為[B]。在[t=0]時刻，一個位于坐標原點的粒子源在xOy平面內(nèi)發(fā)射出大量同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與y軸正方向夾角分布在0～180°范圍內(nèi)。已知沿[y]軸正方向發(fā)射的粒子在[t=t0]時刻剛好從磁場邊界上[P（a， a）]點離開磁場。（不計重力）求：

（1）粒子在磁場中做圓周運動半徑;

（2）最先從右邊界射出的粒子在磁場中運動的時間;

（3）從右邊射出的粒子在通過磁場的過程中，所經(jīng)過的磁場區(qū)域的面積。

解析：（1）因為沿[y]軸正方向發(fā)射的粒子在[t=t0]時刻剛好從磁場邊界上[P（a， a）]點離開磁場，連接[OP]，作[OP]的垂直平分線交[x]軸于[O1]，[O1]就是圓周運動的圓心，其軌跡如圖19中①所示，恰好是四分之一圓周，圓周運動的半徑[r=a]，并且[t0=14T]。

（2）最先從右邊界射出的粒子在磁場中的弧長最短，弦最短，弦長等于a，其軌跡如圖19中②所示，其圓心為[O2]，因為弦長等于半徑，則[OO1O2]是等邊三角形的頂點，圓心角為60°，運動時間為[tmin=16T]，解得[tmin=23t0]。

（3）從右邊射出的粒子在通過磁場的過程中，沿[x]軸正方向發(fā)射的粒子剛好從磁場邊界上[P'（a，-a）]點離開磁場，其軌跡恰好與磁場邊界相切，也是四分之一圓周，如圖19中③所示，粒子所經(jīng)過的磁場區(qū)域為軌跡①③和磁場邊界所圍的面積：[S=14πa2+a2-14πa2=a2]。

四、軌跡圓平移法

大量相同的帶電粒子從不同點以相同速率向同一方向發(fā)射進入勻強磁場，因為帶電粒子的速度大小相同，運動軌跡半徑相等，運動軌跡圓大小相同，速度方向相同，所以畫出某個方向帶電粒子的運動軌跡圓，然后將該圓平移，可找到臨界條件。

[例7]如圖20所示，長方形ABCD長[AD=0.4 m]，寬[AB=0.2 m]，O、E分別是AD、BC邊的中點，以E為圓心EB為半徑的圓弧和以O(shè)為圓心、OD為半徑的圓弧組成的區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強磁場，磁感強度[B=0.5 T]。一群帶電粒子以速率[v=3×103 m/s]沿垂直AD方向射入磁場區(qū)域，粒子質(zhì)量[m=2×10-7 kg]、電量[q=-6×10-3 C]，不計粒子重力。判斷帶電粒子將從什么位置離開磁場。

解析：帶電粒子進入磁場時入射點均在DOA線上，由圓周運動半徑公式[R=mvqB]，代入數(shù)據(jù)可求出[R=0.2 m]，即運動軌跡半徑[R]等于磁場寬度AB。現(xiàn)將磁場曲線OB平行向上平移一個半徑后得到曲線OAF，如圖21所示。帶電粒子做勻速圓周運動時它們的圓心均在曲線OAF上，如圖22所示，在該曲線上從[F]到[O]取點作為圓心，以[R=mvqB]為半徑作一系列軌跡圓，從D、O之間入射磁場，帶電粒子在磁場中轉(zhuǎn)過1/4 圓周后沿EB邊界向上做直線運動最終經(jīng)過B點，從O、A之間入射的粒子先做直線運動，后再進入磁場做圓周運動，由作圖可知帶電粒子也經(jīng)過B點。故從AOD邊進入磁場的帶電粒子，最后離開磁場時均通過B點位置。

[例8]如圖23所示，[xOy]為平面直角坐標系，在[x]軸上、下方空間都分布著垂直[xOy]平面向里的勻強磁場，其磁感應強度大小分別為B、3B（未畫出）。一質(zhì)量為m、電荷量為[-q]的小球從坐標原點O處以與[x]軸正方向成30°角的速度[v]射入第一象限，不計重力。求：

（1）小球從離開[O]點（記為第0次）到第4次經(jīng)過[x]軸過程的平均速度;

（2）小球從離開O點后[58T]（T為粒子的運動周期）時刻的位置坐標。

解析：（1）小球在第一象限內(nèi)運動，有[qvB=mv2r1]，所以軌道半徑[r1=mvqB]，又因為[T1=2πr1v]，所以[T1=2πmqB]。

同理，在第四象限內(nèi)運動時，有：

[r2=mv3qB]，[T2=2πm3qB]。

畫出運動軌跡如圖24所示，小球從離開O點到第4次經(jīng)過[x]軸時前進的位移[x=OP4=2r1-r2=4mv3qB]，小球運動的時間[t=2T16+5T26=16πm9qB]，小球的平均速度[v=xt=3v4π]，即平均速度大小為[3v4π]，方向沿[x]軸正方向。

（2）小球運動的周期[T=T16+5T26=8πm9qB]，因[5T8=5πm9qB=T16+2T26]，即此時小球位于圖24中的[P5]，故橫坐標為[x=2r1sin30°=mvqB]，縱坐標為[y=-2r2sin60°=-3mv3qB]，即位置坐標為[mvqB，-3mv3qB] 。

因外界勻強磁場空間范圍大小的限定，以及帶電粒子初速度大小和方向的不確定性，導致帶電粒子在勻強磁場中運動軌跡不同，因而產(chǎn)生了大量的邊界極值問題[4]。教師在授課時應依據(jù)實際物理情境，尋求不同過程中相互聯(lián)系的物理量，如半徑、周期、圓心角、時間等，規(guī)范、準確地畫出運動軌跡圖像，計算運動軌跡的半徑、周期等。厘清有界磁場與運動軌跡圓的幾何關(guān)系[5]，是解決該類問題的關(guān)鍵。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 李秀明.帶電粒子在有界勻強磁場中的運動問題探析[J].新課程（中），2019（2）：96-97.

[2]? 卜凡軍.淺議高中物理教學中如何提高學生的抽象思維能力[J].考試周刊，2020（A4）：125-126.

[3]? 胡衛(wèi)雄.從幾道高考題談有界磁場的臨界與極值問題的數(shù)理方法[J].數(shù)理化解題研究，2021（1）：88-90.

[4]? 彭長禮.帶電粒子在有界磁場中運動的極值問題[J].數(shù)理化學習（高三版），2015（4）：21-22.

[5]? 蔡輝.利用“圓心軌跡”與邊界的長度關(guān)系求解磁場中的復雜問題[J].物理通報，2021（S1）：67-70.

（責任編輯 易志毅）