基于卡爾曼濾波的樂音基頻小波自相關(guān)檢測(cè)法

張皓斐，張皓博

（1.青島理工大學(xué)信息與控制工程學(xué)院，山東青島 266525；2.齊魯工業(yè)大學(xué) 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，山東濟(jì)南 250353）

隨著音頻處理和語(yǔ)音識(shí)別技術(shù)的發(fā)展，樂音識(shí)別技術(shù)在音樂領(lǐng)域展現(xiàn)出了重要的實(shí)用價(jià)值。

從頻域角度講，單一的樂音音符是典型的平穩(wěn)定常復(fù)合信號(hào)，它是由基頻和泛頻共同構(gòu)成的，而樂音識(shí)別的核心任務(wù)就是識(shí)別樂音的基頻，以此來(lái)確定樂音的音高[1]?；l檢測(cè)的方法主要有離散小波變換（Discrete Wavelet Transform，DWT）結(jié)合快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）[2]、倒譜分析法[3]、自相關(guān)函數(shù)[4]以及線性預(yù)測(cè)系數(shù)（Linear Prediction Coefficient，LPC）等，這些方法均可在低噪背景下較為精確地識(shí)別信號(hào)基頻。但由于樂音音域?qū)拸V的特點(diǎn)以及加性環(huán)境噪聲的干擾，以上所提方法的魯棒性并不理想。為此，設(shè)計(jì)了一套采用卡爾曼濾波器（Kalman filter）結(jié)合小波閾值法去噪，進(jìn)而通過自相關(guān)函數(shù)提取基頻的算法，并將其與DWT 結(jié)合FFT 的基頻檢測(cè)算法進(jìn)行了深入比較。此外，使用了語(yǔ)音質(zhì)量感知評(píng)估（Perceptual Evaluation of Speech Quality，PESQ）以驗(yàn)證全頻域段內(nèi)音頻質(zhì)量的增強(qiáng)效果以及樂音基頻檢測(cè)算法的可行性。

1 樂音特性簡(jiǎn)介

十二平均律是規(guī)范兩音符相對(duì)音高的定律方法，將一個(gè)純八度音程即倍頻程平均分為十二等份的半音音階[5]，故兩相鄰樂音音階的頻率之比為：

現(xiàn)代調(diào)音標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定a1的頻率為440 Hz，則c1（中央C）的頻率約為261.626 Hz。在低、中、高3 個(gè)音區(qū)各自抽取一個(gè)音組，并以其為例，通過十二平均律可推得這3 個(gè)音組共36 個(gè)音符所對(duì)應(yīng)基頻如表1所示。

表1 各音組的音符和基頻對(duì)應(yīng)表

2 基頻檢測(cè)原理

2.1 濾波模型建立

自適應(yīng)卡爾曼濾波是在受環(huán)境噪聲干擾下的最優(yōu)化最小均方誤差遞推估計(jì)算法[6]，因此對(duì)含噪信號(hào)的處理是卡爾曼濾波非常適用的對(duì)象。

考慮純凈音頻信號(hào)：

將該式假設(shè)為一全極點(diǎn)線性系統(tǒng)的輸出信號(hào)，則p階的AR 模型形式為：

其中，ai(k),i=1,…,p為AR 模型的系數(shù)，w(k)是方差為的系統(tǒng)過程白噪聲向量，p為階次。

考慮受外部白噪聲干擾的含噪音頻信號(hào)：

其中，v(k)是方差為的觀測(cè)過程白噪聲向量。

將上述模型表示為狀態(tài)空間的表達(dá)形式：

在被公式表述的狀態(tài)空間表達(dá)形式里，X(k)和y(k)分別是狀態(tài)和觀測(cè)向量，A為在該時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，H為在該系統(tǒng)的觀測(cè)矩陣，G為H的轉(zhuǎn)置矩陣。

當(dāng)被觀測(cè)系統(tǒng)的參數(shù)確定時(shí)，可推得該系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)五大基本公式：

2.2 濾波參數(shù)估計(jì)

在卡爾曼濾波算法執(zhí)行之前需要初始化其參數(shù)，主要有系統(tǒng)模型的系數(shù)、系統(tǒng)白噪聲方差Q、觀測(cè)白噪聲方差R和誤差協(xié)方差矩陣P。

因?yàn)樵撓到y(tǒng)狀態(tài)方程中的系數(shù)A(k)是一個(gè)動(dòng)態(tài)參數(shù)，因此需要對(duì)和Q進(jìn)行迭代計(jì)算，故可暫時(shí)初始化為含噪音頻的及Q。具體計(jì)算流程為：對(duì)每一幀含噪音頻信號(hào)，首先使用LPC 算法直接計(jì)算以及Q，然后在卡爾曼濾波模塊中代入該參數(shù)以對(duì)含噪音頻進(jìn)行處理，如此反復(fù)迭代多次以更新和Q，直到音頻模型中的殘差項(xiàng)位于較為合適的閾值范圍內(nèi)為止。

在初始化R時(shí)，可以假定信號(hào)開端只含有噪聲信號(hào)，而無(wú)有效的樂音時(shí)段，從而可對(duì)音頻信號(hào)開端的噪聲信號(hào)求方差得到R，作為噪聲的統(tǒng)計(jì)先驗(yàn)知識(shí)，而P在取初值時(shí)可以與R等同。

2.3 多分辨小波分析與閾值法去噪

在小波分析中，小波變換易于在時(shí)間和頻率層次上進(jìn)行信號(hào)的多分辨定位分析[7]。多分辨分析是將f(t)∈L2(R)在不同頻帶中逐級(jí)分解的過程。

設(shè)Wj和Vj分別為多分辨分解中的小波空間和尺度空間，則Wj為Vj在Vj-1中的正交補(bǔ)空間：

則通過正交小波函數(shù)可將任意f(t)∈V0分解為小波細(xì)節(jié)W1和小波逼近V1，再對(duì)V1進(jìn)一步分解，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)f(t)的多分辨分解，即：

將f(t)∈L2(R)按照空間組合展開，可得：

其中，ψ(t)稱為小波函數(shù)，φ(t)稱為尺度函數(shù)，稱為尺度為j的小波系數(shù)，稱為尺度為j的尺度系數(shù)。

在工程實(shí)際中通常使用Mallat 算法來(lái)進(jìn)行小波分析，圖1 所示為小波三層Mallat 分解結(jié)構(gòu)。其設(shè)計(jì)思路可簡(jiǎn)要概述為信號(hào)受一系列分解帶通濾波器組濾波并得到若干帶通分量的過程[8]。

圖1 小波三層Mallat分解結(jié)構(gòu)圖

在一般情況下，對(duì)信號(hào)的小波閾值量化處理有如下幾個(gè)基本步驟[9-11]：

1）選定一個(gè)正交小波基，并對(duì)含噪信號(hào)f(t)進(jìn)行N層小波分解；

2）對(duì)含噪信號(hào)各層的高頻系數(shù)通過閾值函數(shù)量化處理，第N層低頻系數(shù)不作處理；

3）重構(gòu)各層小波系數(shù)以獲得去噪信號(hào)。

音頻去噪工作成功與否主要在于小波基和分解層數(shù)的選擇、閾值函數(shù)的選擇及閾值的確定。

1）小波基和分解層數(shù)的選擇

緊支集正交小波系Symlet 具有良好的正則性和對(duì)稱性，能夠減少對(duì)信號(hào)造成的相位失真現(xiàn)象，故經(jīng)綜合考慮，將sym6 小波基進(jìn)行4 層分解，以降低分解層數(shù)N和小波基及其階數(shù)對(duì)運(yùn)算速度的影響。

2）閾值函數(shù)的選擇

由于經(jīng)卡爾曼濾波后的音頻信號(hào)噪聲含量較少，軟閾值處理后的損害程度相對(duì)較小，故經(jīng)綜合考慮，選擇軟閾值函數(shù)進(jìn)行去噪處理。

3）閾值的確定

圖2 為4 種常用閾值估計(jì)方法的實(shí)際去噪效果，為確保重構(gòu)信號(hào)具有較高的逼近性，選用無(wú)偏似然估計(jì)閾值法。

圖2 4種閾值估計(jì)的去噪效果

2.4 自相關(guān)函數(shù)檢測(cè)基音頻率

自相關(guān)函數(shù)法是一種具有良好抗干擾能力的時(shí)域估計(jì)算法，其運(yùn)算量較少，常用于基頻檢測(cè)[12]。

將去噪后的樂音信號(hào)記為s(n)，對(duì)每一幀信號(hào)利用短時(shí)自相關(guān)函數(shù)的公式[13-14]進(jìn)行運(yùn)算：

其中，N為每幀信號(hào)的長(zhǎng)度，k為時(shí)延，i表示第i幀，n為第i幀內(nèi)的樣點(diǎn)。

自相關(guān)函數(shù)在基音周期整數(shù)倍處取得峰值，對(duì)其第一極大值點(diǎn)進(jìn)行搜尋并將其作為基音頻率點(diǎn)就可以提取信號(hào)的基音頻率[12,15]。

在對(duì)信號(hào)加窗分幀處理時(shí)通常采用矩形窗，且窗長(zhǎng)至少要大于兩個(gè)基音周期，依照十二平均律，最低音階對(duì)應(yīng)頻率為27.5 Hz，即36.4 ms，所以合適的窗長(zhǎng)為80 ms，幀移比例為1。圖3 為經(jīng)濾波去噪前后信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)圖像，可知去噪后顯著提高曲線的平滑性，能夠更加精確地檢測(cè)其基音頻率。

圖3 濾波去噪處理前后信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)

3 算法實(shí)現(xiàn)流程

綜上所述，樂音基頻檢測(cè)算法可用流程圖如圖4表示。

圖4 算法流程圖

基頻檢測(cè)流程可用如下幾個(gè)步驟表述：

1）加窗分幀樂音信號(hào)，并初始化濾波參數(shù)；

2）對(duì)每一幀信號(hào)運(yùn)用LPC 迭代更新濾波參數(shù)法進(jìn)行自適應(yīng)卡爾曼濾波，濾除大部分噪聲；

3）選用sym6 小波基進(jìn)行4 層正交小波分解；

4）根據(jù)第一層小波系數(shù)進(jìn)行噪聲標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)，各層的高頻系數(shù)均采用軟閾值函數(shù)和無(wú)偏似然估計(jì)法調(diào)整閾值以進(jìn)行閾值量化處理；

5）利用小波重構(gòu)算法重構(gòu)信號(hào)，對(duì)各幀信號(hào)進(jìn)行自相關(guān)運(yùn)算，通過檢測(cè)峰值的方法提取基音頻率。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)所用純凈樂音樣本為16 kHz 采樣率的虛擬三角鋼琴軟音源。以中央C 音階為例，在純凈信號(hào)中加入白噪聲，設(shè)置信噪比為-5 dB，純凈信號(hào)與低信噪比含噪信號(hào)的波形如圖5 所示。

圖5 純凈信號(hào)與含噪信號(hào)的波形

4.1 音頻增強(qiáng)效果對(duì)比

分別用重構(gòu)DWT 低通分量的方式和卡爾曼濾波結(jié)合小波變換閾值去噪方式對(duì)含噪樂音信號(hào)去噪處理，結(jié)果如圖6 所示。

圖6 兩種方式對(duì)信號(hào)去噪的效果

通過圖6 可以觀察到，重構(gòu)DWT 低通分量的方式在低信噪比下無(wú)法有效消除噪聲影響，而文中方法則克服了該缺點(diǎn)，首先通過卡爾曼濾波能夠?yàn)V除全頻段大部分噪聲，然后對(duì)小波變換的各層高頻分量作閾值處理，而非簡(jiǎn)單地置零，在進(jìn)一步去除殘留噪聲的同時(shí)保留了高頻段的信號(hào)特征以減少失真。

為更加客觀地對(duì)處理后的音頻信號(hào)進(jìn)行質(zhì)量評(píng)估，選用PESQ 法并在-5 dB 信噪比下進(jìn)行評(píng)估，結(jié)果如表2 所示。其評(píng)估原始得分在-0.5 到4.5 之間[16]，音頻質(zhì)量越高則分?jǐn)?shù)越高。

表2 低信噪比下PESQ評(píng)估對(duì)比

4.2 基頻檢測(cè)效果對(duì)比

在對(duì)含噪樂音去噪處理后，分別用FFT 算法和自相關(guān)函數(shù)法對(duì)各自的去噪信號(hào)有效樂音段進(jìn)行基頻檢測(cè)對(duì)比實(shí)驗(yàn)，檢測(cè)結(jié)果如圖7 所示。

圖7 兩種方式對(duì)基頻檢測(cè)的效果

由圖7 可知，卡爾曼濾波結(jié)合小波閾值去噪法有著較強(qiáng)的抗干擾能力，對(duì)噪聲的消除較為徹底，利用自相關(guān)函數(shù)對(duì)基頻檢測(cè)的軌跡更為穩(wěn)定和平滑。

4.3 魯棒性分析

為驗(yàn)證文中方法對(duì)基頻檢測(cè)的魯棒性，在低、中、高3 個(gè)音區(qū)中各自抽取一個(gè)音組，并在-5 dB 信噪比環(huán)境下計(jì)算出經(jīng)該方法與DWT 結(jié)合FFT 算法分別處理得到的有效基頻識(shí)別數(shù)據(jù)的平均識(shí)別誤差率，結(jié)果如表3 所示。據(jù)表可知，該方法在全頻域段內(nèi)的平均識(shí)別誤差率相比下降了0.89%，而由式（1）可得相鄰音階頻率的偏差率約為5.946%，在各音區(qū)內(nèi)均高于文中方法的平均識(shí)別誤差率，從而佐證了該方法在全頻域段內(nèi)的較高魯棒性。

表3 各音組的平均識(shí)別誤差率

5 結(jié)束語(yǔ)

為在較低信噪比環(huán)境下實(shí)現(xiàn)音頻信號(hào)的增強(qiáng)和樂音基頻的準(zhǔn)確檢測(cè)，提出了一種利用自適應(yīng)卡爾曼濾波結(jié)合小波閾值降噪的自相關(guān)檢測(cè)方法。實(shí)驗(yàn)分析表明，與DWT 結(jié)合FFT 的基頻檢測(cè)算法相比，文中方法不僅能夠很好地抑制樂音中混雜的白噪聲，有效增強(qiáng)音頻信號(hào)的質(zhì)量，又能在全頻域段內(nèi)準(zhǔn)確檢測(cè)樂音的基音頻率，具有較高的魯棒性。