一類(lèi)非線(xiàn)性分?jǐn)?shù)階q-差分方程正解的存在性和唯一性*

胡紫寒, 張克梅

(曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,273165，山東省曲阜市 )

0 引 言

本文主要研究了以下具有分?jǐn)?shù)階q-差分的非線(xiàn)性邊值問(wèn)題

(1)

q-差分是一門(mén)古老的學(xué)科,它可以追溯到 Jackson[1,2]. 分?jǐn)?shù)階q-差分法來(lái)自 Al-Salam[3]和 Agarwal[4]. 目前,關(guān)于q-差分的研究有很多,此方面研究已被做了大量的工作[5-7].

在文獻(xiàn)[8]中,考慮了以下分?jǐn)?shù)階q-差分Schr?dinger方程

(2)

其中0

在文獻(xiàn)[9]中,考慮了以下分?jǐn)?shù)階q-差分Schr?dinger方程

(3)

其中0

在文獻(xiàn)[10]中,考慮了一類(lèi)帶有非局部積分邊值條件的非線(xiàn)性分?jǐn)?shù)階微分方程

(4)

本文運(yùn)用了單調(diào)迭代方法和不動(dòng)點(diǎn)理論,在一定條件下得到了問(wèn)題(1)的最小最大耦合解；并在此基礎(chǔ)上變換條件,運(yùn)用單調(diào)迭代方法得到了問(wèn)題(1)正解的唯一性.

關(guān)于本文,列出以下條件

(H1)f∈C((0,1)×[0,∞)×[0,∞),[0,∞)),其中(t,u,v)∈(0,1)×[0,∞)×[0,∞),f關(guān)于u是非增的,關(guān)于v是非減的,且存在一個(gè)正實(shí)數(shù)σ>0使得對(duì)任意的r∈(0,1],有

f(t,ru,r-1v)≥rσf(t,u,v).

(H1′) 設(shè)條件(H1)中的其他條件滿(mǎn)足,但其中σ滿(mǎn)足0<σ<1,使得對(duì)任意的r∈(0,1],有

f(t,ru,r-1v)≥rσf(t,u,v).

注1.1由條件(H1)易知,對(duì)任意r>1,可得f(t,ru,r-1v)≤rσf(t,u,v).

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)中,將介紹一些符號(hào)和引理,它們將用于相關(guān)定理的證明.

定義2.1[5]設(shè)α>0,q∈(0,1)且f是定義在[0,1]上的函數(shù).則函數(shù)f的Riemann-Liouville型的分?jǐn)?shù)階q積分定義為

定義2.2[5]設(shè)α>0,q∈(0,1).則α階的Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階q導(dǎo)數(shù)定義為

其中m是大于或等于α的最小整數(shù).

引理2.3設(shè)α>0且p是一個(gè)正整數(shù). 則下面的等式成立

引理2.4設(shè)y∈C([0,1],[0,+∞)).則以下邊值問(wèn)題

(5)

其中α∈(n-1,n],n≥3,n∈,0<η≤1,λ,β>0,有唯一解u(t)=G(t,qs)y(s)dqs,其中

證明由(5)式可知,

再由定義2.2和引理2.3,可知

c2=c3=…=cn=0,

將上式代入u(t)中,可得

則可得問(wèn)題(5)的解為

當(dāng)t≤η時(shí),有

同理，當(dāng)t≥η時(shí),有

引理2.5定義在引理2.4的格林函數(shù)G(t,qs)滿(mǎn)足以下性質(zhì)

(1)G(t,qs)≥0,?t,s∈[0,1];

(2)g1(s)tα-1≤G(t,qs)≤g2(s)tα-1,?t,s∈[0,1],其中

當(dāng)0≤qs≤t≤1,qs≤η時(shí),有

G(t,qs)QΓq(α)Γq(α+β)=-QΓq(α+β)(t-qs)(α-1)+

Γq(α+β)(1-qs)(α-1)tα-1-Γq(α)λ(η-qs)(α+β-1)tα-1≥

-QΓq(α+β)tα-1(1-qs)(α-1)+Γq(α+β)(1-qs)(α-1)tα-1-Γq(α)ληα+β-1(1-qs)(α+β-1)tα-1≥

(-Q+1)Γq(α+β)tα-1(1-qs)(α-1)-Γq(α)ληα+β-1(1-qs)(α+β-1)tα-1≥

Γq(α)ληα+β-1tα-1{(1-qs)(α-1)-(1-qs)(α+β-1)},

即

且有

G(t,qs)QΓq(α)Γq(α+β)=-QΓq(α+β)(t-qs)(α-1)+Γq(α+β)(1-qs)(α-1)tα-1-

Γq(α)λ(η-qs)(α+β-1)tα-1≤Γq(α+β)(1-qs)(α-1)tα-1,

即

由此可知,當(dāng)0≤qs≤t≤1,qs≤η時(shí),G(t,qs)滿(mǎn)足其性質(zhì),其他條件下,同理可得引理2.5成立.

在E中定義一個(gè)集合P如下，

P={u|u∈C([0,1],[0,∞)),存在一個(gè)正常數(shù)0

2 主要結(jié)論

定理3.1若(H1),(H2)成立,且存在一個(gè)正常數(shù)R>1使得

(6)

則分?jǐn)?shù)階q-差分方程(1)有最小最大耦合解(u*,v*)∈P,且存在常數(shù)0

且有單調(diào)迭代序列{un},{vn}如下:

證明顯然,易知對(duì)任意的u,v∈E,有T:E×E→E. 下面證明算子T:P×P→P是全連續(xù)的.

首先,需要證明T:P×P→P. 由條件(H1)可知,算子T關(guān)于u是非增的,關(guān)于v是非減的.

對(duì)任意(u,v)∈P×P,由P的定義可知,存在一個(gè)正常數(shù)0

ltα-1≤u(t),v(t)≤l-1tα-1.

(7)

通過(guò)引理2.5、(7)和條件(H1),可得

其中正常數(shù)lT滿(mǎn)足

且

由(H2)可知

則算子T是良定義的.

綜上可知,對(duì)任意(u,v)∈P,可得T(u,v)∈P，即算子T：P×P→P.

接下來(lái)證明算子T是全連續(xù)的. 令Ω是P上的有界集,存在一個(gè)正常數(shù)N>0,使得‖u‖,‖v‖≤N對(duì)任意的u,v∈Ω. 則由引理2.5 和(H2)可知,

因此可知,T(Ω)是一致有界的.

當(dāng)u,v∈Ω時(shí),對(duì)任意的ε>0,存在δ>0使得|t2-t1|<δ時(shí),有

由以上條件可知

因此T(Ω)是等度連續(xù)的. 則由Arzela-Ascoli定理可知,T：P×P→P是緊的.

由f(t,u,v)在t∈[δ,1-δ]上的一致連續(xù)性和(un,vn)→(u0,v0),n→∞時(shí),有

由以上條件可知

由上可知,算子T是連續(xù)的. 綜上,T是全連續(xù)算子.

令PR={u|u∈P,‖u‖≤R},其中R滿(mǎn)足(6)式. 下面證明T:PR×PR→PR.

由條件(H1)和(6)可知，

上式意味著‖T(u,v)‖≤R,因此,有T:PR×PR→PR.

令u0(t)=0,v0(t)=R,定義un(t)=T(un-1,vn-1)(t)和vn(t)=T(vn-1,un-1)(t),n=1,2,….由u0,v0∈PR和T:PR×PR→PR可知u1∈PR,v1∈PR.

由以上定義可知u1=T(u0,v0)=T(0,R)≥0=u0,通過(guò)歸納可知un+1≥un,un,vn∈PR,n=1,2,…. 由算子T的緊性可知{un}是相對(duì)緊集. 因此,存在u*∈PR使得un→u*,n→∞時(shí).

同理,v1=T(v0,u0)=T(R,0)≤R=v0,通過(guò)歸納可知vn+1≤vn,un,vn∈PR,n=1,2,…. 由算子T的緊性可知{vn}是相對(duì)緊集. 因此,存在v*∈PR使得vn→v*,n→∞時(shí).

由u0≤v0可知T(u0,v0)≤T(v0,u0),即u1≤v1,通過(guò)歸納,可得un≤vn,則有

u0≤u1≤…≤un≤vn≤…≤v1≤v0.

由上可得下式成立

u0≤u1≤…≤un≤…≤u*≤v*≤…≤vn≤…≤v1≤v0.

又由u*=T(u*,v*),v*=T(v*,u*),可知(u*,v*)是算子T在P×P上的耦合不動(dòng)點(diǎn). 下證(u*,v*)是算子T的最小最大耦合不動(dòng)點(diǎn).

設(shè)(u′,v′)是算子T在[u0,v0]×[u0,v0]中的任一耦合不動(dòng)點(diǎn). 于是u0≤u′≤v0,u0≤v′≤v0,假定n=k時(shí),uk≤u′≤vk,uk≤v′≤vk,則有

uk+1=T(uk,vk)≤T(u′,v′)=u′≤T(vk,uk)=vk+1,

uk+1=T(uk,vk)≤T(v′,u′)=v′≤T(vk,uk)=vk+1.

于是,根據(jù)歸納法,得un≤u′≤vn,un≤v′≤vn,則當(dāng)n→∞時(shí),有u*≤u′≤v*,u*≤v′≤v*.所以,(u*,v*)是算子T的最小最大耦合不動(dòng)點(diǎn),則分?jǐn)?shù)階q-差分方程(1)有最小最大耦合解(u*,v*).

定理3.2設(shè)(H1′),(H2)成立. 則問(wèn)題(1)有唯一的正解x*(t)∈P,且對(duì)任意的u0,v0∈P,有

其中

證明由(H1′)中f(t,ru,r-1v)≥rσf(t,u,v)可知

(8)

由此可知T(rr-1u,r-1rv)=T(u,v)≥rσT(r-1u,rv),即

T(r-1u,rv)≤r-σT(u,v).

(9)

令z(t)=tα-1,通過(guò)定理3.1可知T(z,z)∈P. 且令0

令

(10)

且

un=T(un-1,vn-1),vn=T(vn-1,un-1),n=1,2,…,

則有

u0,v0∈P,u0?v0,u0=r0v0.

由(8)、(9)和(10)式可得

u1=T(u0,v0)≤T(v0,u0)=v1,

則通過(guò)歸納可知

u0≤u1≤…≤un≤…≤vn≤…≤v1≤v0.

(11)

接下來(lái),我們證明

(12)

則通過(guò)歸納總結(jié),可知(12)式成立.

由(11)式和(12)式可知,對(duì)任意的自然數(shù)n和p*,可知

接下來(lái),設(shè)y*(t)是(1)式的另一個(gè)正解,則存在一個(gè)正常數(shù)l*,使得l*tα-1≤y*(t)≤(l*)-1tα-1成立,其中l(wèi)*∈(0,1)，t∈[0,1]成立.

又因?yàn)閞0足夠小，則有u0(t)≤y*(t)≤v0(t),t∈[0,1]，因T(y*,y*)=y*且算子T關(guān)于u是非增的,關(guān)于v是非減的,通過(guò)歸納總結(jié)可知

un(t)≤y*(t)≤vn(t),t∈[0,1].

(13)

當(dāng)(13)式中n→∞時(shí),可得y*=x*.

由上可知算子T有唯一的不動(dòng)點(diǎn)x*,且對(duì)任意的u0,v0∈P,有

其中

un=T(un-1,vn-1),vn=T(vn-1,un-1),n=1,2,….

綜上,問(wèn)題(1)在P上有唯一的正解x*(t),定理3.2成立.