RLW方程的高精度守恒緊致差分格式*

鐘瑞華, 王曉峰, 宋 巖, 鄧雅清

(閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,363000,福建省漳州市)

0 引 言

1966年,Peregine[1]在描述一個(gè)波形孔的發(fā)展時(shí)提出了正則長(zhǎng)波(RLW)方程,該方程是非線(xiàn)性長(zhǎng)波的一種表示形式,可以描述如淺水波和離子波等許多重要的物理現(xiàn)象. 目前對(duì)于RLW方程高精度差分法依然是近年來(lái)的研究熱點(diǎn)之一. Bona[2]研究表明RLW方程解的存在性以及唯一性. 在限制初始條件和邊界條件下,Wazwaz[3]給出了該方程的解析解. He[4]于1998年提出變分迭代法. Soliman[5]和Yusufoglu[6]分別在基于變分迭代法以收斂?jī)缂?jí)數(shù)的形式和引入廣義的拉格朗日乘子求解廣義正則長(zhǎng)波(GRLW)方程和RLW方程. 此外,王廷春[7]提出一種三層有限差分格式,在時(shí)間和空間上分別達(dá)到二階精度并證明了格式的穩(wěn)定性和收斂性. Kutluay[8]給出一種線(xiàn)性隱式有限差分方法得到RLW方程的數(shù)值解. 潘新田[9]對(duì)RLW方程提出一個(gè)守恒的三層差分格式,分析了格式的穩(wěn)定性與收斂性,其收斂階為O(τ2+h2). Zheng[10]提出一種新的Crank-Nicolson有限差分守恒格式,通過(guò)理查森外推法使得收斂階達(dá)到O(τ2+h4). Wang[11]等人提出兩種四階守恒緊致有限差分格式求解RLW方程,分別為兩層非線(xiàn)性和三層線(xiàn)性緊致差分格式,并證明了離散質(zhì)量和能量的守恒性.

本文考慮如下RLW方程的初邊值問(wèn)題[7]

ut+εuux-μuxxt+ux=0,0

(1)

u(x,0)=u0(x),α≤x≤β,

(2)

u(α,t)=0,u(β,t)=0,0

(3)

其中μ和ε是給定的正常數(shù),且當(dāng)x→±∞時(shí),有u→0. 可以驗(yàn)證,問(wèn)題(1)～(3)具有如下守恒律

(4)

(5)

1 差分格式的構(gòu)造

對(duì)求解區(qū)域[α,β]×[0,T]進(jìn)行網(wǎng)格剖分,取空間步長(zhǎng)h=(β-α)/J,時(shí)間步長(zhǎng)τ=T/N,其中J,N為正整數(shù),記網(wǎng)格點(diǎn)xj=α+jh(0≤j≤J),tn=nτ(0≤n≤N). 記

(6)

(7)

對(duì)式(6)兩端對(duì)x求二階導(dǎo)數(shù)得

(8)

將式(8)代入式(7)可得

(9)

對(duì)式(9)應(yīng)用如下二階Taylor展開(kāi)式

及在時(shí)間層上作平均,忽略截?cái)嗾`差項(xiàng)可得如下差分格式

(10)

(11)

(12)

由于格式(10)～(12)為三層線(xiàn)性隱格式,需求解u0和u1來(lái)啟動(dòng)計(jì)算,因此本文選取方程(11)和如下四階兩層線(xiàn)性格式來(lái)計(jì)算u1:

(13)

2 差分格式的守恒性和唯一可解性

證明對(duì)式(10)兩邊同時(shí)乘以h,并對(duì)j從1到J-1求和可得

由邊界條件(12)整理可得

對(duì)上式作遞推即可得Qn=Qn-1=…=Q0.

(14)

由定義的差分算子和引理1，有

從而式(14)可以寫(xiě)成

(15)

把式(14)的n替換成l,并將l從1到n累加可得

故式(15)對(duì)n作遞推即可得En=En-1=…=E0.

定理2差分格式(10)～(12)是唯一可解的.

證明根據(jù)式(11)可知u0,再用格式(13)計(jì)算u1,可知u0和u1是唯一確定的. 設(shè)u0,u1,…,un(n≤N-1)是唯一確定的,考慮式(10)中的un+1,則有

將上式與un+1作內(nèi)積,且當(dāng)h足夠小使得1-h2/12>0時(shí),有

即‖un+1‖=0,則差分格式(10)～(12)是唯一可解的.

3 差分格式解的收斂性與穩(wěn)定性

證明令en=Un-un，則可得如下誤差方程

(16)

(17)

(18)

(19)

應(yīng)用Cauchy-Schwarz不等式[13]和引理2，有

(20)

(21)

(22)

將式(20)～式(22)代入式(19)得

(23)

其中M0=min{1,μ(1-h2/12)}>0，則式(23)可以寫(xiě)成

(24)

對(duì)式(24)從1到n求和,對(duì)于h充分小,可得

即

其中

若τ和h充分小,使得M1=1/(1-Cτ/M0)>0,則

由離散Gronwall不等式[12]可得

An≤CM1(τ2+h4)2exp(CTM1/M0)≤C(τ2+h4)2，

4 數(shù)值算例

考慮初始條件為[1]u(x,0)=3dsech2[k(x-x0)].則方程(1)精確解為

選取ε=1,μ=1,d=1,x0=0, 取h=0.05,τ=0.125,T=1和h=0.5,τ=h2,T=10,誤差收斂階的結(jié)果見(jiàn)表1和表2,分別驗(yàn)證了差分格式(10)～(12)在時(shí)間和空間上分別具有二階和四階的收斂精度. 該數(shù)值結(jié)果與理論分析結(jié)果一致. 表3驗(yàn)證了該格式的離散質(zhì)量守恒以及能量守恒性. 取h=0.125,τ=h2在不同時(shí)刻的數(shù)值解和誤差圖,分別見(jiàn)圖1(a)和圖1(b). 圖1和表3可見(jiàn)格式是穩(wěn)定的. 以上結(jié)果表明所提的差分格式(10)～(12)的理論分析是有效可靠的.

表1 取不同時(shí)間步長(zhǎng)時(shí)誤差和收斂階

表2 取不同時(shí)間和空間步長(zhǎng)時(shí)的誤差和空間收斂階

圖1 不同時(shí)刻的數(shù)值解和絕對(duì)誤差

表3 取不同步長(zhǎng)不同時(shí)刻下的離散守恒量